广东省茂名市茂南区2021-2022学年九年级上学期期末考试数学试题（word版 含答案）

这是一份广东省茂名市茂南区2021-2022学年九年级上学期期末考试数学试题（word版 含答案），共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列四个实数中，无理数是（ ）
A．B．﹣0.3333C．D．
2．若有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≤B．x≥C．x＞0D．x＜﹣1
3．已知2a＝3b，则下列比例式错误的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
4．某校为了解九年级学生的视力情况，从九年级的800名学生中随机抽查200名学生进行视力检测，下列说法正确的是（ ）
A．800名学生是总体
B．200名学生是个体
C．200名学生是总体的一个样本
D．200是样本容量
5．在平面直角坐标系中，点P（x2+1，﹣2）所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列条件：①AC⊥BD，②AB＝BC，③∠ACB＝45°，④OA＝OB．上述条件能使矩形ABCD是正方形的是（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③④D．①③④
7．已知（x﹣1）2＝2，则代数式x2﹣2x+5的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
8．直线y＝x+a不经过第四象限，则关于x的方程ax2﹣2x﹣1＝0的实数解的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．1个或2个
9．如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，连接AF，则∠BAF等于（ ）
A．12.5°B．15°C．20°D．22.5°
10．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c给出下列结论：①abc＜0，②4a+2b+c＜0，③a+c＞b，④a+b≤t（at+b）（t是任意一个实数），⑤当x＜﹣1时，y随x的增大而减少．其中结论正确的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题：
11．分解因式：m2﹣9＝ ．
12．一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形是 边形．
13．若单项式a2bm+1与b的和仍是单项式，则nm的值是 ．
14．已知三角形三边长分别为1，3，x，若x为奇数，则x值为 ．
15．二次函数y＝x2+2x+1先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的解析式为 ．
16．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，动点E在矩形的边AB上运动，连接DE，作点A关于DE的对称点P，连接BP，则BP的最小值为 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点P1（﹣1，﹣1）；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点P2；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点P3；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点P4，…，按此作法进行下去，则点P2022的坐标为 ．
三、解答题
18．计算：（π﹣2021）0﹣3tan30°+|1﹣|+（）﹣2．
19．如图，在△ABC中．
（1）按以下步骤作图：作边BC的垂直平分线交边AB于点D，交边BC于点E，连接CD．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若D是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．
20．为落实我市关于开展中小学课后服务工作的要求，某学校开设了四门校本课程供学生选择：A．趣味数学；B．博乐阅读；C．快乐英语；D．硬笔书法．某年级共有100名学生选择了A课程，为了解本年级选择A课程学生的学习情况，从这100名学生中随机抽取了30名学生进行测试，将他们的成绩（百分制）分成六组，绘制成频数分布直方图．
（1）该年级学生小乔随机选取了一门课程，则小乔选中课程C的概率是 ；
（2）根据题中信息，估计该年级选择A课程学生成绩在80≤x＜90的总人数；
（3）该年级每名学生选两门不同的课程，小张和小王在选课程的过程中，若第一次都选了课程C，那么他俩第二次同时选择课程A或课程B的概率是多少？请用列表法或树状图的方法加以说明．
21．如图，点B（4，a）是反比例函数y＝图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A，C．反比例函数y＝的图象经过OB的中点M，与AB，BC分别相交于点D，E．连接DE并延长交x轴于点F，连接BF．
（1）求k的值；
（2）求△BDF的面积．
22．为了做好新冠疫情的防控工作，某超市计划购进A，B两种消毒液出售，A种消毒液比B种消毒液每瓶进价少3元，已知用1600元购进的A种消毒液的数量是1100元购进的B种消毒液数量的2倍．
（1）求A，B两种消毒液每瓶进价各是多少元？
（2）疫情进入了防控常态，该超市老板决定用不超过1960元购进A、B两种消毒液共200瓶，已知A种消毒液售价为14元，B种消毒液售价为18元，请设计出该超市售完该批消毒液后获得最大利润的购进方案，并求出最大利润．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边的中点，连接AD，分别过点A，C作AE∥BC，CE∥AD交于点E，连接DE，交AC于点O．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）若AB＝10，sin∠COE＝，求CE的长．
24．如图，△ABC是以AB为直径的⊙O的内接三角形，BD与⊙O相切于点B，与AC的延长线交于点D，E是BD的中点，CE交BA的延长线于点F，BD＝8，BE＝EF．
（1）求证：FC是⊙O的切线；
（2）求AF的长；
（3）若∠F＝20°，BC＝3，求图中阴影部分的面积．
25．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x+3经过B，C两点，连接AC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点E为直线BC上方的抛物线上的一动点（点E不与点B，C重合），连接BE，CE，设四边形BECA的面积为S，求S的最大值；
（3）若点Q在x轴上，则在抛物线上是否存在一点P，使得以B，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、单选题
1．下列四个实数中，无理数是（ ）
A．B．﹣0.3333C．D．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
解：A.是无理数，故本选项符合题意；
B．﹣0.3333是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
C.是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
D.，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
故选：A．
2．若有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≤B．x≥C．x＞0D．x＜﹣1
【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式求解．
解：由题意可得：3x﹣1≥0，
解得：x≥，
故选：B．
3．已知2a＝3b，则下列比例式错误的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【分析】利用比例的基本性质，把每一个选项的比例式化成等积式即可解答．
解：A．因为＝，所以2a＝3b，故A不符合题意；
B．因为＝，所以2a＝3b，故B不符合题意；
C．因为＝，所以2a＝3b，故C不符合题意；
D．因为＝，所以2b＝3a，故D符合题意；
故选：D．
4．某校为了解九年级学生的视力情况，从九年级的800名学生中随机抽查200名学生进行视力检测，下列说法正确的是（ ）
A．800名学生是总体
B．200名学生是个体
C．200名学生是总体的一个样本
D．200是样本容量
【分析】根据总体，样本，个体，样本容量的定义，即可得出结论．
解：A．800名学生的视力情况是总体，故本选项不合题意；
B．每一名学生的视力情况是个体，故本选项不合题意；
C．200名学生的视力情况是总体的一个样本，故本选项不合题意；
D．样本容量是200，故本选项符合题意．
故选：D．
5．在平面直角坐标系中，点P（x2+1，﹣2）所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据平方数非负数判断出点P的横坐标是正数，再根据各象限内点的坐标特征解答．
解：∵x2≥0，
∴x2+1≥1，
∴点P的横坐标是正数，
∴点P（x2+1，﹣2）所在的象限第四象限．
故选：D．
6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列条件：①AC⊥BD，②AB＝BC，③∠ACB＝45°，④OA＝OB．上述条件能使矩形ABCD是正方形的是（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③④D．①③④
【分析】根据矩形的性质及正方形的判定来添加合适的条件．
解：要使矩形成为正方形，可根据正方形的判定定理解答：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形，（2）对角线互相垂直的矩形是正方形．
∴添加AC⊥BD或AB＝BC或∠ACB＝45°，能使矩形ABCD成为正方形．
故选：B．
7．已知（x﹣1）2＝2，则代数式x2﹣2x+5的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】根据完全平方公式可求出x2﹣2x的值，然后代入原式即可求出答案．
解：∵（x﹣1）2＝2，
∴x2﹣2x+1＝2，
∴x2﹣2x＝1，
∴原式＝1+5
＝6，
故选：C．
8．直线y＝x+a不经过第四象限，则关于x的方程ax2﹣2x﹣1＝0的实数解的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．1个或2个
【分析】利用一次函数的性质得到a≤0，再判断Δ＝4+4a＞0，从而得到方程根的情况．
解：∵直线y＝x+a不经过第四象限，
∴a≥0，
当a＝0时，关于x的方程ax2﹣2x﹣1＝0是一元一次方程，解为x＝﹣，
当a＞0时，关于x的方程ax2﹣2x﹣1＝0是一元二次方程，
∵Δ＝（﹣2）2+4a＝4+4a＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
9．如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，连接AF，则∠BAF等于（ ）
A．12.5°B．15°C．20°D．22.5°
【分析】根据平行四边形的性质和圆的半径相等得到△AOB为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到∠BOF＝∠AOF＝30°，根据圆周角定理计算即可．
解：连接OB，如图所示，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴OC＝AB，又OA＝OB＝OC，
∴OA＝OB＝AB，
∴△AOB为等边三角形，
∵OF⊥OC，OC∥AB，
∴OF⊥AB，
∴∠BOF＝∠AOF＝30°，
由圆周角定理得∠BAF＝∠BOF＝15°，
故选：B．
10．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c给出下列结论：①abc＜0，②4a+2b+c＜0，③a+c＞b，④a+b≤t（at+b）（t是任意一个实数），⑤当x＜﹣1时，y随x的增大而减少．其中结论正确的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置，可判断①．由x＝0时y＜0及抛物线对称轴为直线x＝1可判断②．由x＝﹣1时y＞0可判断③．由x＝1时y取最小值可判断④．由图象开口方向及对称轴位置可判断⑤．
解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，①错误．
∵x＝0时y＜0，抛物线对称轴为直线x＝1，
∴x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，②正确．
∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
∴a+c＞b，③正确．
∵x＝1时y取最小值，
∴a+b+c≤at2+bt+c，即a+b≤t（at+b），
∴④正确．
由图象可得x＜1时y随x增大而减小，
∴当x＜﹣1时，y随x的增大而减少，⑤正确．
故选：C．
二、填空题：
11．分解因式：m2﹣9＝ （m+3）（m﹣3） ．
【分析】通过观察发现式子可以写成平方差的形式，故用平方差公式分解，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
解：m2﹣9
＝m2﹣32
＝（m+3）（m﹣3）．
故答案为：（m+3）（m﹣3）．
12．一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形是 八 边形．
【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可．
解：设多边形的边数是n，根据题意得，
（n﹣2）•180°＝3×360°，
解得n＝8，
∴这个多边形为八边形．
故答案为：八．
13．若单项式a2bm+1与b的和仍是单项式，则nm的值是 1 ．
【分析】根据题意可知a2bm+1与是同类项，从而得到n＝2，m＝0，然后代入计算即可．
解：∵关于a、b的单项式a2bm+1与的和仍是单项式，
∴a2bm+1与是同类项．
∴n＝2，m+1＝1，
∴n＝2，m＝0，
∴nm＝20＝1，
故答案为：1．
14．已知三角形三边长分别为1，3，x，若x为奇数，则x值为 3 ．
【分析】根据三角形任意两边的和大于第三边，进而得出答案．
解：∵三角形三边长分别为1，3，x，
∴2＜x＜4，
∵x为奇数，
∴x＝3．
故答案为：3．
15．二次函数y＝x2+2x+1先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的解析式为 y＝（x﹣1）2﹣3 ．
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
解：∵y＝x2+2x+1＝（x+1）2，
∴将二次函数y＝x2+2x+1的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的函数解析式为：y＝（x+1﹣2）2﹣3，即y＝（x﹣1）2﹣3．
故答案是：y＝（x﹣1）2﹣3．
16．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，动点E在矩形的边AB上运动，连接DE，作点A关于DE的对称点P，连接BP，则BP的最小值为 2﹣6 ．
【分析】根据对称的性质可得P在以D为圆心的圆上，半径为6，连接BD，交圆D于P′，然后根据勾股定理可得问题的答案．
解：∵点A关于DE的对称点P，
∴DA＝DP＝6
∴P在以D为圆心的圆上，半径为6，连接BD，交圆D于P′，
∴BP′为最小值，
∵AB＝4，AD＝6，∠DAB＝90°，
∴BD＝＝2，
∵半径为6，即OP′＝6，
∴BP′＝2﹣6．
故答案为：2﹣6．
17．如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点P1（﹣1，﹣1）；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点P2；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点P3；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点P4，…，按此作法进行下去，则点P2022的坐标为 （1011，1011） ．
【分析】观察图象可知，偶数点在第一象限，由题意P2（1，1），P4（2，2），P6（3，3），•••，P2n（n，n），即可解决问题．
解：观察图象可知，奇数点在第三象限，
∵P2（1，1），P4（2，2），P6（3，3），•••，P2n（n，n），
∴P2022（1011，1011），
故答案为：（1011，1011）．
三、解答题
18．计算：（π﹣2021）0﹣3tan30°+|1﹣|+（）﹣2．
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
解：（π﹣2021）0﹣3tan30°+|1﹣|+（）﹣2
＝1﹣3×+﹣1+4
＝1﹣+﹣1+4
＝4．
19．如图，在△ABC中．
（1）按以下步骤作图：作边BC的垂直平分线交边AB于点D，交边BC于点E，连接CD．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若D是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【分析】（1）利用基本作图作BC的垂直平分线即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到BD＝CD，则BD＝CD＝AD，利用等腰三角形的性质得到∠BCD＝∠B，∠DCA＝∠A，所以∠A+∠B＝∠ACB，然后根据三角形内角和定理可计算出∠ACB＝90°，于是可判断△ABC是直角三角形．
【解答】解析：（1）如图，DE为所作；
（2）△ABC为直角三角形．
理由如下：
∵DE是BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，
又∵D为AB的中点，
∴BD＝AD，
∴BD＝CD＝AD，
∵BD＝CD，
∴∠BCD＝∠B，
∵CD＝AD，
∴∠DCA＝∠A，
∴∠A+∠B＝∠BCD+∠DCA＝∠ACB，
∴∠ACB＝×180°＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
20．为落实我市关于开展中小学课后服务工作的要求，某学校开设了四门校本课程供学生选择：A．趣味数学；B．博乐阅读；C．快乐英语；D．硬笔书法．某年级共有100名学生选择了A课程，为了解本年级选择A课程学生的学习情况，从这100名学生中随机抽取了30名学生进行测试，将他们的成绩（百分制）分成六组，绘制成频数分布直方图．
（1）该年级学生小乔随机选取了一门课程，则小乔选中课程C的概率是 ；
（2）根据题中信息，估计该年级选择A课程学生成绩在80≤x＜90的总人数；
（3）该年级每名学生选两门不同的课程，小张和小王在选课程的过程中，若第一次都选了课程C，那么他俩第二次同时选择课程A或课程B的概率是多少？请用列表法或树状图的方法加以说明．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）用总人数乘以样本中成绩在80≤x＜90的人数所占比例；
（3）画树状图，可能的结果共有12种，小张同时选择课程A或课程B的情况共有2种，再由概率公式求解即可．
解：（1）该年级学生小乔随机选取了一门课程，则小乔选中课程C的概率是，
故答案为：；
（2）观察直方图，抽取的30名学生，成绩在80≤x＜90范围内选取A课程的有9人，
所占比为，（人），
所以估计该年级选取A课程的总人数为30人；
（3）因该年级每名学生选两门不同的课程，第一次都选了课程C，列树状图如下：
等可能结果共有9种，他俩第二次同时选择课程A或课程B的有2种，
所以，他俩第二次同时选择课程A或课程B的概率是．
21．如图，点B（4，a）是反比例函数y＝图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A，C．反比例函数y＝的图象经过OB的中点M，与AB，BC分别相交于点D，E．连接DE并延长交x轴于点F，连接BF．
（1）求k的值；
（2）求△BDF的面积．
【分析】（1）由反比例函数y＝，求得点B（4，3），则点M（2，），则k＝2×＝3；
（2）△BDF的面积＝△OBD的面积＝S△BOA﹣S△OAD，即可求解；
解：（1）将点B（4，a）代入反比例函数y＝得：a＝3，
∴点B（4，3），
∵M是OB的中点，
∴M（2，），
∴将M（2，）代入反比例函数y＝得，k＝2×＝3；
（2）连接OD，D，B分别是反比例函数y＝，y＝图象上的点，
∴S△AOD＝，S△AOB＝6，
∵S△ODB＝S△DBF＝S△AOB﹣S△AOD＝6﹣＝4.5，
∴△BDF的面积为4.5．
22．为了做好新冠疫情的防控工作，某超市计划购进A，B两种消毒液出售，A种消毒液比B种消毒液每瓶进价少3元，已知用1600元购进的A种消毒液的数量是1100元购进的B种消毒液数量的2倍．
（1）求A，B两种消毒液每瓶进价各是多少元？
（2）疫情进入了防控常态，该超市老板决定用不超过1960元购进A、B两种消毒液共200瓶，已知A种消毒液售价为14元，B种消毒液售价为18元，请设计出该超市售完该批消毒液后获得最大利润的购进方案，并求出最大利润．
【分析】（1）设A种消毒液每瓶进价是x元，B种消毒液每瓶进价是（x+3）元，根据“A种消毒液比B种消毒液每瓶进价少3元，已知用1600元购进的A种消毒液的数量是1100元购进的B种消毒液数量的2倍”列方程解答即可；
（2）设购进A种消毒液a瓶，则B种消毒液（200﹣a）瓶，根据“用不超过1960元购进A、B两种消毒液”列不等式求出a的取值范围，设售完该批消毒液后获得总利润为w元，根据题意求出w与a的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可．
解：（1）设A种消毒液每瓶进价是x元，B种消毒液每瓶进价是（x+3）元，
＝2×解得x＝8，
经检验x＝8是原方程的根．∴B：8+3＝11（元），
∴A种消毒液每瓶进价是8元，B种消毒液每瓶进价是11元．
（2）设购进A种消毒液a瓶，B种消毒液（200﹣a）瓶，则：
8a+11（200﹣a）≤1960，
∴a≥80，
设售完该批消毒液后获得总利润为w元，则：
W＝（14﹣8）a+（18﹣11）（200﹣a）＝﹣a+1400，
∵﹣1＜0，
∴w随a的增大而减少，
∴当a＝80时，
则B：200﹣80＝120（瓶），w最大＝﹣80+1400＝1320（元），
∴购进A种消毒液80瓶，B种消毒液120瓶时获得最大利润，最大利润是1320元．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边的中点，连接AD，分别过点A，C作AE∥BC，CE∥AD交于点E，连接DE，交AC于点O．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）若AB＝10，sin∠COE＝，求CE的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC于点D，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）过点E作EF⊥AC于F．解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC于点D，
∵AE∥BC，CE∥AD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴平行四边形ADCE是矩形；
（2）解：过点E作EF⊥AC于F．
∵AB＝10，
∴AC＝10，
∵对角线AC，DE交于点O，
∴DE＝AC＝10，
∴OE＝5，
∵sin∠COE＝，
∴EF＝4，
∴OF＝3，
∵OE＝OC＝5，
∴CF＝2．
∴CE＝．
24．如图，△ABC是以AB为直径的⊙O的内接三角形，BD与⊙O相切于点B，与AC的延长线交于点D，E是BD的中点，CE交BA的延长线于点F，BD＝8，BE＝EF．
（1）求证：FC是⊙O的切线；
（2）求AF的长；
（3）若∠F＝20°，BC＝3，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）要证明FC是⊙O的切线，想到连接OC，求出∠OCE＝90°即可，先利用切线的性质得出∠ABD＝90°，再根据直径所对的圆周角是90°，可得∠ACB＝90°，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证明EB＝EC，从而可得∠BCE＝∠CBE，最后根据OB＝OC，得出∠OCB＝∠OBC即可解答；
（2）根据已知可得BE＝4，EF＝12，然后利用勾股定理求出BF的长，再证明△FOC∽△FEB，然后利用相似三角形的性质即可解答；
（3）利用扇形BOC的面积减去△OBC的面积即可解答．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵BD与⊙O相切于点B，
∴∠ABD＝90°，
∴∠CBE+∠OBC＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠BCD＝90°，
∵E是BD中点，
∴BE＝CE，
∴∠BCE＝∠CBE，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠BCE+∠OCB＝90°，
∴∠OCE＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴FC是⊙O的切线；
（2）解：∵BD＝8，点E是BD中点，
∴BE＝BD＝4，
∵BE＝EF，
∴EF＝3BE＝12，
在Rt△FBE中，BF＝＝＝8，
由（1）得∠OCF＝∠ABD＝90°，
∵∠F＝∠F，
∴△FOC∽△FEB，
∴，
设OC＝x，则OF＝BF﹣OB＝8﹣x，
∴，
∴x＝2，
∴AF＝8﹣2x＝4；
（3）解：过O作OM⊥BC于点M，
∴BM＝BC＝，
在Rt△BMO中，OM＝＝＝，
∴S△BOC＝BC•OM＝3，
∵∠F＝20°，
∴∠BOC＝∠F+∠OCF＝110°，
∴S扇形BOC＝）2＝，
∴S阴影＝S扇形BOC﹣S△BOC＝π﹣，
∴图中阴影部分的面积为π﹣．
25．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x+3经过B，C两点，连接AC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点E为直线BC上方的抛物线上的一动点（点E不与点B，C重合），连接BE，CE，设四边形BECA的面积为S，求S的最大值；
（3）若点Q在x轴上，则在抛物线上是否存在一点P，使得以B，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将A（﹣1，0）B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，即可求解；
（2）过E作EF⊥x轴于点F，与BC交于点H，设F（a，﹣a2+2a+3），则H（a，﹣a+3），则S＝，当a＝时，S的最大值为；
（3）设Q（x，0），P（a，b），分三种情况讨论：①当BQ∥PC时，BP与CQ是对角线，求出P（2，3）；②当BQ∥PC时，BC与PQ是对角线，求出P（2，3）；③当BP∥CQ时，BQ与CP是对角线，求出P（1+，﹣3）或∴P，﹣3）．
解：（1）将A（﹣1，0）B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
解得：，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）过E作EF⊥x轴于点F，与BC交于点H，
∵A（﹣1，0）B（3，0），
∴AB＝4
当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
∴OC＝3，
设F（a，﹣a2+2a+3），则H（a，﹣a+3），
∴EH＝﹣a2+2a+3+a﹣3＝﹣a2+3a，
∵S四边形BECA＝S△ABC+S△BCE，
∴S＝×4×3+（﹣a2+3a）×3
＝6+（﹣a2+3a）
＝，
∴当a＝时，S的最大值为；
（3）存在一点P，使得以B，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
∵B（3，0）C（0，3），
设Q（x，0），P（a，b），
∵B，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，
①当BQ∥PC时，
∵四边形BCPQ是平行四边形，
∴BP与CQ是对角线，则有0+b＝3+0，
∴b＝3，
将P（a，3）代入y＝﹣x2+2x+3，
∴﹣a2+2a+3＝3，
∴a＝0（舍去）或a＝2，
∴P（2，3）；
②当BQ∥PC时，
∵四边形BPCQ是平行四边形，
∴BC与PQ是对角线，则有0+b＝0+3，
∴b＝3，
∴P（2，3）；
③当BP∥CQ时，
∵四边形BCQP是平行四边形，
∴BQ与CP是对角线，则有3+b＝0+0，
∴b＝﹣3，
将P（a，﹣3）代入y＝﹣x2+2x+3，
∴﹣a2+2a+3＝﹣3，
∴a＝，
∴P（1+，﹣3）或∴P，﹣3）；
综上所述：P点坐标为（2，3）或（1+，﹣3）或，﹣3）．