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人教版高中数学高考一轮复习训练--概率
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这是一份人教版高中数学高考一轮复习训练--概率，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
章末目标检测卷十一 概率
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.某种彩票中奖的概率为110 000,以下说法正确的是( )
A.买10 000张彩票一定能中奖
B.买10 000张彩票只能中奖1次
C.若买9 999张彩票未中奖,则第10 000张彩票必中奖
D.买一张彩票中奖的可能性为110 000
2.已知某运动员每次投篮命中的概率都相等,以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果,指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示不命中.经随机模拟产生了20组随机数:
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )
A.0.25 B.0.35 C.0.2 D.0.15
3.若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.已知某校1 000名学生某次数学考试成绩服从正态分布N(110,100),据此估计该校学生本次数学考试成绩在130分以上的人数约为( )
A.159 B.46 C.23 D.13
4.甲、乙两人同时报考某一所大学,甲被录取的概率为0.6,乙被录取的概率为0.7,两人是否被录取互不影响,则其中至少有一人被录取的概率为( )
A.0.12 B.0.42 C.0.46 D.0.88
5.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次,命中率分别为0.6和0.7,在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率为( )
A.2144 B.1522 C.2150 D.925
6.从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张.则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )
A.518 B.49 C.59 D.79
7.体育课的排球发球项目考试的规则:每位学生最多可以发球3次,一旦发球成功,则停止发球,否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为p(p≠0),发球次数为X,若X的均值E(X)>1.75,则p的取值范围是( )
A.0,712 B.712,1 C.0,12 D.12,1
8.甲、乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为23,乙在每局中获胜的概率为13,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数X的均值E(X)为( )
A.24181 B.26681 C.27481 D.670243
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.
9.已知事件A,B,且P(A)=0.5,P(B)=0.2,则下列说法正确的是( )
A.如果B⊆A,那么P(A∪B)=0.2,P(AB)=0.5
B.如果A与B互斥,那么P(A∪B)=0.7,P(AB)=0
C.如果A与B相互独立,那么P(A∪B)=0.7,P(AB)=0
D.如果A与B相互独立,那么P(A B)=0.4,P(AB)=0.4
10.某人参加一次测试,在备选的10道题中,他能答对其中的5道,现从备选的10道题中随机抽出3道进行测试,规定至少答对2道题才算合格.则下列结论正确的是( )
A.抽出的3道题全答错与全答对的概率都为18
B.答对1道题的概率为38
C.答对2道题的概率为512
D.合格的概率为12
11.小张每天开车上下班,他家与公司之间有两条线路,单程所需时间(单位:min)随交通堵塞状况有所变化,其概率分布如表所示:
单程所需时间/min
30
40
50
60
线路一
0.5
0.2
0.2
0.1
线路二
0.3
0.5
0.1
0.1
则下列说法正确的是( )
A.任选一条线路,“上班所需时间小于50 min”与“上班所需时间为60 min”是对立事件
B.从所需的平均时间看,下班选择线路一比线路二更节省时间
C.若要求在45 min以内从家赶到公司,则小张应该选择线路一
D.若小张上班选择线路一,下班选择线路二,则所需时间之和大于100 min的概率为0.04
12.已知随机变量X服从正态分布N(100,102),则下列结论正确的是( )
(参考数据:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3)
A.E(X)=100
B.D(X)=100
C.P(X≥90)≈0.841 35
D.P(X≤120)≈0.998 65
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.某射手射击所得环数X的分布列如下:
X
7
8
9
10
P
a
0.1
0.3
b
已知X的均值E(X)=8.9,则b-a的值为 .
14.某市决定在一个地区投资三个项目,据预测,三个项目成功的概率分别为45,56,23,且三个项目是否成功相互独立,则恰有两个项目成功的概率为 ,至少有一个项目成功的概率为 .
15.在某校本年度足球比赛中,经过激烈角逐后,最终A,B,C,D四个班级的球队闯入半决赛.在半决赛中,对阵形势为:A对阵C,B对阵D,获胜球队进入决赛争夺冠亚军,失利球队争夺三四名.若每场比赛是相互独立的,四支球队间相互获胜的概率如表所示:
获胜概率
A
B
C
D
A获胜概率
—
0.3
0.4
0.8
B获胜概率
0.7
—
0.7
0.5
C获胜概率
0.6
0.3
—
0.3
D获胜概率
0.2
0.5
0.7
—
则A最终获得冠军的概率为 .
16.(2020江西南昌模拟)高三年级毕业活动中,要求A,B,C三个班级各选出三人,组成3×3小方阵,则来自同一班级的同学既不在同一行,也不在同一列的概率为 .
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)将一枚质地均匀且四个面上分别标有1,2,3,4的正四面体先后抛掷两次,记第一次朝下的面上的数字为x,第二次朝下的面上的数字为y.求:
(1)xy为整数的概率;
(2)x-y<2的概率.
18.(12分)(2020全国Ⅰ,文17)某厂接受了一项加工业务,加工出来的产品(单位:件)按标准分为A,B,C,D四个等级.加工业务约定:对于A级品、B级品、C级品,厂家每件分别收取加工费90元,50元,20元;对于D级品,厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件,乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务,在两个分厂各试加工了100件这种产品,并统计了这些产品的等级,整理如下:
甲分厂产品等级的频数分布表
等级
A
B
C
D
频数
40
20
20
20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级
A
B
C
D
频数
28
17
34
21
(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率;
(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润,以平均利润为依据,厂家应选哪个分厂承接加工业务?
19.(12分)某省为迎接新高考,拟先对考生某选考学科的实际得分进行等级赋分,再按赋分后的分数从高分到低分划A,B,C,D,E五个等级,考生实际得分经赋分后的分数在30分到100分之间.在对等级赋分的科学性进行论证时,对过去一年全省高考考生的该学科重新赋分后的成绩进行分析,随机抽取2 000名考生的该学科赋分后的成绩,得到如下频率分布直方图.(不考虑缺考考生的试卷)
(1)求这2 000名考生该学科赋分后的成绩的平均数x;(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)
(2)由频率分布直方图可以认为,考生经过赋分后的成绩X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数x,σ2近似为样本方差s2.
①利用正态分布,求P(50.41≤X≤79.59);
②某市有20 000名高三学生,记Y表示这20 000名高三学生中该学科赋分后等级为A等(即赋分后的成绩大于79.59分)的学生数,利用①的结果,求E(Y).
附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,
P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3,213≈14.59.
20.(12分)某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为23,中奖可以获得2分;方案乙的中奖率为25,中奖可以获得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.
(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为X,求X≤3的概率;
(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,则他们选择何种方案抽奖,累计得分的均值较大?
21.(12分)某校中学生篮球队假期集训,集训前共有6个篮球,其中3个是新球(即没有用过的球),3个是旧球(即至少用过一次的球).每次训练都从中任意取出2个球,用完后放回.
(1)设第一次训练时取到的新球个数为X,求X的分布列和均值;
(2)已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球,求第二次训练时恰好取到1个新球的概率.
22.(12分)张老师开车去学校上班,有路线①与路线②两条路线可供选择.
路线①:沿途有A,B两处独立运行的交通信号灯,且两处遇到绿灯的概率依次为12,23.若A处遇红灯或黄灯,则导致延误时间2分钟;若B处遇红灯或黄灯,则导致延误时间3分钟;若两处都遇绿灯,则全程所花时间为20分钟.
路线②:沿途有a,b两处独立运行的交通信号灯,且两处遇到绿灯的概率依次为34,25.若a处遇红灯或黄灯,则导致延误时间8分钟;若b处遇红灯或黄灯,则导致延误时间5分钟;若两处都遇绿灯,则全程所花时间为15分钟.
(1)若张老师选择路线①,求他20分钟能到校的概率;
(2)为使张老师日常上班途中所花时间较少,你建议张老师选择哪条路线?并说明理由.
章末目标检测卷十一 概率
1.D 中奖的概率为110 000是指买一张彩票中奖的可能性为110 000,故选D.
2.A 由题意可知20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有191,271,932,812,393,共5组,故估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为520=0.25.
3.C 设该校学生本次数学考试成绩为X,则由题意可知X~N(110,100),μ=110,σ=10,
所以P(X>130)=1-P(90≤X≤130)2≈0.022 75.
所以该校学生本次数学考试成绩在130分以上的人数约为1 000×0.022 75≈23.
4.D 因为甲、乙两人是否被录取相互独立,
又因为所求事件的对立事件为“两人均未被录取”,所以由对立事件和相互独立事件概率公式知,
所求概率为1-(1-0.6)×(1-0.7)=1-0.12=0.88.
5.A 设“目标被击中”为事件B,“甲、乙同时击中目标”为事件A,
则P(A)=0.6×0.7=0.42,
P(B)=0.6×0.7+0.4×0.7+0.6×0.3=0.88,
故P(A|B)=P(AB)P(B)=P(A)P(B)=0.420.88=2144.
6.C 从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张,共有A92种不同情况.其中2张卡片上的数奇偶性不同的情况有(A51A41+A41A51)种,则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率P=A51A41+A41A51A92=59.
故选C.
7.C X的可能取值为1,2,3,
则P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,P(X=3)=(1-p)2,
故E(X)=p+2p(1-p)+3(1-p)2=p2-3p+3.
由E(X)>1.75,即p2-3p+3>1.75,
解得p<12p>52舍去.
故0
9.BD 对于A,如果B⊆A,那么P(A∪B)=0.5,P(AB)=0.2,故A错误;
对于B,如果A与B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.7,P(AB)=0,故B正确;
对于C,如果A与B相互独立,
那么P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5+0.2-0.5×0.2=0.6,
P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.2=0.1,故C错误;
对于D,如果A与B相互独立,
那么P(A B)=P(A)P(B)=(1-0.5)×(1-0.2)=0.4,
P(AB)=P(A)P(B)=0.5×(1-0.2)=0.4,故D正确.
10.CD 设抽出的3道题中答对的题数为X,
则X的可能取值为0,1,2,3,
P(X=0)=C53C103=112,P(X=1)=C51C52C103=512,
P(X=2)=C52C51C103=512,P(X=3)=C53C103=112.
故抽出的3道题全答错与全答对的概率都为112,答对1道题的概率为512,答对2道题的概率为512,合格的概率为P(X=2)+P(X=3)=12.故选CD.
11.BD 任选一条线路,“上班所需时间小于50 min”与“上班所需时间为60 min”是互斥而不对立事件,故A错误.
下班选择线路一所需的平均时间为30×0.5+40×0.2+50×0.2+60×0.1=39(min),
选择线路二所需的平均时间为30×0.3+40×0.5+50×0.1+60×0.1=40(min),
所以下班选择线路一比线路二更节省时间,故B正确.
上班选择线路一所需时间小于45 min的概率为0.7,选择线路二所需时间小于45 min的概率为0.8,
所以小张应该选择线路二,故C错误.
若上班选择线路一,下班选择线路二,则所需时间之和大于100 min的概率为0.2×0.1+0.1×0.1+0.1×0.1=0.04,故D正确.
12.ABC 因为X~N(100,102),
所以E(X)=100,D(X)=100,
P(90≤X≤110)≈0.682 7,
P(80≤X≤120)≈0.954 5,
所以P(X≥90)=0.5+12P(90≤X≤110)≈0.841 35,
P(X≤120)=0.5+12P(80≤X≤120)≈0.977 25.
故选ABC.
13.0.2 由题意可知a+0.1+0.3+b=1,即a+b=0.6.①
E(X)=7a+8×0.1+9×0.3+10b=8.9,即7a+10b=5.4.②
由①②解得a=0.2,b=0.4.
故b-a=0.2.
14.1945 8990 依题意,恰有两个项目成功的概率为
45×56×1-23+45×1-56×23+1-45×56×23=1945.
因为所有项目都不成功的概率为1-45×1-56×1-23=190,所以至少有一个项目成功的概率为1-190=8990.
15.0.22 依题意,所求概率为0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.8=0.22.
16.1140 将选出的9人任意排列,有A99种排法.因为来自同一班级的同学不在同一行,所以每行的三人均来自三个班级,所以第一行有33×A33=162(种)排法.又来自同一班级的同学不在同一列,所以第二行有23×2=16(种)排法,第三行只有1种排法.所以来自同一班级的同学既不在同一行,也不在同一列的概率为162×16×1A99=1140.
17.解 根据题意,用(x,y)表示样本点,
则样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},共有16个样本点.
(1)记“xy为整数”为事件A,则A={(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,3),(4,1),(4,2),(4,4)},共有8个样本点,
故P(A)=816=12.
(2)记“x-y<2”为事件B,则B={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)},共有13个样本点,故P(B)=1316.
18.解 (1)由试加工产品等级的频数分布表,知
甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为40100=0.4;
乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为28100=0.28.
(2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
利润
65
25
-5
-75
频数
40
20
20
20
因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为65×40+25×20-5×20-75×20100=15.
由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
利润
70
30
0
-70
频数
28
17
34
21
因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为70×28+30×17+0×34-70×21100=10.
比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润,应选甲分厂承接加工业务.
19.解 (1)由题意可知x=35×0.05+45×0.107 5+55×0.19+65×0.3+75×0.2+85×0.102 5+95×0.05=65.
(2)因为x=65,s2=(35-65)2×0.05+(45-65)2×0.107 5+(55-65)2×0.19+(65-65)2×0.3+(75-65)2×0.2+(85-65)2×0.102 5+(95-65)2×0.05=213,所以X~N(65,213).
①因为213≈14.59,所以P(50.41≤X≤79.59)=P(65-14.59≤X≤65+14.59)≈0.682 7.
②由①知P(X>79.59)=1-P(50.41≤X≤79.59)2≈0.158 65,即一名考生该学科赋分后的等级为A等的概率为0.158 65.
由题意可知Y~B(20 000,0.158 65),故E(Y)=20 000×0.158 65=3 173.
20.解 (1)由已知得,小明中奖的概率为23,小红中奖的概率为25,且两人中奖与否互不影响.
记“这两人的累计得分X≤3”为事件A,则事件A的对立事件为“这两人的累计得分X=5”,
因为P(X=5)=23×25=415,
所以P(A)=1-P(X=5)=1115.所以这两人的累计得分X≤3的概率为1115.
(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖的中奖次数为X1,都选择方案乙抽奖的中奖次数为X2,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的均值为E(2X1),选择方案乙抽奖累计得分的均值为E(3X2).
由已知可得,X1~B2,23,X2~B2,25,
所以E(X1)=2×23=43,E(X2)=2×25=45.
所以E(2X1)=2E(X1)=83,E(3X2)=3E(X2)=125.
因为E(2X1)>E(3X2),所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的均值较大.
21.解 (1)由已知得X的所有可能取值为0,1,2,
则P(X=0)=C32C62=15,P(X=1)=C31C31C62=35,P(X=2)=C32C62=15.
故X的分布列为
X
0
1
2
P
15
35
15
E(X)=0×15+1×35+2×15=1.
(2)设事件A1=“第一次训练时没有取到新球”,A2=“第一次训练时取到1个新球”,A3=“第一次训练时取到2个新球”,B=“第二次训练时恰好取到1个新球”,则P(A1)=P(X=0)=15,P(A2)=P(X=1)=35,P(A3)=P(X=2)=15,
P(B|A1)=C31C31C62=35,
P(B|A2)=C21C41C62=815,
P(B|A3)=C51C62=13,
故P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=3875.
所以第二次训练时恰好取到1个新球的概率为3875.
22.解 (1)选择路线①,20分钟能到校意味着张老师在A,B两处均遇到绿灯,记该事件发生的概率为P,则P=12×23=13.
(2)设选择路线①的延误时间为随机变量X,则X的所有可能取值为0,2,3,5.
P(X=0)=12×23=13,
P(X=2)=12×23=13,
P(X=3)=12×13=16,
P(X=5)=12×13=16.
故E(X)=0×13+2×13+3×16+5×16=2.
设选择路线②的延误时间为随机变量Y,则Y的所有可能取值为0,5,8,13.
P(Y=0)=34×25=310,P(Y=5)=34×35=920,
P(Y=8)=14×25=110,P(Y=13)=14×35=320.
故E(Y)=0×310+5×920+8×110+13×320=5.
因此选择路线①平均所花时间为20+2=22(分钟),选择路线②平均所花时间为15+5=20(分钟),
所以为使张老师日常上班途中所花时间较少,建议张老师选择路线②.
章末目标检测卷十一 概率
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.某种彩票中奖的概率为110 000,以下说法正确的是( )
A.买10 000张彩票一定能中奖
B.买10 000张彩票只能中奖1次
C.若买9 999张彩票未中奖,则第10 000张彩票必中奖
D.买一张彩票中奖的可能性为110 000
2.已知某运动员每次投篮命中的概率都相等,以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果,指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示不命中.经随机模拟产生了20组随机数:
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )
A.0.25 B.0.35 C.0.2 D.0.15
3.若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.已知某校1 000名学生某次数学考试成绩服从正态分布N(110,100),据此估计该校学生本次数学考试成绩在130分以上的人数约为( )
A.159 B.46 C.23 D.13
4.甲、乙两人同时报考某一所大学,甲被录取的概率为0.6,乙被录取的概率为0.7,两人是否被录取互不影响,则其中至少有一人被录取的概率为( )
A.0.12 B.0.42 C.0.46 D.0.88
5.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次,命中率分别为0.6和0.7,在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率为( )
A.2144 B.1522 C.2150 D.925
6.从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张.则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )
A.518 B.49 C.59 D.79
7.体育课的排球发球项目考试的规则:每位学生最多可以发球3次,一旦发球成功,则停止发球,否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为p(p≠0),发球次数为X,若X的均值E(X)>1.75,则p的取值范围是( )
A.0,712 B.712,1 C.0,12 D.12,1
8.甲、乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为23,乙在每局中获胜的概率为13,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数X的均值E(X)为( )
A.24181 B.26681 C.27481 D.670243
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.
9.已知事件A,B,且P(A)=0.5,P(B)=0.2,则下列说法正确的是( )
A.如果B⊆A,那么P(A∪B)=0.2,P(AB)=0.5
B.如果A与B互斥,那么P(A∪B)=0.7,P(AB)=0
C.如果A与B相互独立,那么P(A∪B)=0.7,P(AB)=0
D.如果A与B相互独立,那么P(A B)=0.4,P(AB)=0.4
10.某人参加一次测试,在备选的10道题中,他能答对其中的5道,现从备选的10道题中随机抽出3道进行测试,规定至少答对2道题才算合格.则下列结论正确的是( )
A.抽出的3道题全答错与全答对的概率都为18
B.答对1道题的概率为38
C.答对2道题的概率为512
D.合格的概率为12
11.小张每天开车上下班,他家与公司之间有两条线路,单程所需时间(单位:min)随交通堵塞状况有所变化,其概率分布如表所示:
单程所需时间/min
30
40
50
60
线路一
0.5
0.2
0.2
0.1
线路二
0.3
0.5
0.1
0.1
则下列说法正确的是( )
A.任选一条线路,“上班所需时间小于50 min”与“上班所需时间为60 min”是对立事件
B.从所需的平均时间看,下班选择线路一比线路二更节省时间
C.若要求在45 min以内从家赶到公司,则小张应该选择线路一
D.若小张上班选择线路一,下班选择线路二,则所需时间之和大于100 min的概率为0.04
12.已知随机变量X服从正态分布N(100,102),则下列结论正确的是( )
(参考数据:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3)
A.E(X)=100
B.D(X)=100
C.P(X≥90)≈0.841 35
D.P(X≤120)≈0.998 65
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.某射手射击所得环数X的分布列如下:
X
7
8
9
10
P
a
0.1
0.3
b
已知X的均值E(X)=8.9,则b-a的值为 .
14.某市决定在一个地区投资三个项目,据预测,三个项目成功的概率分别为45,56,23,且三个项目是否成功相互独立,则恰有两个项目成功的概率为 ,至少有一个项目成功的概率为 .
15.在某校本年度足球比赛中,经过激烈角逐后,最终A,B,C,D四个班级的球队闯入半决赛.在半决赛中,对阵形势为:A对阵C,B对阵D,获胜球队进入决赛争夺冠亚军,失利球队争夺三四名.若每场比赛是相互独立的,四支球队间相互获胜的概率如表所示:
获胜概率
A
B
C
D
A获胜概率
—
0.3
0.4
0.8
B获胜概率
0.7
—
0.7
0.5
C获胜概率
0.6
0.3
—
0.3
D获胜概率
0.2
0.5
0.7
—
则A最终获得冠军的概率为 .
16.(2020江西南昌模拟)高三年级毕业活动中,要求A,B,C三个班级各选出三人,组成3×3小方阵,则来自同一班级的同学既不在同一行,也不在同一列的概率为 .
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)将一枚质地均匀且四个面上分别标有1,2,3,4的正四面体先后抛掷两次,记第一次朝下的面上的数字为x,第二次朝下的面上的数字为y.求:
(1)xy为整数的概率;
(2)x-y<2的概率.
18.(12分)(2020全国Ⅰ,文17)某厂接受了一项加工业务,加工出来的产品(单位:件)按标准分为A,B,C,D四个等级.加工业务约定:对于A级品、B级品、C级品,厂家每件分别收取加工费90元,50元,20元;对于D级品,厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件,乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务,在两个分厂各试加工了100件这种产品,并统计了这些产品的等级,整理如下:
甲分厂产品等级的频数分布表
等级
A
B
C
D
频数
40
20
20
20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级
A
B
C
D
频数
28
17
34
21
(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率;
(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润,以平均利润为依据,厂家应选哪个分厂承接加工业务?
19.(12分)某省为迎接新高考,拟先对考生某选考学科的实际得分进行等级赋分,再按赋分后的分数从高分到低分划A,B,C,D,E五个等级,考生实际得分经赋分后的分数在30分到100分之间.在对等级赋分的科学性进行论证时,对过去一年全省高考考生的该学科重新赋分后的成绩进行分析,随机抽取2 000名考生的该学科赋分后的成绩,得到如下频率分布直方图.(不考虑缺考考生的试卷)
(1)求这2 000名考生该学科赋分后的成绩的平均数x;(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)
(2)由频率分布直方图可以认为,考生经过赋分后的成绩X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数x,σ2近似为样本方差s2.
①利用正态分布,求P(50.41≤X≤79.59);
②某市有20 000名高三学生,记Y表示这20 000名高三学生中该学科赋分后等级为A等(即赋分后的成绩大于79.59分)的学生数,利用①的结果,求E(Y).
附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,
P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3,213≈14.59.
20.(12分)某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为23,中奖可以获得2分;方案乙的中奖率为25,中奖可以获得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.
(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为X,求X≤3的概率;
(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,则他们选择何种方案抽奖,累计得分的均值较大?
21.(12分)某校中学生篮球队假期集训,集训前共有6个篮球,其中3个是新球(即没有用过的球),3个是旧球(即至少用过一次的球).每次训练都从中任意取出2个球,用完后放回.
(1)设第一次训练时取到的新球个数为X,求X的分布列和均值;
(2)已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球,求第二次训练时恰好取到1个新球的概率.
22.(12分)张老师开车去学校上班,有路线①与路线②两条路线可供选择.
路线①:沿途有A,B两处独立运行的交通信号灯,且两处遇到绿灯的概率依次为12,23.若A处遇红灯或黄灯,则导致延误时间2分钟;若B处遇红灯或黄灯,则导致延误时间3分钟;若两处都遇绿灯,则全程所花时间为20分钟.
路线②:沿途有a,b两处独立运行的交通信号灯,且两处遇到绿灯的概率依次为34,25.若a处遇红灯或黄灯,则导致延误时间8分钟;若b处遇红灯或黄灯,则导致延误时间5分钟;若两处都遇绿灯,则全程所花时间为15分钟.
(1)若张老师选择路线①,求他20分钟能到校的概率;
(2)为使张老师日常上班途中所花时间较少,你建议张老师选择哪条路线?并说明理由.
章末目标检测卷十一 概率
1.D 中奖的概率为110 000是指买一张彩票中奖的可能性为110 000,故选D.
2.A 由题意可知20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有191,271,932,812,393,共5组,故估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为520=0.25.
3.C 设该校学生本次数学考试成绩为X,则由题意可知X~N(110,100),μ=110,σ=10,
所以P(X>130)=1-P(90≤X≤130)2≈0.022 75.
所以该校学生本次数学考试成绩在130分以上的人数约为1 000×0.022 75≈23.
4.D 因为甲、乙两人是否被录取相互独立,
又因为所求事件的对立事件为“两人均未被录取”,所以由对立事件和相互独立事件概率公式知,
所求概率为1-(1-0.6)×(1-0.7)=1-0.12=0.88.
5.A 设“目标被击中”为事件B,“甲、乙同时击中目标”为事件A,
则P(A)=0.6×0.7=0.42,
P(B)=0.6×0.7+0.4×0.7+0.6×0.3=0.88,
故P(A|B)=P(AB)P(B)=P(A)P(B)=0.420.88=2144.
6.C 从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张,共有A92种不同情况.其中2张卡片上的数奇偶性不同的情况有(A51A41+A41A51)种,则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率P=A51A41+A41A51A92=59.
故选C.
7.C X的可能取值为1,2,3,
则P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,P(X=3)=(1-p)2,
故E(X)=p+2p(1-p)+3(1-p)2=p2-3p+3.
由E(X)>1.75,即p2-3p+3>1.75,
解得p<12p>52舍去.
故0
9.BD 对于A,如果B⊆A,那么P(A∪B)=0.5,P(AB)=0.2,故A错误;
对于B,如果A与B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.7,P(AB)=0,故B正确;
对于C,如果A与B相互独立,
那么P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5+0.2-0.5×0.2=0.6,
P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.2=0.1,故C错误;
对于D,如果A与B相互独立,
那么P(A B)=P(A)P(B)=(1-0.5)×(1-0.2)=0.4,
P(AB)=P(A)P(B)=0.5×(1-0.2)=0.4,故D正确.
10.CD 设抽出的3道题中答对的题数为X,
则X的可能取值为0,1,2,3,
P(X=0)=C53C103=112,P(X=1)=C51C52C103=512,
P(X=2)=C52C51C103=512,P(X=3)=C53C103=112.
故抽出的3道题全答错与全答对的概率都为112,答对1道题的概率为512,答对2道题的概率为512,合格的概率为P(X=2)+P(X=3)=12.故选CD.
11.BD 任选一条线路,“上班所需时间小于50 min”与“上班所需时间为60 min”是互斥而不对立事件,故A错误.
下班选择线路一所需的平均时间为30×0.5+40×0.2+50×0.2+60×0.1=39(min),
选择线路二所需的平均时间为30×0.3+40×0.5+50×0.1+60×0.1=40(min),
所以下班选择线路一比线路二更节省时间,故B正确.
上班选择线路一所需时间小于45 min的概率为0.7,选择线路二所需时间小于45 min的概率为0.8,
所以小张应该选择线路二,故C错误.
若上班选择线路一,下班选择线路二,则所需时间之和大于100 min的概率为0.2×0.1+0.1×0.1+0.1×0.1=0.04,故D正确.
12.ABC 因为X~N(100,102),
所以E(X)=100,D(X)=100,
P(90≤X≤110)≈0.682 7,
P(80≤X≤120)≈0.954 5,
所以P(X≥90)=0.5+12P(90≤X≤110)≈0.841 35,
P(X≤120)=0.5+12P(80≤X≤120)≈0.977 25.
故选ABC.
13.0.2 由题意可知a+0.1+0.3+b=1,即a+b=0.6.①
E(X)=7a+8×0.1+9×0.3+10b=8.9,即7a+10b=5.4.②
由①②解得a=0.2,b=0.4.
故b-a=0.2.
14.1945 8990 依题意,恰有两个项目成功的概率为
45×56×1-23+45×1-56×23+1-45×56×23=1945.
因为所有项目都不成功的概率为1-45×1-56×1-23=190,所以至少有一个项目成功的概率为1-190=8990.
15.0.22 依题意,所求概率为0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.8=0.22.
16.1140 将选出的9人任意排列,有A99种排法.因为来自同一班级的同学不在同一行,所以每行的三人均来自三个班级,所以第一行有33×A33=162(种)排法.又来自同一班级的同学不在同一列,所以第二行有23×2=16(种)排法,第三行只有1种排法.所以来自同一班级的同学既不在同一行,也不在同一列的概率为162×16×1A99=1140.
17.解 根据题意,用(x,y)表示样本点,
则样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},共有16个样本点.
(1)记“xy为整数”为事件A,则A={(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,3),(4,1),(4,2),(4,4)},共有8个样本点,
故P(A)=816=12.
(2)记“x-y<2”为事件B,则B={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)},共有13个样本点,故P(B)=1316.
18.解 (1)由试加工产品等级的频数分布表,知
甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为40100=0.4;
乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为28100=0.28.
(2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
利润
65
25
-5
-75
频数
40
20
20
20
因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为65×40+25×20-5×20-75×20100=15.
由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
利润
70
30
0
-70
频数
28
17
34
21
因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为70×28+30×17+0×34-70×21100=10.
比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润,应选甲分厂承接加工业务.
19.解 (1)由题意可知x=35×0.05+45×0.107 5+55×0.19+65×0.3+75×0.2+85×0.102 5+95×0.05=65.
(2)因为x=65,s2=(35-65)2×0.05+(45-65)2×0.107 5+(55-65)2×0.19+(65-65)2×0.3+(75-65)2×0.2+(85-65)2×0.102 5+(95-65)2×0.05=213,所以X~N(65,213).
①因为213≈14.59,所以P(50.41≤X≤79.59)=P(65-14.59≤X≤65+14.59)≈0.682 7.
②由①知P(X>79.59)=1-P(50.41≤X≤79.59)2≈0.158 65,即一名考生该学科赋分后的等级为A等的概率为0.158 65.
由题意可知Y~B(20 000,0.158 65),故E(Y)=20 000×0.158 65=3 173.
20.解 (1)由已知得,小明中奖的概率为23,小红中奖的概率为25,且两人中奖与否互不影响.
记“这两人的累计得分X≤3”为事件A,则事件A的对立事件为“这两人的累计得分X=5”,
因为P(X=5)=23×25=415,
所以P(A)=1-P(X=5)=1115.所以这两人的累计得分X≤3的概率为1115.
(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖的中奖次数为X1,都选择方案乙抽奖的中奖次数为X2,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的均值为E(2X1),选择方案乙抽奖累计得分的均值为E(3X2).
由已知可得,X1~B2,23,X2~B2,25,
所以E(X1)=2×23=43,E(X2)=2×25=45.
所以E(2X1)=2E(X1)=83,E(3X2)=3E(X2)=125.
因为E(2X1)>E(3X2),所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的均值较大.
21.解 (1)由已知得X的所有可能取值为0,1,2,
则P(X=0)=C32C62=15,P(X=1)=C31C31C62=35,P(X=2)=C32C62=15.
故X的分布列为
X
0
1
2
P
15
35
15
E(X)=0×15+1×35+2×15=1.
(2)设事件A1=“第一次训练时没有取到新球”,A2=“第一次训练时取到1个新球”,A3=“第一次训练时取到2个新球”,B=“第二次训练时恰好取到1个新球”,则P(A1)=P(X=0)=15,P(A2)=P(X=1)=35,P(A3)=P(X=2)=15,
P(B|A1)=C31C31C62=35,
P(B|A2)=C21C41C62=815,
P(B|A3)=C51C62=13,
故P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=3875.
所以第二次训练时恰好取到1个新球的概率为3875.
22.解 (1)选择路线①,20分钟能到校意味着张老师在A,B两处均遇到绿灯,记该事件发生的概率为P,则P=12×23=13.
(2)设选择路线①的延误时间为随机变量X,则X的所有可能取值为0,2,3,5.
P(X=0)=12×23=13,
P(X=2)=12×23=13,
P(X=3)=12×13=16,
P(X=5)=12×13=16.
故E(X)=0×13+2×13+3×16+5×16=2.
设选择路线②的延误时间为随机变量Y,则Y的所有可能取值为0,5,8,13.
P(Y=0)=34×25=310,P(Y=5)=34×35=920,
P(Y=8)=14×25=110,P(Y=13)=14×35=320.
故E(Y)=0×310+5×920+8×110+13×320=5.
因此选择路线①平均所花时间为20+2=22(分钟),选择路线②平均所花时间为15+5=20(分钟),
所以为使张老师日常上班途中所花时间较少,建议张老师选择路线②.
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