浙江省嘉兴市2021-2022学年高二上学期期末测试数学含答案

浙江省嘉兴市2021-2022学年高二上学期期末检测数学试题

一、选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。

1.立德中学高一年级共有学生 640 人, 其中男生 300 人, 现采用分层抽样的方法调查学生的身高情况, 在抽取的样本中, 男生有 30 人, 那么该样本中女生的人数为(     )
A. 30 人B. 34 人C. 60 人D. 64 人

2. 若函数, 则(     )
A.
B.
C.
D.

3. 过点且垂直于直线的直线方程为(     )
A. B.
C. D.

4. 已知双曲线的右顶点为, 过点作圆的两条切线, 切点分别为, 则的面积为(     )
A. B. 1C. D.

5. 古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性, 并给出了圆锥曲线的统一定义, 他指出, 平面内到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线;当 时, 轨迹为椭圆; 当 时, 轨迹为抛物线; 当 时, 轨迹为双曲线. 则方程表示的圆雉曲线的离心率 等于(     )
A. B. C. D. 5
6. 跑步是一项常见的有氧运动, 能增强人体新陈代谢和基础代谢率, 是治疗和预防 “三高” 的有效手段. 赵老师最近给自己制定了一个 180 千米的跑步健身计划, 计划前面 5 天中每天跑 4 千 米, 以后每天比前一天多跑 千米, 则他要完成该计划至少需要(     )
A. 23 天B. 24 天C. 25 天D. 26 天
7. 设 (其中 是自然对数的底数), 则(     )
A. B. C. D.
8. 1202 年, 意大利数学家斐波那契出版了他的《算盘全书》. 他在书中提出了一个关于兔子繁殖的问题, 发现数列: , 该数列的特点是: 前两项均为 1 , 从第三项 起, 每一项等于前两项的和, 人们把这个数列称为斐波那契数列, 则下列结论正确的是(     )
A. B.
C. D.

二、多项选择题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 5 分, 有选错的得 0 分, 部分选对的得 2 分。
9. 已知直线 与圆, 则下列结论正确的是(     )
A. 直线必过定点B. 与可能相离
C. 与可能相切D. 当 时, 被截得的弦长为
10. 为唤起学生爱护地球、保护家园的意识, 加强对节能减排的宣传, 进一步营造绿色和谐的校园环境, 树人中学决定举办环保知识竞赛. 现有甲、乙、丙、丁四个班级参加, 每个班级各派10位同学参赛, 每位同学需要回答10道题, 每题回答正确得 1 分, 回答错误得 0 分. 若规定总得分达到 70 分且没有同学得分低于 5 分的班级为 “优胜班级”, 则根据以下甲、乙、丙、丁各班参赛同学的得分数据信息, 能判断该班一定为 “优胜班级” 的是(     )
A. 甲班同学平均数为 8 , 众数为 8B. 乙班同学平均数为 8 , 方差为 4
C. 丙班同学平均数为 7 , 极差为 3D. 丁班同学平均数为 7 , 标准差为 0
11. 函数的定义域为, 导函数在内的图象如图所示, 则(     )
A. 函数 在 内一定不存在最小值
B. 函数 在 内只有一个极小值点
C. 函数 在 内有两个极大值点
D. 函数 在 内可能没有零点

12. 已知平面内两个定点 , 直线 相交于点 , 且它们的斜率之积为常数 , 设点 的轨迹为 . 下列说法中正确的有(     )
A. 存在常数 , 使 上所有的点到两点 的距离之和为定值
B. 存在常数 , 使 上所有的点到两点 的距离之差的绝对值为定值
C. 存在常数 , 使 上所有的点到两点 的距离之和为定值
D. 存在常数 , 使 上所有的点到两点 的距离之差的绝对值为定值

三、填空题: 本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分。
13. 以点为圆心且与直线 相切的圆的方程是______________.
14. 已知数列的通项公式, 则其前项和______________.
15. 已知椭圆, 双曲线与椭圆共焦点, 且与椭圆在四个象限的交点分别为,, 则四边形面积的最大值是______________.
16. 已知不等式对任意恒成立 (其中 是自然对数的底数),则实数的取值范围是______________.
四、解答题: 本大题共 6 小题, 共 70 分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. (本题满分 10 分)
已知数列为公差不为零的等差数列, , 记为其前项和,______________.给出下列三个条件：条件(1) ; 条件(2) 成等比数列; 条件(3) . 试在这三个条件中任选一个, 补充在上面的横线上, 完成下列两问的解答:
(I ) 求数列的通项公式;
(II) 设, 求数列的前项和.
注: 如果选择多个条件解答, 按第一个解答计分.
 

18. (本题满分 12 分)
从某城市抽取100户居民进行月用电量调查, 发现他们的用电量都在50到350度之间, 将数据按照分成6组, 画出的频率分布直方图如下图所示.
(I) 求直方图中的值和月平均用电量的众数;
(II) 已知该市有200万户居民, 估计居民中用电量落在区间内的总户数，并说明理由。

19.(本题满分 12 分)
已知圆, 圆.
(I)若圆与圆外切, 求实数的值;
(II)若圆与圆相交于两点, 弦的长为, 求实数的值.

20.(本题满分 12 分)
已知首项为 的等比数列是递减数列, 其前项和为, 且成 等差数列, 数列满足.
(I ) 求数列的通项公式;
(II) 设数列的前项和为, 证明: .

21.(本题满分 12 分)
如图, 已知点是拋物线的准线上的动点, 拋物线上存在不同的两点满足的中点均在上.
(I) 求拋物线的方程;
(II)记直线的斜率分别为, 请问是否存在常数, 使得 ?
若存在, 求出的值; 若不存在, 请说明理由.

22.(本题满分 12 分)
已知函数.
(I ) 求函数在点处的切线方程;
(II)若为方程的两个不相等的实根, 证明:
(i) ;
(ii).