2021-2022学年浙江省嘉兴市高一上学期期末数学试题含解析

2021-2022学年浙江省嘉兴市高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】直接根据集合运算求解即可.

【详解】解：因为，

所以，即.

故选：B

2．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，它的始边与轴的非负半轴重合，终边交单位圆于点，则的值为

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据三角函数的定义，即可求解，得到答案.

【详解】由题意，角的顶点与原点重合，它的始边与轴的非负半轴重合，终边交单位圆于点，根据三角函数的定义可得.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了三角的函数的定义，其中解答中熟记三角函数的定义是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

3．已知命题，则为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据特称命题与全称命题的关系，即可得到结果.

【详解】∵命题，

∴：为

故选：D

4．设，则“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分条件与必要条件的概念，直接判断，即可得出结果.

【详解】由得，则；

若，，则，但不能推出；

因此“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：

（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；

（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；

（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；

（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．

5．将函数的图象向左平移个单位，得到函数f（x）的图象，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据正弦函数图象变换的性质进行求解即可.

【详解】因为函数的图象向左平移个单位，得到函数f（x）的图象，

所以，

故选：C

6．函数的图象大致形状为（       ）．

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据特殊点的函数值判断可得；

【详解】解：因为，所以定义域为，且，即为偶函数，函数图象关于轴对称，故排除C、D；

当时，，，所以，故排除B；

故选：A

7．设函数，若关于x的方程有四个实根（），则的最小值为（       ）

A． B．16 C． D．17

【答案】B

【分析】作出函数的大致图象，可知，由与的图象有四个交点可得，计算求得的值即可得的范围，根据可得与的关系，再根据基本不等式计算的最小值即可求解.

【详解】作出函数的大致图象，如图所示：

当时，对称轴为，所以，

若关于的方程有四个实根，，，，则，

由，得或，则，

又，所以，

所以，所以，且，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，

故的最小值为.

故选：B.

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

8．已知a，b，c都是正实数，设，则下列判断正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据正数的性质，结合放缩法进行判断即可.

【详解】因为a，b，c都是正实数，所以有：

，又，

故选：D.

二、多选题

9．下列各组函数中，表示同一函数的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】先判断定义域是否相同，然后对解析式化简后判断对应关系可得.

【详解】对应关系和定义域显然相同，故A正确；

B选项中，因为，所以B正确；

C选项中，的定义域为，的定义域为R，故C不正确；

D选项中，显然的定义域都为，又，，故D正确.

故选：ABD

10．血压是指血液在血管内流动时作用单位面积血管壁的侧压力，它是推动血液在血管内流动的动力.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压.在未使用抗高血压药的前提下，岁以上成人收缩压或舒张压，则说明这位成人有高血压.设从未使用过抗高血压药的小王今年岁，从某天早晨点开始计算（即早晨点起，），他的血压（单位：）与经过的时间（单位：）满足关系式，则（       ）

A．血压的最小正周期为 B．当天下午点小王的血压为

C．当天小王有高血压 D．当天小王的收缩压与舒张压之差为

【答案】BCD

【分析】利用正弦型函数的周期公式可判断A选项；计算出的值，可判断B选项；计算出的最大值和最小值，结合题干条件可判断C选项；计算出，可判断D选项.

【详解】对于A选项，血压的最小正周期为，A错；

对于B选项，下午点时，即，可得，B对；

对于C选项，因为，，所以，当天小王有高血压，C对；

对于D选项，当天小王的收缩压与舒张压之差为，D对.

故选：BCD.

11．已知函数，下列说法正确的有（       ）

A．不存在实数a，使f（x）的定义域为R

B．函数f（x）一定有最小值

C．对任意正实数a，f（x）的值域为R

D．若函数f（x）在区间上单调递增，则实数a的取值范围是

【答案】ACD

【分析】A. 根据f（x）的定义域为R，由，利用判别式判断；B. 取判断；C.令，根据u的值域判断；D.由求解判断.

【详解】A. 若f（x）的定义域为R，则对于不等式，不成立，故正确；

B. 当时，，因为能取遍所有的数，所以，故错误；

C.，因为，所以u能取遍所有的数，所以f（x）的值域为R，故正确；

D. 若函数f（x）在区间上单调递增，则 ，

即，解得 ，所以实数a的取值范围是，故正确.

故选：ACD

12．已知正实数x，y满足，若不等式恒成立，则实数m的值可以为（       ）

A． B． C．1 D．3

【答案】BC

【分析】参变分离，构造齐次式，结合均值不等式可得结果.

【详解】∵，

∴

而，

则，

故选：BC.

三、填空题

13．我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思是：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出扇形面积计算方法：以径乘周，四而一，意思是：将直径乘以弧长再除以.则此问题中，扇形的面积是___________平方步.

【答案】

【分析】将扇形的直径乘以弧长再除以，可得结果.

【详解】由题意可知，该扇形的面积为（平方步）.

故答案为：.

14．计算：___________.

【答案】4

【分析】根据对数计算公式及指数计算公式进行计算.

【详解】解：

故答案为：

15．已知定义在R上的函数满足，且函数的图象关于对称，则___________.

【答案】0

【分析】求出函数的周期为12，即可得到，又即可得解.

【详解】，，

，所以函数是以12为周期的函数，

又函数的图象关于对称，利用函数图像平移知，

函数的图象关于对称，即，所以

故答案为：

16．设函数），若存在实数，，满足，使成立，则实数a的取值范围为___________.

【答案】

【分析】原问题等价于分类讨论即可得到结果.

【详解】由题知，在上单调递增，

只需

（1）当即时，，则，所以；

（2）当即时，

若，即时，，所以；

若，即时，，所以a无解；

（3）当即时，，则，所以a无解；

综上所述，.

故答案为：

四、解答题

17．已知集合，集合.

(1)若，求；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）当时，求出集合、，利用交集的定义可求得结果；

（2）求出集合，可得出集合，再利用集合的包含关系可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.

(1)

解：当时，，

又因为，因此，.

(2)

解：，故，

因为，则，解得.

18．已知，）.

(1)求的值；

(2)若，求的值.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）由得到，代入求解；另解：分子分母同除以求解；.

（2）根据，得到，再根据，得到，然后由求解.

(1)

解：解法一：由题意，，

所以原式.

解法二：原式.

(2)

因为，

所以，

又，

所以，

所以

.

所以或.

19．已知定义在R上的函数（且）是奇函数.

(1)求实数k的值；

(2)若函数f（x）满足，且对任意，不等式恒成立，求实数t的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用奇函数定义得到参数的值；

（2）由，可知在R上递减，结合奇偶性，原不等式等价于对恒成立，利用均值不等式得到结果.

(1)

因为f（x）是定义在R上的奇函数，

所以，

则.经检验满足题意，

∴实数k的值为；

(2)

由（1）知，，

因为，又且，所以；

所以在R上递减，且f（x）为奇函数，

所以，

即对恒成立，

而时，所以时取等号，

所以

20．已知函数.

(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；

(2)当时，求的最值及取得最值时的值.

【答案】(1)最小正周期为π，单调增区间为

(2)当时，的最大值为0，当时，的最小值为

【分析】（1）由三角恒等变换得，再求函数的最小正周期和单调区间；

（2）由题知，再整体代换求解即可得答案.

(1)

解：

.

所以最小正周期为，

令，解得

所以函数的单调增区间为.

(2)

解：因为，所以，

所以当时，的最大值为0，当时，的最小值为

所以当时，的最大值为0，当时，的最小值为

21．我国承诺2030年前达“碳达峰”，2060年实现“碳中和”，“碳达峰”就是我们国家承诺在2030年前，二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；而到2060年，针对排放的二氧化碳，要采取植树，节能减排等各种方式全部抵消掉，这就是“碳中和”，嘉兴某企业响应号召，生产上开展节能减排.该企业是用电大户，去年的用电量达到20万度，经预测，在去年基础上，今年该企业若减少用电x万度，今年的受损效益S(x)(万元)满足.为解决用电问题，今年该企业决定进行技术升级，实现效益增值，今年的增效效益Z(x)(万元)满足，政府为鼓励企业节能，补贴节能费万元.

(1)减少用电量多少万度时，今年该企业增效效益达到544万元？

(2)减少用电量多少万度时，今年该企业总效益最大？

【答案】(1)减少用电量5万度时，增效效益达到544万元;

(2)当减少用电8万度时，企业总效益最大.

【分析】（1）首先求出，令解出的值即可；

（2）首先根据题意求出企业总收益Q(x)，然后只需要求分段函数Q(x)的最大值即可.

(1)

易知，

因为时，，

所以由，得，解得；

即减少用电量5万度时，增效效益达到544万元.

(2)

设企业总收益为Q(x)万元，

则，

当时，；

当时，，

因为，所以.

综上知，当减少用电8万度时，企业总效益最大.

22．已知函数.

(1)若，且，求的取值范围；

(2)若在上有零点，求证：当时，.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由题知，再结合已知得，进而解得.

（2）根据题意，满足，进而分和两种情况求解即可.

(1)

解： ，

由于，则，解得.

(2)

解：由条件知，，满足.

①当时，，

当且仅当，，，即时取等号；

②当时，.

当且仅当，，，时取等号，即时取等号.