浙江省嘉兴市2021-2022学年高二数学上学期期末试题（Word版附解析）

浙江省嘉兴市2021-2022学年高二上学期期末检测

数学试题

一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 立德中学高一年级共有学生640人，其中男生300人，现采用分层抽样的方法调查学生的身高情况，在抽取的样本中，男生有30人，那么该样本中女生的人数为（    ）

A. 30人 B. 34人 C. 60人 D. 64人

【答案】B

【解析】

【分析】根据直接求解.

【详解】得

故选：B

2. 若函数，则（    ）

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】

【分析】用函数的求导法则、常用函数的导数及复合函数的导数可得解.

【详解】因为，

所以.

故选：A.

3. 过点且垂直于直线的直线方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据两直线垂直关系，设出所求直线方程，代入即可求解.

【详解】设所求的直线方程为，

代入方程解得，

所求的直线方程为.

故选：D.

4. 已知双曲线的右顶点为，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的面积为（    ）

A.  B. 1 C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先求出点A的坐标，设出过点A的直线方程，然后利用点到直线的距离公式列方程求出直线方程，从而可求出的面积

【详解】双曲线的右顶点为，设过点的直线方程为，

因为直线与圆相切，

所以，解得或，

不妨设直线与圆交于

由，得解得，得，

同理可得

所以的面积为，

故选：A

5. 古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，他指出，平面内到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线；当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.则方程表示的圆锥曲线的离心率等于（    ）

A.  B.  C.  D. 5

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意得到点到定点的距离与到定直线的距离比为，即可得到.

【详解】因为，

所以，

表示点到定点的距离与到定直线的距离比为，

所以

故选：B

6. 跑步是一项常见的有氧运动，能增强人体新陈代谢和基础代谢率，是治疗和预防“三高”的有效手段.赵老师最近给自己制定了一个180千米的跑步健身计划，计划前面5天中每天跑4千米，以后每天比前一天多跑千米，则他要完成该计划至少需要（    ）

A. 23天 B. 24天 C. 25天 D. 26天

【答案】C

【解析】

【分析】由题意可知天跑步的里程为，则，根据求解的最小值即可.

【详解】设需要天完成计划，由题意易知每天跑步的里程为，从第6项开始以为首项，0.4为公差的等差数列，

所以,

所以，化简可得：，

因为在上单调递增，

当时，，当时，，

故满足条件的最小.

故选：C.

7. 设（其中是自然对数的底数），则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件构造函数()可比较a，b，作出a与c的差，再构造函数判定正负即可作答.

【详解】令，，则，即函数在上单调递增，

则有，即，于是得，

，令，，则当时，，即函数在上单调递增，

因此，，即，

令，则当时，，

即在上单调递减，则，即，于是有，即成立，

所以.

故选：D

8. 1202年，意大利数学家斐波那契出版了他的《算盘全书》.他在书中提出了一个关于兔子繁殖的问题，发现数列：，该数列的特点是：前两项均为1，从第三项起，每一项等于前两项的和，人们把这个数列称为斐波那契数列，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】结合斐波那契数列性质，逐项判断即可得解.

【详解】因为

，

故错误；

因为， 故D错误；

由AD知，故C错误；

下证B正确，

因为，所以，

即，

累加得，

即，故B正确.

故选:B.

二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. 已知直线与圆，则下列结论正确的是（    ）

A. 直线必过定点 B. 与可能相离

C. 与可能相切 D. 当时，被截得的弦长为

【答案】ACD

【解析】

【分析】求出直线过定点，由定点在圆上判断ABC，再由弦长公式判断D.

【详解】直线，当时，，则直线过定点，而且定点在圆上，则AC正确，B错误；当时，圆心到直线的距离，则被截得的弦长为，故D正确；

故选：ACD

10. 为唤起学生爱护地球､保护家园的意识，加强对节能减排的宣传，进一步营造绿色和谐的校园环境，树人中学决定举办环保知识竞赛.现有甲､乙､丙､丁四个班级参加，每个班级各派10位同学参赛，每位同学需要回答10道题，每题回答正确得1分，回答错误得0分.若规定总得分达到70分且没有同学得分低于5分的班级为“优胜班级”，则根据以下甲､乙､丙､丁各班参赛同学的得分数据信息，能判断该班一定为“优胜班级”的是（    ）

A. 甲班同学平均数为8，众数为8 B. 乙班同学平均数为8，方差为4

C. 丙班同学平均数为7，极差为3 D. 丁班同学平均数为7，标准差为0

【答案】CD

【解析】

【分析】对于A，可举例有得分低于5分的情况，判断其是否能判断该班一定为“优胜班级”，同理可判断B,对于C项，用反证法的思想来说明其可能，对于D，直接判断得分情况，可以说明其可能性.

【详解】对于A，比如有一位同学得2分，三位同学得10分，其余六位同学都得8分，满足平均数8，众数为8，但不满足总得分达到70分且没有同学得分低于5分，故A不能保证该班一定为“优胜班级”；

对于B，10位同学的得分可能是：4,6,6,8,8,8,10,10,10,10，此时满足平均数为8，方差为4

但不满足总得分达到70分且没有同学得分低于5分，故B不能保证该班一定为“优胜班级”；

对于C，如果有同学得分低于5分，根据极差为3，那么就,会出现其他同学的得分不大于7，这样平均分就低于7分，不符合丙班同学平均数为7，极差为3的条件，故这种情况下不会有得分低于5分的同学，满足总得分达到70分且没有同学得分低于5分，故C能保证该班一定为“优胜班级”；

对于D, 丁班同学平均数为7，标准差为0,可知每位同学得分均为7分，故D能保证该班一定为“优胜班级”，

故选：CD.

11. 函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则（    ）

A. 函数在内一定不存在最小值

B. 函数在内只有一个极小值点

C. 函数在内有两个极大值点

D. 函数在内可能没有零点

【答案】BCD

【解析】

【分析】由导函数图像得导函数的符号，确定原函数的单调性，再依次判断.

【详解】设的根为，且，则

由图可知，函数在内单调增，在内单调减，在内单调增，在

内单调减；

函数在区间内有极小值，当，时，是函数在区间内的最小值，所以A错，B正确；

函数在区间内有极大值、，所以C正确；

当，，时，函数在内没有零点，所以D正确.

故选：BCD.

12. 已知平面内两个定点，直线相交于点，且它们的斜率之积为常数，设点的轨迹为.下列说法中正确的有（    ）

A. 存在常数，使上所有的点到两点的距离之和为定值

B. 存在常数，使上所有的点到两点的距离之差的绝对值为定值

C. 存在常数，使上所有的点到两点的距离之和为定值

D. 存在常数，使上所有的点到两点的距离之差的绝对值为定值

【答案】BC

【解析】

【分析】直接法求出曲线方程，根据选项结合椭圆与双曲线中a、b、c的关系直接计算可得.

【详解】设M坐标为，则，

化简得的轨迹方程为：

由得，此时表示焦点为的双曲线，故B正确，A错误.

由得，此时表示焦点为的椭圆，故C正确，

显然不管为何值都不可能是焦点在y轴的双曲线，故D错误.

故选：BC.

三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 以点为圆心且与直线相切的圆的方程是___________.

【答案】

【解析】

【分析】数形结合或点到直线的距离公式求出r，然后可解.

【详解】由点到直线的距离公式得，

所以圆的方程为.

故答案为：.

14. 已知数列的通项公式，则其前项和___________.

【答案】，

【解析】

【分析】根据数列的通项公式，求和时采用分组求和法，利用等比数列的前n项和公式，求得答案.

【详解】因为，

所以

，

故答案为：，

15. 已知椭圆，双曲线与椭圆共焦点，且与椭圆在四个象限的交点分别为，则四边形面积的最大值是___________.

【答案】

【解析】

【分析】设双曲线和椭圆在第一象限得交点为，根据对称性易得四边形是矩形且面积为，只需联立双曲线和椭圆，求出交点表达式即可.

【详解】依题意得，双曲线的焦点是，设双曲线方程为，且，不妨设在第一象限，根据对称性易得四边形是矩形，且面积为：，联立，解得，注意到，化简得，于是， 所以四边形面积为，又

，取等号，则四边形面积最大值为.

故答案为：.

16. 已知不等式对任意恒成立（其中是自然对数的底数），则实数的取值范围是___________.

【答案】

【解析】

【分析】由得出且，令，再结合导数得出其最值，进而得出实数的取值范围.

【详解】由题意知，所以，则且，令，，由，可知，函数在上单调递增，在上单调递减，可求得，同理可得，所以恒成立，即.

故答案为：

四､解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知数列为公差不为零的等差数列，，记为其前项和，___________.给出下列三个条件：条件①；条件②成等比数列；条件③.试在这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）选择①：由求和公式得出，进而得出通项公式；选择②：由等比中项的性质结合等差数列的通项公式得出，进而得出通项公式；选择③：由等差数列的定义得出，进而得出通项公式；

（2）由裂项相消求和法求和即可.

【小问1详解】

设等差数列得公差为d，

选择①：因为，

所以.

选择②：因为成等比数列，所以，即，化简得，因为，所以.

选择③：因为，所以，所以，

【小问2详解】

因为，

所以.

18. 从某城市抽取100户居民进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50到350度之间，将数据按照分成6组，画出的频率分布直方图如下图所示.

（1）求直方图中的值和月平均用电量的众数；

（2）已知该市有200万户居民，估计居民中用电量落在区间内总户数，并说明理由.

【答案】（1），众数为度   

（2）万户，理由见解析

【解析】

【分析】（1）根据矩形面积之和为1可得x，由最高矩形底边中点横坐标估计众数；

（2）先求频率，再由总体频率可得.

【小问1详解】

根据频率和为1，可知，计算得.

由图可知，最高矩形的数据组为，所以众数为度.

【小问2详解】

由频率分布直方图知：用电量落在区间内的频率为

，

所以用电量落在区间内的总户数为万户.

19. 已知圆，圆.

（1）若圆与圆外切，求实数的值；

（2）若圆与圆相交于两点，弦的长为，求实数的值.

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【分析】（1）求出圆心、半径，结合两点间的距离公式即可求解；（2）法一，联立方程组，利用点到直线的距离公式，弦心距公式即可求解；法二，由题意知，圆与圆关于直线对称，利用弦心距公式即可求解.

【小问1详解】

圆，即为，所以，

圆，所以，

因两圆外切，所以，得，

化简得，所以.

【小问2详解】

法一：圆，即为，

将圆与圆的方程联立，得到方程组

两式相减得公共弦的方程为：，

由于，得点到直线的距离：，

所以，即，即，

解得或者.

法二：因为，所以圆与圆关于直线对称，

因为，得点到直线的距离：

，

所以，

解得或者.

20. 已知首项为的等比数列是递减数列，其前项和为，且成等差数列，数列满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前项和为，证明：.

【答案】（1），   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）由等差中项的性质结合等比数列的通项公式以及求和公式，得出，再由等差数列的定义得出；

（2）由错位相减法得出，再由不等式的性质证明.

【小问1详解】

设等比数列的公比为，所以

因为数列单调递减，所以

因为，成等差数列，所以

即

化简得，因为，所以，

因为，即，所以数列是以1为首项1为公差的等差数列，即，所以.

【小问2详解】

因为，所以①，所以②，

两式相减得

所以，得证.

21. 如图，已知点是拋物线的准线上的动点，拋物线上存在不同的两点满足的中点均在上.

（1）求拋物线的方程；

（2）记直线的斜率分别为，请问是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）   

（2）存在，

【解析】

【分析】（1）利用准线，即可求出，故可求得抛物线方程；

（2）设中点为及直线的方程为，将直线方程与抛物线方程联立，消去得，利用及可以求得，，将其代入，即可得到，同理设中点，直线的方程为：，依据上述方法能得到，由此可以得出，由即可求出的值.

【小问1详解】

∵抛物线的准线，

∴，即，抛物线的方程为.

【小问2详解】

方法①：设中点，

设直线的方程为，整理得

∵直线的斜率不为零，令，

∴直线的方程为：，

联立消得，

则，，

∵，即，，

∴，化简得，

同理设中点，直线的方程为：，

联立消得，

则，，

∵，即，，

∴，化简得，

则，是方程的两根，

即，

又∵

∴由得，，即，

故存在满足条件.

方法②：设，中点为，

则，消得，

同理设中点，

则，消得则，

则、是方程的两根，即，

由和得，

由得，

又∵，即，，即，

∴，

又∵，且，

∴，即，

故存在满足条件.

22. 已知函数.

（1）求函数在点处的切线方程；

（2）若为方程的两个不相等的实根，证明：

（i）；

（ii）.

【答案】（1）   

（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析

【解析】

【分析】（1）由，求导，进而得到，写出切线方程；

（2）（i）令，用导数法证明即可；（ii）不妨设，根据，由与的交点坐标，得到，再通过令，用导数法证明，根据与的交点坐标得到证明.

【小问1详解】

解:，定义域，

，

所以，

故在点处的切线方程为：.

【小问2详解】

证明：（i）令，

则，

令，

则成立，

所以在上单调递增，

所以当时，单调递减；

当时单调递增，

所以，所以成立.

（ii）不妨设，因为与的交点为，故.

令，则，

令，

则成立，

所以在上单调递增，

所以当时，单调递减；

当时单调递增，

所以，所以成立，

因为与的交点为，故，

所以，得证.

【点睛】关键点点睛：本题第（ii）问解决的关键是将，转化为平行于x轴的距离问题，很好的利用（i）结论.