九年级下册第24章 圆综合与测试习题

沪科版九年级数学下册第24章圆专题攻克

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CDAB，垂足为点 E，若 ⊙O的半径为5，CD=8，则AE的长为（   ）

A．3 B．2 C．1 D．

2、如图图案中，不是中心对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

3、如图，在中，，，将绕点C逆时针旋转90°得到，则的度数为（    ）

A．105° B．120° C．135° D．150°

4、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．把△ABC绕点A逆时针方向旋转到△AB'C'，点B'恰好落在AC边上，则CC'＝（　　）

A．10 B．2 C．2 D．4

5、如图，四边形ABCD内接于，若四边形ABCO是菱形，则的度数为（    ）

A．45° B．60° C．90° D．120°

6、下列图形中，是中心对称图形也是轴对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

7、下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

8、计算半径为1，圆心角为的扇形面积为（    ）

A． B． C． D．

9、将等边三角形绕其中心旋转n时与原图案完全重合，那么n的最小值是（      ）

A．60 B．90 C．120 D．180

10、如图，A，B，C是正方形网格中的三个格点，则是（    ）

A．优弧 B．劣弧 C．半圆 D．无法判断

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，将矩形绕点A顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为．若，则的大小为________（度）．

2、半径为6cm的扇形的圆心角所对的弧长为cm，这个圆心角______度．

3、如图，正方形ABCD是边长为2，点E、F是AD边上的两个动点，且AE=DF，连接BE、CF，BE与对角线AC交于点G，连接DG交CF于点H，连接BH，则BH的最小值为_______．

4、已知圆O的圆心到直线l的距离为2，且圆的半径是方程x2﹣5x+6＝0的根，则直线l与圆O的的位置关系是______．

5、在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则________，________．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，，是的两条切线，切点分别为，，连接并延长交于点，过点作的切线交的延长线于点，于点．

（1）求证：四边形是矩形；

（2）若，，求的长.．

2、如图1，BC是⊙O的直径，点A，P在⊙O上，且分别位于BC的两侧（点A、P均不与点B、C重合），过点A 作AQ⊥AP，交PC 的延长线于点Q，AQ交⊙O于点D，已知AB＝3，AC＝4．

（1）求证：△APQ∽△ABC．

（2）如图2，当点C为的中点时，求AP的长．

（3）连结AO，OD，当∠PAC与△AOD的一个内角相等时，求所有满足条件的AP的长．

3、如图，正方形ABCD的顶点A、B在x轴的负半轴上，顶点CD在第二象限．将正方形ABCD绕点A按顺时针方向旋转，B、C、D的对应点分别为B1、C1、D1，且D1、C1、O三点在一条直线上．记点D1的坐标是（m，n），C1的坐标是（p，q）．

（1）设∠DAD1＝30°，n＝2，求证：OD1的长度；

（2）若∠DAD1＜90°，m，n满足m+n＝﹣4，p2+q2＝25，求p+q的值．

4、新定义：如图①，已知，在内部画射线OC，得到三个角，分别为、、．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线OC为的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．）

（阅读理解）（1）角的平分线______这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）

（初步应用）（2）如图①，，射线OC为的“幸运线”，则的度数为______；（直接写出答案）

（解决问题）

（3）如图②，已知，射线OM从OA出发，以每秒10°的速度绕O点顺时针旋转，同时，射线ON从OB出发，以每秒15°的速度绕O点顺时针旋转，设运动的时间为t秒．若OM、ON、OB三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求运动的时间t的值．

（实际运用）

（4）周末，小丽帮妈妈到附近的“中通快递”网点取包裹，出家门时小丽看了看时钟，恰好是下午3点整，取好包裹回到家时，小丽再看了看时钟，还没有到下午3点半，但此时分针与时针恰好重合．问小丽帮妈妈取包裹用了多少分钟？

5、如图，A，P，B，C是⊙O上的四点，∠APC＝∠CPB＝60°．

（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；

（2）求证：PA＋PB＝PC．

-参考答案-

一、单选题

1、B

【分析】

连接OC，由垂径定理，得到CE=4，再由勾股定理求出OE的长度，即可求出AE的长度．

【详解】

解：连接OC，如图

∵AB 为⊙O 的直径，CDAB，垂足为点 E，CD=8，

∴，

∵，

∴，

∴；

故选：B．

【点睛】

本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出．

2、C

【分析】

根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心求解．

【详解】

解：A、是中心对称图形，故A选项不合题意；

B、是中心对称图形，故B选项不合题意；

C、不是中心对称图形，故C选项符合题意；

D、是中心对称图形，故D选项不合题意；

故选：C．

【点睛】

本题考查了中心对称图形的知识，解题的关键是掌握中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后重合．

3、B

【分析】

由题意易得，然后根据三角形外角的性质可求解．

【详解】

解：由旋转的性质可得：，

∴；

故选B．

【点睛】

本题主要考查旋转的性质及三角形外角的性质，熟练掌握旋转的性质及三角形外角的性质是解题的关键．

4、D

【分析】

首先运用勾股定理求出AC的长度，然后结合旋转的性质得到AB= AB'，BC= B'C'，从而求出B'C，即可在Rt△B'C'C中利用勾股定理求解．

【详解】

解：∵在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，

∴，

由旋转性质可知，AB= AB'=6，BC= B'C'=8，

∴B'C=10-6=4，

在Rt△B'C'C中，，

故选：D．

【点睛】

本题考查勾股定理，以及旋转的性质，掌握旋转变化的基本性质，熟练运用勾股定理求解是解题关键．

5、B

【分析】

设∠ADC=α，∠ABC=β，由菱形的性质与圆周角定理可得 ，求出β即可解决问题．

【详解】

解：设∠ADC=α，∠ABC=β；

∵四边形ABCO是菱形，

∴∠ABC=∠AOC；

∠ADC=β；

四边形为圆的内接四边形，

α+β=180°，

∴ ，

解得：β=120°，α=60°，则∠ADC=60°，

故选：B．

【点睛】

该题主要考查了圆周角定理及其应用，圆的内接四边形的性质，菱形的性质；掌握“同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键.

6、C

【分析】

根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．

【详解】

解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项不符合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意；

C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C选项符合题意；

D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故D选项不符合题意．

故选：C．

【点睛】

本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．

7、B

【分析】

根据“把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”及“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形”，由此问题可求解．

【详解】

解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；

B、是中心对称图形但不是轴对称图形，故符合题意；

C、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；

D、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意；

故选B．

【点睛】

本题主要考查中心对称图形及轴对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形及轴对称图形的定义是解题的关键．

8、B

【分析】

直接根据扇形的面积公式计算即可．

【详解】

故选：B．

【点睛】

本题考查了扇形的面积的计算，熟记扇形的面积公式是解题的关键．

9、C

【分析】

根据旋转对称图形的概念（把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角），找到旋转角，求出其度数．

【详解】

解：等边三角形绕其中心旋转n时与原图案完全重合，因而绕其中心旋转的最小度数是=120°．

故选C．

【点睛】

本题考查了根据旋转对称性，掌握旋转的性质是解题的关键．

10、B

【分析】

根据三点确定一个圆，圆心的确定方法：任意两点中垂线的交点为圆心即可判断．

【详解】

解；如图，分别连接AB、AC、BC，取任意两条线段的中垂线相交，交点就是圆心．

故选：B．

【点睛】

本题考查已知圆上三点求圆心，取任意两条线段中垂线交点确定圆心是解题关键．

二、填空题

1、20

【分析】

先利用旋转的性质得到∠ADC=∠D=90°，∠DAD′=α，再利用四边形内角和计算出∠BAD‘=70°，然后利用互余计算出∠DAD′，从而得到α的值．

【详解】

∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形A′B′C′D′的位置，

∴∠ADC=∠D=90°，∠DAD′=α，

∵∠ABC=90°，

∴∠BAD’=180°-∠1=180°-110°=70°，

∴∠DAD′=90°-70°=20°，

即α=20°．

故答案为20．

【点睛】

本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．

2、60

【分析】

根据弧长公式求解即可．

【详解】

解：，

解得，，

故答案为：60．

【点睛】

本题考查了弧长公式，灵活应用弧长公式是解题的关键.

3、##

【分析】

延长AG交CD于M，如图1，可证△ADG≌△DGC可得∠GCD=∠DAM，再证△ADM≌△DFC可得DF=DM=AE，可证△ABE≌△ADM，可得H是以AB为直径的圆上一点，取AB中点O，连接OD，OH，根据三角形的三边关系可得不等式，可解得DH长度的最小值．

【详解】

解：延长AG交CD于M，如图1，

∵ABCD是正方形，

∴AD=CD=AB，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠BDC，

∵AD=CD，∠ADB=∠BDC，DG=DG，

∴△ADG≌△DGC，

∴∠DAM=∠DCF且AD=CD，∠ADC=∠ADC，

∴△ADM≌△CDF，

∴FD=DM且AE=DF，

∴AE=DM且AB=AD，∠ADM=∠BAD=90°，

∴△ABE≌△DAM，

∴∠DAM=∠ABE，

∵∠DAM+∠BAM=90°，

∴∠BAM+∠ABE=90°，即∠AHB=90°，

∴点H是以AB为直径的圆上一点．

如图2，取AB中点O，连接OD，OH，

∵AB=AD=2，O是AB中点，

∴AO=1=OH，

在Rt△AOD中，OD=，

∵DH≥OD-OH，

∴DH≥-1，

∴DH的最小值为-1，

故答案为：-1．

【点睛】

本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键是证点H是以AB为直径的圆上一点．

4、相切或相交

【详解】

首先求出方程的根，再利用半径长度，由点O到直线l的距离为d，若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离，从而得出答案．

【分析】

解：∵x2﹣5x+6＝0，

（x﹣2）（x﹣3）＝0，

解得：x1＝2，x2＝3，

∵圆的半径是方程x2﹣5x+6＝0的根，即圆的半径为2或3，

∴当半径为2时，直线l与圆O的的位置关系是相切，

当半径为3时，直线l与圆O的的位置关系是相交，

综上所述，直线l与圆O的的位置关系是相切或相交．

故答案为：相切或相交．

【点睛】

本题考查的是直线与圆的位置关系，因式分解法解一元二次方程，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆的半径大小关系完成判定．

5、2    2   

【分析】

关于原点对称的两个点的横纵坐标都互为相反数，根据特点列式求出a、b即可求得答案．

【详解】

解：∵点和点关于原点对称，

∴，

∴，

故答案为：2；2．

【点睛】

本题主要考查了关于原点对称点的坐标特征，解二元一次方程组，熟记关于原点对称点的坐标特征并运用解题是关键．

三、解答题

1、（1）见详解；（2）7

【分析】

（1）根据切线的性质和矩形的判定定理即可得到结论；

（2）根据切线长定理可得AB=AC，BE=DE，再利用勾股定理即可求解．

【详解】

（1）证明：∵，DE是的两条切线，于点

∴∠EFC=∠EDC=∠FCD=90°，

∴四边形是矩形；

（2）∵四边形是矩形，

∴EF=，CF=，

∵，，DE是的两条切线，

∴AB=AC，BE=DE，

设AB=AC=x，则AE=x+2，AF=x-2，

在中，，

解得：x=5，

∴AC=5+2=7．

【点睛】

本题主要考查切线长定理和勾股定理以及矩形的判定定理，掌握切线长定理以及勾股定理是解题的关键．

2、（1）见解析；（2）（3）当，时，；当时，．

【分析】

（1）通过证，，即可得；

（2）先证是等腰直角三角形，求，通过，得，求CQ长，即可求PQ得长，通过，即可得，即可求AP．

（3）分类讨论， ，，，三种情况讨论，再通过勾股定理和相似即可求解．

【详解】

证明：（1）∵AQ⊥AP

∴

∵BC是⊙O的直径

∴

∴

∵

∴

（2）如图，连接CD，PD

∵BC是⊙O的直径

∴

∵AB＝3，AC＝4

∴利用勾股定理得：,即直径为5

∵

∴

∴DP是⊙O的直径，且DP=BC=5

∵点C为的中点

∴CD=PC

∵

∴

∴是等腰直角三角形

∴利用勾股定理得：,则

∵，

∴

∵

∴

∴，即：

∴

∴

∵

∴，即：

∴

（3）连接AO,OD，OP，CD，OD交AC于点M

∵（已证）

∴OD,OP共线，为⊙O的直径

情况一：当时

∵，

∴

∴AP=PC

∵

∴

∴

∴即

∵AP=PC

∴

∴在中，

∴

∴在中，

情况二：当时，

∵

∴

∴

同情况一：

情况三：当时

∵，

∴

∴，

∵OA=OD

∴

∴

∴

综上所述，当，时，；当时，．

【点睛】

本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆的内接四边形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定等，是圆的综合题。解答此题的关键是，通过圆的性质，找到角与角、边与边之间的关系．

3、（1）4；（2）-1或-7

【分析】

（1）如图，且三点在一条直线上的情况，连接，过点向作垂线交点为，在直角三角形中，，，可求的长；

（2）如图，过点向作垂线交点为，过点作轴垂线交于点，作交点为；由，知，，点G坐标为，得，由知的值，从而得到的值．

【详解】

解：（1）∵∠DAD1＝30°且D1、C1、O三点在一条直线上

∴如图所示，连接，过点向作垂线交点为

∴

∵

．

（2）如图过点向作垂线交点为，过点作轴垂线交于点，作交点为

，

在和中

点横坐标可表示为

∴p+q=-7或-1．

【点睛】

本题考查了锐角三角函数值，三角形全等,图形旋转的性质等知识．解题的关键与难点是找出线段之间的关系．

4、（1）是；（2）16°或24°或32°；（3）2或或；（4）．

【分析】

（1）根据幸运线定义即可求解；

（2）分3种情况，根据幸运线定义得到方程求解即可；

（3）根据幸运线定义得到方程求解即可；

（4）利用时针1分钟走，分针1分钟走，可解答问题．

【详解】

解：（1）一个角的平分线是这个角的“幸运线”；

故答案为：是；

（2）①设∠AOC=x，则∠BOC=2x，

由题意得，x+2x=48°，解得x=16°，

②设∠AOC=x，则∠BOC=x，

由题意得，x+x=48°，解得x=24°，

③设∠AOC=x，则∠BOC=x，

由题意得，x+x=48°，解得x=32°，

故答案为：16°或24°或32°；

（3）OB是射线OM与ON的幸运线，

则∠BOM=∠MON，即50-10t=（50-10t+15t），解得t=2；

∠BOM=∠MON，即50-10t=（50-10t+15t），解得t=；

∠BOM=∠MON，即50-10t=（50-10t+15t），解得t=；

故t的值是2或或；

（4）时针1分钟走，分针1分钟走，

设小丽帮妈妈取包裹用了x分钟，

则有0.5x+3×30=6x，解得：x=．

【点睛】

本题考查了旋转的性质，幸运线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解“幸运线”的定义是解题的关键．

5、（1）△ABC是等边三角形，证明见解析；（2）见解析

【分析】

（1）利用圆周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，所以∠BAC=∠ABC=60°，从而可判断△ABC的形状；

（2）如图所示，在PC取一点E使得AE=AP，先证明△APE是等边三角形，得到AP=PE，∠AEP=60°，可以推出∠AEC=∠APB，然后证明△APB≌△AEC得到BP=CE，即可证明PC=PE+CE=AP+BP．

【详解】

解：（1）△ABC是等边三角形．证明如下：

由圆周角定理：∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC

∵∠APC＝∠CPB＝60°，

∴∠BAC＝∠ABC＝60°，

∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－60°－60°＝60°．

∴△ABC是等边三角形．

（2）如图所示，在PC取一点E使得AE=AP，

∵∠APE=60°，AP=AE，

∴△APE是等边三角形，

∴AP=PE，∠AEP=60°，

∴∠AEC=120°，

又∵∠APC＝∠CPB＝60°，

∴∠APB=120°，

∴∠AEC=∠APB，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，

又∵∠ABP=∠ACE，

∴△APB≌△AEC（AAS），

∴BP=CE，

∴PC=PE+CE=AP+BP．

【点睛】

本题考查了圆周角定理、等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键是掌握圆周角定理，正确求出∠ABC=∠BAC=60°．