人教版高中数学高考一轮复习训练--正态分布

考点规范练59　正态分布

一、基础巩固

1.已知μ=0,当σ取三个不同值σ1,σ2,σ3时,三个正态密度函数的图象如图所示,则σ1,σ2,σ3的大小关系是              (　　)

A.σ1>1>σ2>σ3>0

B.0<σ1<σ2<1<σ3

C.σ1>σ2=1>σ3>0

D.0<σ1<σ2=1<σ3

2.已知随机变量X服从正态分布N(1,0.16),则下列结论不正确的是(　　)

A.E(X)=1

B.D(X)=0.4

C.P(X>1)=0.5

D.D(X)=0.16

3.(多选)4月23日为世界读书日,已知某高校学生每周阅读时间X(单位:h)服从正态分布N(9,4),则下列说法正确的是(　　)

附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.

A.该校学生每周平均阅读时间为9 h

B.该校学生每周阅读时间的标准差为4

C.该校学生每周阅读时间不超过3 h的人数约占该校学生总人数的0.3%

D.若该校有10 000名学生,则每周阅读时间在3~5 h的人数约为214

4.设随机变量X~N(4,9),若实数a满足P(X<3a+2)=P(X>2a-1),则a=　　　　　. 

5.已知某大型企业为10 000名员工定制工作服,设员工的身高X(单位:cm)服从正态分布N(172,52),则适合身高在177~182 cm的员工的工作服大约要定制　　　　　套. 

6.某高速公路收费站有三个高速收费口,每天通过每个收费口的汽车数X(单位:辆)均服从正态分布N(600,σ2),若P(500≤X≤700)=,三个收费口均能正常工作,且互不影响,则该收费站每天至少有一个收费口通过的汽车超过700辆的概率为　　　　　. 

7.某市教育局为了解高三学生的体育达标情况,对全市高三学生进行了体能测试(满分为100分).经分析,全市高三学生体能测试成绩X服从正态分布N(80,σ2).已知P(X<75)=0.3,P(X>95)=0.1,现从该市高三学生中随机抽取三名学生.

(1)求抽到的三名学生该次体能测试成绩在区间(80,85),(85,95),(95,100)内各有一人的概率;

(2)记抽到的三名学生该次体能测试成绩在区间(75,85)内的人数为Y,求随机变量Y的分布列和均值.

二、综合应用

8.(多选)某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高,得出株高X(单位:cm)服从正态分布,其概率分布密度函数为f(x)=,则下列说法正确的是              (　　)

A.该地水稻的平均株高为100 cm

B.该地水稻株高的方差为10

C.随机测量一株水稻,其株高在120 cm以上的概率比株高在70 cm以下的概率大

D.随机测量一株水稻,其株高在区间(80,90)和(100,110)的概率相等

9.在某次数学摸底考试中,学生的成绩X近似服从正态分布N(100,σ2),若P(X>120)=a, P(80<X<100)=b,直线l:ax+by+=0与圆C:x2+y2=2相切,则直线l的方程为　　　　　　　. 

10.某科技公司生产一批同型号的光纤通信仪器,每台仪器的某一部件由三个电子元件连接而成,连接方式如图所示.若元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则该部件正常工作.由大数据统计显示:三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N(10 000,102),且各个元件能否正常工作相互独立.现从这批仪器中随机抽取1 000台,检测该部件的工作情况(各部件能否正常工作相互独立),则这1 000台仪器中该部件的使用寿命超过10 000小时的均值为　　　　　台. 

11.随着5G商用进程的不断加快,越来越多的人选择使用5G手机.某科技公司为了给自己新推出的5G手机定价,随机抽取了100人进行调查,对其在下一次更换5G手机时,能接受的价格(单位:元)进行了统计,所得结果如下表.已知这100人能接受的价格都在区间[1 000,3 500)内,并且能接受的价格的平均值为2 350元(同一组数据用该组区间的中点值代替).

(1)现用分层随机抽样的方法从第一、二、三组中随机抽取6人,将该样本看成一个总体,从中随机抽取2人,求其中恰有1人能接受的价格不低于2 000元的概率;

(2)若人们对5G手机能接受的价格X近似服从正态分布N(μ,σ2),其中μ为样本平均数,σ2为样本方差s2,求P(2 350<X<2 974).

附:≈6.24,若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5.

三、探究创新

12.某人每天都会购买一个面包,面包师声称自己出售的每个面包的质量(单位:g)服从均值为1 000,标准差为50的正态分布.

(1)假设面包师的说法是真实的,从面包师出售的面包中任取两个,记取出的两个面包中质量大于1 000 g的个数为X,求X的分布列和均值;

(2)为判断面包师有没有撒谎,他每天都会将买来的面包称重并记录,25天后,得到数据如表,经计算,25个面包的总质量为24 468 g.

购买的25个面包质量的统计数据(单位:g):

尽管上述数据都落在区间(950,1 050)内,但他还是认为面包师撒谎.根据所附信息,从概率角度说明理由.

附:①若X~N(μ,σ2),从X的取值中随机抽取25个数据,记这25个数据的平均值为Y,则Y~N;

②若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.997 3;

③通常把发生概率在0.05以下的事件称为小概率事件.

考点规范练59　正态分布

1.D

2.B　因为随机变量X服从正态分布N(1,0.16),

所以μ=1,σ=0.4,

所以E(X)=1,D(X)=0.16,P(X>1)=0.5.

3.AD　因为X~N(9,4),所以μ=9,σ=2,所以该校学生每周平均阅读时间为9 h,该校学生每周阅读时间的标准差为2,故A正确,B错误.

因为P(3≤X≤15)≈0.997 3,

所以P(X≤3)=0.001 35,

所以该校学生每周阅读时间不超过3 h的人数约占该校学生总人数的0.135%,故C错误.

因为P(5≤X≤13)≈0.954 5,所以P(3≤X≤5)=[P(3≤X≤15)-P(5≤X≤13)]≈0.021 4,

所以每周阅读时间在3~5 h的人数约为10 000×0.021 4=214,故D正确.

4　由题意可知=4,解得a=

5.1 359　因为X~N(172,52),所以P(167≤X≤177)≈0.682 7,

P(162≤X≤182)≈0.954 5,所以P(177≤X≤182)=[P(162≤X≤182)-P(167≤X≤177)]≈0.135 9.

所以适合身高在177~182 cm的员工的工作服大约要定制10 000×0.135 9=1 359(套).

6　因为X~N(600,σ2),P(500≤X≤700)=,

所以P(X>700)=[1-P(500≤X≤700)]=

所以所求概率为1-

7.解 (1)因为X~N(80,σ2),所以P(X>85)=P(X<75)=0.3,

所以P(80<X<85)=0.5-P(X>85)=0.2,P(95<X<100)=P(X>95)=0.1,

P(85<X<95)=0.5-0.2-0.1=0.2.

故所求概率P=0.2×0.2×0.1=0.024.

(2)因为X~N(80,σ2),P(80<X<85)=0.2,

所以P(75<X<85)=2P(80<X<85)=0.4.

由题意知Y~B(3,0.4),

则P(Y=0)=0.63=0.216,

P(Y=1)=0.4×0.62=0.432,

P(Y=2)=0.42×0.6=0.288,

P(Y=3)=0.43=0.064.

故Y的分布列为

E(Y)=3×0.4=1.2.

8.AC　由题意可知μ=100,σ=10,所以该地水稻的平均株高为100 cm,该地水稻株高的方差为100.故A正确,B错误.

因为X~N(100,102),

所以P(90≤X≤110)≈0.682 7,P(80≤X≤120)≈0.954 5,P(70≤X≤130)≈0.997 3.

所以P(X>120)=[1-P(80≤X≤120)]≈0.022 75,

P(X<70)=[1-P(70≤X≤130)]≈0.001 35,

P(80<X<90)=[P(80≤X≤120)-P(90≤X≤110)]≈0.135 9,

P(100<X<110)=P(90≤X≤110)≈0.341 35.

所以株高在120 cm以上的概率比株高在70 cm以下的概率大,株高在区间(80,90)和(100,110)的概率不相等.

故C正确,D错误.

9.x+y+2=0　由题意可知P(X<100)=,P(X≤80)=P(X>120)=a,

因为P(X≤80)+P(80<X<100)=P(X<100),

所以a+b= ①

因为直线l:ax+by+=0与圆C:x2+y2=2相切,

所以,即a2+b2= ②

由①②解得a=b=

所以直线l的方程为x+y+=0, 即x+y+2=0.

10.375　因为三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N(10 000,102),

所以三个电子元件的使用寿命超过10 000小时的概率均为

由题意可知该部件的使用寿命超过10 000小时的概率为

所以这1 000台仪器中该部件的使用寿命超过10 000小时的均值为1 000=375(台).

11.解 (1)由题意可知

即解得

所以利用分层随机抽样的方法抽取的6人中,第一、二、三组的人数分别为1,2,3.

所以恰有1人能接受的价格不低于2 000的概率P=

(2)由题意可知μ==2 350,

σ2=s2=0.1×(1 250-2 350)2+0.2×(1 750-2 350)2+0.3×(2 250-2 350)2+0.2×(2 750-2 350)2+0.2×(3 250-2 350)2=390 000,所以σ=100624,

故P(2 350<X<2 974)=P(1 726<X<2 974)0.682 7=0.341 35.

12.解 (1)由题意知,从面包师出售的面包中任取一个,其质量大于1 000 g的概率为,X~B,

则P(X=0)=,

P(X=1)=,

P(X=2)=

故X的分布列为

E(X)=2=1.

(2)依题意,假设面包师没有撒谎,则面包师出售的面包的质量Y(单位:g)服从正态分布N(1 000,502).

根据附①,可知从面包师出售的面包中任取25个,其平均质量Z(单位:g)服从正态分布N(1 000,102).

故P(980≤Z≤1 020)≈0.954 5,P(Z<980)=0.022 75<0.05,

即事件“抽取的25个面包的平均质量小于980 g”为小概率事件.

而购买的25个面包的总质量为24 468 g,平均质量为978.72 g,小于980 g,

即小概率事件发生,故认为假设不成立,即认为面包师撒谎.