2022年高考二轮复习数学（文）专题检测17《“圆锥曲线”压轴大题的抢分策略》（教师版）

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(1)若直线OA，OB的斜率之积为－eq \f(1,4)，证明：直线l过定点；
(2)若线段AB的中点M在曲线C2：y＝4－eq \f(1,4)x2(－2eq \r(2)＜x＜2eq \r(2))上，求|AB|的最大值．
解：(1)证明：由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋m，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝4y，,y＝kx＋m，))得x2－4kx－4m＝0，
Δ＝16(k2＋m)＞0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m，
则kOA·kOB＝eq \f(y1·y2,x1·x2)＝eq \f(\f(1,4)x\\al(2,1)·\f(1,4)x\\al(2,2),x1·x2)＝eq \f(x1·x2,16)＝－eq \f(m,4)，
由已知kOA·kOB＝－eq \f(1,4)，得m＝1，满足Δ＞0，
∴直线l的方程为y＝kx＋1，∴直线l过定点(0,1)．
(2)设M(x0，y0)，由已知及(1)得x0＝eq \f(x1＋x2,2)＝2k，
y0＝kx0＋m＝2k2＋m，
将M(x0，y0)代入y＝4－eq \f(1,4)x2(－2eq \r(2)＜x＜2eq \r(2))，得
2k2＋m＝4－eq \f(1,4)×(2k)2，∴m＝4－3k2.
∵－2eq \r(2)＜x0＜2eq \r(2)，∴－2eq \r(2)＜2k＜2eq \r(2)，∴－eq \r(2)＜k＜eq \r(2)，
∵Δ＝16(k2＋m)＝16(k2＋4－3k2)＝32(2－k2)＞0，∴－eq \r(2)＜k＜eq \r(2)，
故k的取值范围是(－eq \r(2)，eq \r(2))．
∴|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝eq \r(1＋k2)·eq \r(16k2＋m)
＝4eq \r(2)·eq \r(k2＋12－k2)≤4eq \r(2)·eq \f(k2＋1＋2－k2,2)＝6eq \r(2)，
当且仅当k2＋1＝2－k2，即k＝±eq \f(\r(2),2)时取等号，
∴|AB|的最大值为6eq \r(2).
2．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(2\r(2),3)，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点．
(1)若以AF1为直径的动圆内切于圆x2＋y2＝9，求椭圆的长轴的长；
(2)当b＝1时，问在x轴上是否存在定点T，使得eq \(TA,\s\up7(―→))·eq \(TB,\s\up7(―→))为定值？并说明理由．
解：(1)设AF1的中点为M，连接OM，AF2(O为坐标原点)，
在△AF1F2中，O为F1F2的中点，
所以|OM|＝eq \f(1,2)|AF2|＝eq \f(1,2)(2a－|AF1|)＝a－eq \f(1,2)|AF1|.
由题意得|OM|＝3－eq \f(1,2)|AF1|，所以a＝3，故椭圆的长轴的长为6.
(2)由b＝1，eq \f(c,a)＝eq \f(2\r(2),3)，a2＝b2＋c2，得c＝2eq \r(2)，a＝3，所以椭圆C的方程为eq \f(x2,9)＋y2＝1.
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x＋2eq \r(2))，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋9y2＝9，,y＝kx＋2\r(2)))得(9k2＋1)x2＋36eq \r(2)k2x＋72k2－9＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－eq \f(36\r(2)k2,9k2＋1)，x1x2＝eq \f(72k2－9,9k2＋1)，
y1y2＝k2(x1＋2eq \r(2))(x2＋2eq \r(2))＝eq \f(－k2,9k2＋1).设T(x0,0)，
则eq \(TA,\s\up7(―→))＝(x1－x0，y1)，eq \(TB,\s\up7(―→))＝(x2－x0，y2)，
eq \(TA,\s\up7(―→))·eq \(TB,\s\up7(―→))＝x1x2－(x1＋x2)x0＋xeq \\al(2,0)＋y1y2＝eq \f(9x\\al(2,0)＋36\r(2)x0＋71k2＋x\\al(2,0)－9,9k2＋1)，
当9xeq \\al(2,0)＋36eq \r(2)x0＋71＝9(xeq \\al(2,0)－9)，即x0＝－eq \f(19\r(2),9)时，
eq \(TA,\s\up7(―→))·eq \(TB,\s\up7(―→))为定值，定值为xeq \\al(2,0)－9＝－eq \f(7,81).
当直线AB的斜率不存在时，不妨设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2\r(2)，\f(1,3)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2\r(2)，－\f(1,3)))，
当Teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(19\r(2),9)，0))时，eq \(TA,\s\up7(―→))·eq \(TB,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),9)，\f(1,3)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),9)，－\f(1,3)))＝－eq \f(7,81).
综上，在x轴上存在定点Teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(19\r(2),9)，0))，使得eq \(TA,\s\up7(―→))·eq \(TB,\s\up7(―→))为定值．
3．已知直线l：x＝my＋1过椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点F，抛物线x2＝4eq \r(3)y的焦点为椭圆C的上顶点，且l交椭圆C于A，B两点，点A，F，B在直线x＝4上的射影依次为D，K，E.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l交y轴于点M，且eq \(MA,\s\up7(―→))＝λ1eq \(AF,\s\up7(―→))， eq \(MB,\s\up7(―→))＝λ2eq \(BF,\s\up7(―→))，当m变化时，证明：λ1＋λ2为定值；
(3)当m变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．
解：(1)∵l：x＝my＋1过椭圆C的右焦点F，
∴右焦点F(1,0)，c＝1，即c2＝1.
∵x2＝4eq \r(3)y的焦点(0，eq \r(3))为椭圆C的上顶点，
∴b＝eq \r(3)，即b2＝3，a2＝b2＋c2＝4，
∴椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
(2)证明：由题意知m≠0，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝my＋1，,3x2＋4y2－12＝0))得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝－eq \f(6m,3m2＋4)，y1y2＝－eq \f(9,3m2＋4).
∵eq \(MA,\s\up7(―→))＝ λ1eq \(AF,\s\up7(―→))，eq \(MB,\s\up7(―→))＝λ2eq \(BF,\s\up7(―→))，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,m)))，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1，y1＋\f(1,m)))＝λ1(1－x1，－y1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2，y2＋\f(1,m)))＝λ2(1－x2，－y2)，
∴λ1＝－1－eq \f(1,my1)，λ2＝－1－eq \f(1,my2)，∴λ1＋λ2＝－2－eq \f(y1＋y2,my1y2)＝－2－eq \f(\f(－6m,3m2＋4),\f(－9m,3m2＋4))＝－eq \f(8,3).
综上所述，当m变化时，λ1＋λ2为定值－eq \f(8,3).
(3)当m＝0时，直线l⊥x轴，则四边形ABED为矩形，
易知AE与BD相交于点Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，0))，
猜想当m变化时，直线AE与BD相交于定点Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，0))，证明如下：
则eq \(AN,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)－x1，－y1))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－my1，－y1))，易知E(4，y2)，则eq \(NE,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，y2)).
∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－my1))y2－eq \f(3,2)(－y1)＝eq \f(3,2)(y1＋y2)－my1y2＝eq \f(3,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(6m,3m2＋4)))－meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(9,3m2＋4)))＝0，
∴eq \(AN,\s\up7(―→))∥eq \(NE,\s\up7(―→))，即A，N，E三点共线．同理可得B，N，D三点共线．
则猜想成立， 故当m变化时，直线AE与BD相交于定点Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，0)).
4．已知斜率为k的直线l与椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m>0)．
(1)证明：k