2021_2022学年新教材高中数学课后落实25对数的运算含解析北师大版必修第一册练习题

对数的运算

 (建议用时：40分钟)

一、选择题

1．若ab＞0，给出下列四个等式：

①lg(ab)＝lg a＋lg b；②lg ＝lg a－lg b；

③lg2＝lg ；④lg(ab)＝.

其中一定成立的等式的序号是(　　)

A．①②③④ B．①②

C．③④ D．③

D　[∵ab＞0，∴a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，∴①②中的等式不一定成立；∵ab＞0，∴＞0，lg2＝×2lg＝lg，∴③中等式成立；当ab＝1时，lg(ab)＝0，但logab10无意义，∴④中等式不成立．故选D.]

2．已知b>0，log5b＝a，lg b＝c,5d＝10，则下列等式一定成立的是(　　)

A．d＝ac B．a＝cd

C. c＝ad D．d＝a＋c

B　[由已知，得a＝，d＝，所以a＝cd.]

3．若lg x－lg y＝t，则lg3－lg3＝(　　)

A．3t B．t

C．t D．

A　[lg3－lg3＝3lg－3lg＝3lg＝3(lg x－lg y)＝3t.]

4．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是(　　)

(参考数据：lg 3≈0.48)

A．1033 B．1053

C．1073 D．1093

D　[由题意，lg ＝lg ＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80lg 10≈361×0.48－80×1＝93.28.

又lg 1033＝33，lg 1053＝53，lg 1073＝73，lg 1093＝93，

故与最接近的是1093.故选D.]

5．3lg 2－2lg 3＝(　　)

A．0　 B．lg 2

C．lg 3　 D．lg 6

A　[令M＝3lg 2，N＝2lg 3，

则lg M＝lg 2lg 3，lg N＝lg 3lg 2，

∴lg M＝lg N，∴M＝N，

∴3lg 2－2lg 3＝M－N＝0.]

二、填空题

6．已知loga2＝m，loga3＝n，则loga18＝________.(用m，n表示)

m＋2n　[loga18＝loga(2×32)＝loga2＋loga32＝loga2＋2loga3＝m＋2n.]

7．计算＋(27)＝________.

12　[由指数和对数的运算法则，得

＋(27)＝＋(33)＝＋32＝＋9＝3＋9＝12.]

8．若lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，则＝________.

4　[因为lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，

所以

由xy＝(x－2y)2，知x2－5xy＋4y2＝0，

所以x＝y或x＝4y.

又x＞0，y＞0且x－2y＞0，

所以舍去x＝y，故x＝4y，则＝4. ]

三、解答题

9．用logax，logay，logaz表示下列各式：

(1)loga(x2yz)；(2)loga；(3)loga.

[解]　(1)loga(x2yz)＝logax2＋logay＋logaz＝2logax＋logay＋logaz.

(2)loga＝logax2－loga(yz)＝2logax－(logay＋logaz)＝2logax－logay－logaz.

(3)loga＝loga－loga(y2z)＝logax－2logay－logaz.

10．计算：

(1)2log32－log3＋log38；

(2)log3(9×272)＋log26－log23＋log43×log316.

[解]　(1)原式＝log34－log3＋log38＝log39＝2.

(2)原式＝log3(32×36)＋log2＋log43·2log34＝log338＋log22＋2＝11.

11．(多选)实数a，b满足2a＝5b＝10，则下列关系不正确的有(　　)

A.＋＝1 B．＋＝2

C.＋＝2 D．＋＝

BCD　[a＝log210，b＝log510，＋＝＋＝lg 2＋lg 5＝1，故A正确．

＋＝＋＝lg 4＋lg 5＝lg 20≠2，故B不正确．

＋＝＋＝lg 2＋lg 25＝lg 50，故CD不正确．故选BCD.]

12．已知2x＝9,2y＝，则x＋2y的值为(　　)

A．6 B．8

C．1 D．log48

A　[由2x＝9，得x＝log29，由2y＝，得y＝log2，

∴x＋2y＝log29＋2log2＝2log23＋2log2＝2(log23＋log2)＝2log2(3× )＝2log28＝2×3＝6.]

13．设a，b，c为正数，且满足a2＋b2＝c2.

(1)log2＋log2＝________；

(2)若log4＝1，log8(a＋b－c)＝，则＝________.

(1)1　(2)3　[(1)原式＝log2

＝log2

＝log2

＝log22＝1.

(2)由log4＝1，得－3a＋b＋c＝0， ①

由log8(a＋b－c)＝，得a＋b－c＝4， ②

由题设知a2＋b2＝c2，  ③

由①②③及a，b，c为正数，可得a＝6，b＝8，c＝10.

所以＝＝3.]

14．下列表中的对数值有且仅有一个是错误的：

请将错误的一个改正为lg________＝________.

15　3a－b＋c　[由lg 9＝2lg 3，对照表格可知3,9的对数值没错，lg 8＝3lg 2，所以lg 8＝3－3a－3c等价于lg 2＝1－a－c，比较lg 5＝a＋c，由lg 2＋lg 5＝1可知lg 5，lg 8的值没错，而lg 15＝lg 3＋lg 5＝3a－b＋c，所以表格中lg 15错误，应改为：lg 15＝3a－b＋c.]

15．若a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．

[解]　原方程可化为2(lg x)2－4lg x＋1＝0(x＞0)．

设t＝lg x，则方程化为2t2－4t＋1＝0，

∴t1＋t2＝2，t1·t2＝.

又∵a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，

∴t1＝lg a，t2＝lg b，即lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝.

∴lg(ab)·(logab＋logba)

＝(lg a＋lg b)·

＝(lg a＋lg b)·

＝(lg a＋lg b)·

＝2×＝12，

即lg(ab)·(logab＋logba )＝12.