初中数学第24章 圆综合与测试同步达标检测题

沪科版九年级数学下册第24章圆月考

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，AB为的直径，，，劣弧BC的长是劣弧BD长的2倍，则AC的长为（    ）

A． B． C．3 D．

2、如图，在Rt中，．以点为圆心，长为半径的圆交于点，则的长是（    ）

A．1 B． C． D．2

3、如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于M，则下列结论不一定成立的是（　　　　）

A．AM=BM B．CM=DM C． D．

4、下面的图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

5、下列说法正确的个数有（    ）

①方程的两个实数根的和等于1；

②半圆是弧；

③正八边形是中心对称图形；

④“抛掷3枚质地均匀的硬币全部正面朝上”是随机事件；

⑤如果反比例函数的图象经过点，则这个函数图象位于第二、四象限．

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

6、如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，当点的对应点恰好落在边上时，的长为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

7、如图，AB是⊙O的直径，弦，，，则阴影部分图形的面积为（    ）

A． B． C． D．

8、如图，边长为5的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是（    ）

A． B．1 C．2 D．

9、如图，为的直径，为外一点，过作的切线，切点为，连接交于，，点在右侧的半圆周上运动（不与，重合），则的大小是（    ）

A．19° B．38° C．52° D．76°

10、如图，AB，CD是⊙O的弦，且，若，则的度数为（    ）

A．30° B．40° C．45° D．60°

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、龙湖实验中学的操场有4条等宽的跑道，每条跑道是由两条直跑道和两个半圆形弧道连接而成，请根据小泓与瞿老师的对话计算每条跑道的宽度是______米．

2、两直角边分别为6、8，那么的内接圆的半径为____________．

3、如图所示是一个圆锥在某平面上的正投影，则该圆锥的侧面积是________

4、如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，若∠DAE=110°，∠B=40°，则∠C的度数为________．

5、把一个正六边形绕其中心旋转，至少旋转________度，可以与自身重合．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、在所给的的正方形网格中，按下列要求操作：（单位正方形的边长为1）

（1）请在第二象限内的格点上找一点，使是以为底的等腰三角形，且腰长是无理数，求点的坐标；

（2）画出以点为中心，旋转180°后的，并求的面积．

2、如图，已知等边内接于⊙O，D为的中点，连接DB，DC，过点C作AB的平行线，交BD的延长线于点E．

（1）求证：CE是⊙O的切线；

（2）若AB的长为6，求CE的长．

3、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在BA上，连接AF．

（1）若∠BAC＝40°，求∠BAF的度数；

（2）若AC＝8，BC＝6，求AF的长．

4、如图，为的直径，为的切线，弦，直线交的延长线于点，连接．

求证：（1）；

（2）．

5、如图 1，O为直线 DE上一点，过点 O在直线 DE上方作射线 OC，∠EOC=130°．将直角三角板AOB（∠OAB＝30°）的直角顶点放在点O处，一条边 OA在射线 OD上，另一边 OB在直线 DE上方，将直角三角板绕点 O 按每秒 5°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t 秒．

（1）如图2，当t=4 时，∠AOC=     ，∠BOE=     ，∠BOE﹣∠AOC=     ；

（2）当三角板旋转至边 AB与射线 OE相交时（如图 3），试猜想∠AOC与∠BOE的数量关系，并说明理由；

（3）在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线 OA、OC、OD 中的某一条射线是另两条射线所成夹角的角平分线？若存在，请直接写出 t 的取值，若不存在，请说明理由．

-参考答案-

一、单选题

1、D

【分析】

连接，根据求得半径，进而根据的长，勾股定理的逆定理证明，根据弧长关系可得，即可证明是等边三角形，求得，进而由勾股定理即可求得

【详解】

如图，连接，

，

是直角三角形，且

是等边三角形

是直径，

故选D

【点睛】

本题考查了弧与圆心角的关系，直径所对的圆周角是90度，勾股定理，等边三角形的判定，求得的长是解题的关键．

2、B

【分析】

利用三角函数及勾股定理求出BC、AB，连接CD，过点C作CE⊥AB于E，利用，求出BE，根据垂径定理求出BD即可得到答案．

【详解】

解： 在Rt中，，

∴BC=3，，

连接CD，过点C作CE⊥AB于E，

∵，

∴，

解得，

∵CB=CD，CE⊥AB，

∴，

∴，

故选：B．

【点睛】

此题考查了锐角三角函数，勾股定理，垂径定理，熟记各定理并熟练应用是解题的关键．

3、B

【分析】

根据垂径定理“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”进行判断即可得．

【详解】

解：∵弦AB⊥CD，CD过圆心O，

∴AM=BM，，，

即选项A、C、D选项说法正确，不符合题意，

当根据已知条件得CM和DM不一定相等，

故选B．

【点睛】

本题考查了垂径定理，解题的关键是掌握垂径定理．

4、A

【详解】

解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，此项符合题意；

B、是中心对称图形，不是轴对称图形，此项不符题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，此项不符题意；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，此项不符题意；

故选：A．

【点睛】

本题考查了中心对称图形和轴对称图形，熟记中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）和轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）是解题关键．

5、B

【分析】

根据所学知识对五个命题进行判断即可．

【详解】

1、，故方程无实数根，故本命题错误；

2、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，半圆也是，故本命题正确；

3、八边形绕中心旋转180°以后仍然与原图重合，故本命题正确；

4、抛硬币无论抛多少，出现正反面朝上都是随机事件，故抛三枚硬币全部正面朝上也是随机事件，故本命题正确；

5、反比例函数的图象经过点 (1,2) ，则,它的函数图像位于一三象限，故本命题错误

综上所述，正确个数为3

故选B

【点睛】

本题考查一元二次函数判别式、弧的定义、中心对称图形判断、随机事件理解、反比例函数图像，掌握这些是本题关键．

6、A

【分析】

先根据旋转的性质可得，再根据等边三角形的判定与性质可得，然后根据线段的和差即可得．

【详解】

由旋转的性质得：，

，

是等边三角形，

，

，

．

故选：A．

【点睛】

本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题关键．

7、D

【分析】

根据垂径定理求得CE=ED=；然后由圆周角定理知∠COE=60°．然后通过解直角三角形求得线段OC，然后证明△OCE≌△BDE，得到求出扇形COB面积，即可得出答案．

【详解】

解：设AB与CD交于点E，

∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=2，如图，

∴CE=CD=，∠CEO=∠DEB=90°，

∵∠CDB=30°，

∴∠COB=2∠CDB=60°，

∴∠OCE=30°，

∴，

∴，

又∵，即

∴，

在△OCE和△BDE中，

，

∴△OCE≌△BDE（AAS），

∴

∴阴影部分的面积S=S扇形COB=，

故选D．

【点睛】

本题考查了垂径定理、含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，圆周角定理，扇形面积的计算等知识点，能知道阴影部分的面积=扇形COB的面积是解此题的关键．

8、A

【分析】

取CB的中点G，连接MG，根据等边三角形的性质可得BH=BG，再求出∠HBN=∠MBG，根据旋转的性质可得MB=NB，然后利用“边角边”证明△MBG≌△NBH，再根据全等三角形对应边相等可得HN=MG，然后根据垂线段最短可得MG⊥CH时最短，再根据∠BCH=30°求解即可．

【详解】

解：如图，取BC的中点G，连接MG，

∵旋转角为60°，

∴∠MBH+∠HBN=60°，

又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，

∴∠HBN=∠GBM，

∵CH是等边△ABC的对称轴，

∴HB=AB，

∴HB=BG，

又∵MB旋转到BN，

∴BM=BN，

在△MBG和△NBH中，

，

∴△MBG≌△NBH（SAS），

∴MG=NH，

根据垂线段最短，MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，

此时∵∠BCH=×60°=30°，CG=AB=×5=2.5，

∴MG=CG=，

∴HN=，

故选A．

【点睛】

本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．

9、B

【分析】

连接 由为的直径，求解 结合为的切线，求解 再利用圆周角定理可得答案.

【详解】

解：连接 为的直径，

为的切线，

故选B

【点睛】

本题考查的是三角形的内角和定理，直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，切线的性质定理，熟练运用以上知识逐一求解相关联的角的大小是解本题的关键.

10、B

【分析】

由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，利用平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可得．

【详解】

解：∵，

∴，

∵，

∴，

故选：B．

【点睛】

题目主要考查圆周角定理，平行线的性质等，理解题意，找出相关的角度是解题关键．

二、填空题

1、

【分析】

设跑道的宽为米，根据直道长度一样，外圈与内圈的差是两个圆周长的差，列出式子求解即可．

【详解】

解：设跑道的宽为米，由对称性设内圈两个半圆形弧道拼成的圆的半径为，

根据题意可得：，

解得：，

故答案是：．

【点睛】

本题考查了圆的基本概念，一元一次方程，解题的关键是根据题意列出等式求解．

2、5

【分析】

直角三角形外接圆的直径是斜边的长．

【详解】

解：由勾股定理得：AB==10，

∵∠ACB=90°，

∴AB是⊙O的直径，

∴这个三角形的外接圆直径是10，

∴这个三角形的外接圆半径长为5，

故答案为：5．

【点睛】

本题考查了三角形的外接圆与外心，知道直角三角形外接圆的直径是斜边的长是关键；外心是三边垂直平分线的交点，外心到三个顶点的距离相等．

3、

【分析】

由勾股定理求得圆锥母线长为，再由圆锥的侧面积公式即可得出圆锥侧面积为．

【详解】

∵是一个圆锥在某平面上的正投影

∴为等腰三角形

∵AD⊥BC

∴

在中有

即

由圆锥侧面积公式有．

故答案为：。

【点睛】

本题考查了计算圆锥的侧面积，若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为，圆锥的侧面积为．

4、

【分析】

先根据旋转的性质求得，再运用三角形内角和定理求解即可．

【详解】

解：将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，∠DAE=110°

，

，

．

故答案是：30°．

【点睛】

本题主要考查了旋转的性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用旋转的性质是解答本题的关键．

5、60

【分析】

正六边形连接各个顶点和中心，这些连线会将360°分成6分，每份60°因此至少旋转60°，正六边形就能与自身重合．

【详解】

360°÷6=60°

故答案为：60

【点睛】

本题考查中心对称图形的性质，根据图形特征找到最少旋转度数是本题关键．

三、解答题

1、

（1）图见解析，点的坐标为

（2）图见解析，4

【分析】

（1）根据题意，腰长为无理数且为以AB为底的等腰三角形，只在第二象限，作图即可确定点，然后写出点的坐标即可；

（2）现确定旋转后的点，然后依次连接即可，根据旋转前后三角形的面积不变，利用表格及勾股定理确定三角形的底和高，即可得出面积．

（1）

解：如图所示，点的坐标为；

，为无理数，符合题意；

（2）

如图所示：点的坐标，点的坐标为，

∵旋转180°后的的面积等于的面积，

，

∴，

∴的面积为4．

【点睛】

题目主要考查等腰三角形的定义及旋转图形的作法，理解题意，熟练掌握在坐标系中旋转图形的作法是解题关键．

2、（1）见解析；（2）3

【分析】

（1）由题意连接OC，OB，由等边三角形的性质可得∠ABC=∠BCE=60°，求出∠OCB=30°，则∠OCE=90°，结论得证；

（2）根据题意由条件可得∠DBC=30°，∠BEC=90°，进而即可求出CE=BC＝3．

【详解】

解：（1）证明：如图连接OC、OB．

∵是等边三角形

∴ 

∵

∴  

又 ∵

∴

∴

∴

∴与⊙O相切；

 （2）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∴

∴

∵D为的中点，

∴

∴

∵

∴   

∴

【点睛】

本题主要考查等边三角形的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质、切线的判定以及直角三角形的性质等知识．解题的关键是正确作出辅助线，利用圆的性质进行求解．

3、

（1）65°

（2）

【分析】

（1）根据三角形的内角和定理得到∠ABC=50°，根据旋转的性质得到∠EBF=∠ABC=50°，AB=BF，根据三角形的内角和定理即可得到结论；

（2）根据勾股定理得到AB=10，根据旋转的性质得到BE=BC=6，EF=AC=8，根据勾股定理即可得到结论．

【小题1】

解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=40°，

∴∠ABC=50°，

∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，

∴∠EBF=∠ABC=50°，AB=BF，

∴∠BAF=∠BFA=（180°-50°）=65°；

【小题2】

∵∠C=90°，AC=8，BC=6，

∴AB=10，

∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，

∴BE=BC=6，EF=AC=8，

∴AE=AB-BE=10-6=4，

∴AF=．

【点睛】

本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．

4、（1）见解析；（2）见解析

【分析】

（1）连接，根据，可证．从而可得，，即可证明，故；

（2）证明，可得，即可证明．

【详解】

证明：（1）连接，如图：

∵为的直径，为的切线，

∴，

∵，

∴，．

∵，

∴，

∴．

在和中，

，

∴，

∴，

∵为的直径，

∴，即，

∴，

∵，

∴， 

∴，即，

∵，

∴；

（2）由（1）知：，

又∵，

∴，

∴，

∴， 

∵，

∴．

【点睛】

本题考查圆中的相似三角形判定与性质，涉及三角形全等的判定与性质，解题的关键是证明，从而得到．

5、

（1）30°，70°，40°；

（2）∠AOC－∠BOE=40°，理由见解析；

（3）t 的取值为5或20或62

【分析】

（1）先根据已知求出∠DOC、∠BOC，再求出当t=4时的旋转角的度数，再利用角的和与差求解即可；

（2）设旋转角为x，用x表示∠AOC和∠BOE，即可得出结论；

（3）分①OA为∠DOC的平分线；②OC为∠DOA的平分线；③OD为∠COA的平分线三种情况，利用角平分线定义和旋转性质求出旋转角即可．

（1）

解：∵∠EOC=130°，∠AOB=∠BOE=90°，

∴∠DOC=180°－130°=50°，∠BOC=130°－90°=40°，

当t=4时，旋转角4×5°=20°，

∴∠AOC=∠DOC－∠DOA=50°－20°=30°，∠BOE=90°－20°=70°，

∠BOE－∠AOC=70°－30°=40°，

故答案为：30°，70°，40°；

（2）

解：∠AOC－∠BOE=40°，理由为：

设旋转角为x，当三角板旋转至边 AB与射线 OE相交时，

∠AOC=x－50°，∠BOE=x－90°，

∴∠AOC－∠BOE=（x－50°）－（x－90°）=40°；

（3）

解：存在，

①当OA为∠DOC的平分线时，旋转角5t =∠DOC=25，

∴t=5；

②当OC为∠DOA的平分线时，旋转角5t =2∠DOC=100，

∴t=20；

③当OD为∠COA的平分线时，360－5t=∠DOC=50，

∴t=62，

综上，满足条件的t 的取值为5或20或62．

【点睛】

本题考查角平分线的定义、旋转的性质、角的运算，熟练掌握旋转性质，利用分类讨论思想求解是解答的关键．