2022年高考数学(理数)一轮复习课时作业13《变化率与导数、导数的计算》（教师版）

这是一份2022年高考数学(理数)一轮复习课时作业13《变化率与导数、导数的计算》（教师版），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．给出下列结论：
①若y＝lg2x，则y′＝eq \f(1,xln2)；
②若y＝－eq \f(1,\r(x))，则y′＝eq \f(1,2x\r(x))；
③若f(x)＝eq \f(1,x2)，则f′(3)＝－eq \f(2,27)；
④若y＝ax(a>0)，则y′＝axlna.
其中正确的个数是( D )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知函数f(x)＝eq \f(x,ex)(e是自然对数的底数)，则其导函数f′(x)＝( B )
A.eq \f(1＋x,ex) B.eq \f(1－x,ex) C．1＋x D．1－x
解析：函数f(x)＝eq \f(x,ex)，则其导函数f′(x)＝eq \f(ex－xex,e2x)＝eq \f(1－x,ex)，故选B.
3．若函数f(x)＝x3－x＋3的图象在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则点P的坐标为( C )
A．(1,3) B．(－1,3) C．(1,3)或(－1,3) D．(1，－3)
解析：f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，即3x2－1＝2⇒x＝1或－1，又f(1)＝3，f(－1)＝3，所以P(1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y＝2x－1上，故点P的坐标为(1,3)或(－1,3)．
4．已知直线2x－y＋1＝0与曲线y＝aex＋x相切(其中e为自然对数的底数)，则实数a的值是( B )
A.eq \f(1,2) B．1 C．2 D．e
解析：由题意知y′＝aex＋1＝2，则a>0，x＝－lna，代入曲线方程得y＝1－lna，
所以切线方程为y－(1－lna)＝2(x＋lna)，即y＝2x＋lna＋1＝2x＋1⇒a＝1.
5．曲线y＝2lnx上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离为( A )
A.eq \r(5) B．2eq \r(5) C．3eq \r(5) D．2
解析：设与直线2x－y＋3＝0平行且与曲线y＝2lnx相切的直线方程为2x－y＋m＝0.
设切点为P(x0，y0)，∵y′＝eq \f(2,x)，∴斜率k＝eq \f(2,x0)＝2，解得x0＝1，
因此y0＝2ln1＝0，∴切点为P(1,0)，
则点P到直线2x－y＋3＝0的距离d＝eq \f(|2－0＋3|,\r(22＋－12))＝eq \r(5)，
∴曲线y＝2lnx上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是eq \r(5).
6．过点(－1,1)与曲线f(x)＝x3－x2－2x＋1相切的直线有( C )
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
解析：设切点P(a，a3－a2－2a＋1)，由f′(x)＝3x2－2x－2，当a≠－1时，可得切线的斜率k＝3a2－2a－2＝eq \f(a3－a2－2a＋1－1,a－－1)，所以(3a2－2a－2)(a＋1)＝a3－a2－2a，
即(3a2－2a－2)(a＋1)＝a(a－2)(a＋1)，所以a＝1，此时k＝－1.
又(－1,1)是曲线上的点且f′(－1)＝3≠－1，故切线有2条．
7．已知函数f(x)＝ex－mx＋1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y＝ex垂直的切线，
则实数m的取值范围是( B )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,e))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，＋∞)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，e)) D．(e，＋∞)
解析：由题意知，方程f′(x)＝－eq \f(1,e)有解，即ex－m＝－eq \f(1,e)有解，即ex＝m－eq \f(1,e)有解，
故只要m－eq \f(1,e)>0，即m>eq \f(1,e)即可，故选B.
8．给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，f″(x)是函数f′(x)的导函数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．已知函数f(x)＝3x＋4sinx－csx的拐点是M(x0，f(x0))，则点M( B )
A．在直线y＝－3x上 B．在直线y＝3x上
C．在直线y＝－4x上 D．在直线y＝4x上
解析：f′(x)＝3＋4csx＋sinx，f″(x)＝－4sinx＋csx，结合题意知4sinx0－csx0＝0，所以f(x0)＝3x0，故M(x0，f(x0))在直线y＝3x上．故选B.
二、填空题
9．曲线y＝(ax＋1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a＝－3.
解析：y′＝(ax＋1＋a)ex，由曲线在点(0,1)处的切线的斜率为－2，
得y′|x＝0＝(ax＋1＋a)ex|x＝0＝1＋a＝－2，所以a＝－3.
10．已知函数f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)＝(2x－1)lnx，则曲线y＝f(x)在点(－1，f(－1))处切线的斜率为－1.
解析：当x>0时，f′(x)＝2lnx＋eq \f(2x－1,x)，则f′(1)＝1，
∵函数f(x)是偶函数，∴f′(－1)＝－1.
11．若函数y＝2x3＋1与y＝3x2－b的图象在一个公共点处的切线相同，则实数b＝0或－1.
解析：设公共切点的横坐标为x0，函数y＝2x3＋1的导函数为y′＝6x2，y＝3x2－b的导函数为y′＝6x.由图象在一个公共点处的切线相同，可得6xeq \\al(2,0)＝6x0且1＋2xeq \\al(3,0)＝3xeq \\al(2,0)－b，解得x0＝0，b＝－1或x0＝1，b＝0.故实数b＝0或－1.
三、解答题
12．已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.
(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程．
(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．
解：(1)因为f′(x)＝3x2－8x＋5，所以f′(2)＝1，又f(2)＝－2，所以曲线在点(2，f(2))处的切线方程为y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.
(2)设曲线与经过点A(2，－2)的切线相切于点P(x0，xeq \\al(3,0)－4xeq \\al(2,0)＋5x0－4)，因为f′(x0)＝3xeq \\al(2,0)－8x0＋5，所以切线方程为y－(－2)＝(3xeq \\al(2,0)－8x0＋5)(x－2)，又切线过点P(x0，xeq \\al(3,0)－4xeq \\al(2,0)＋5x0－4)，所以xeq \\al(3,0)－4xeq \\al(2,0)＋5x0－2＝(3xeq \\al(2,0)－8x0＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或1，所以经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.
13．已知函数f(x)＝e2x－2ex＋ax－1，曲线y＝f(x)上存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围为( B )
A．(3，＋∞) B.（3，eq \f(7,2)） C.（-∞，eq \f(7,2)） D．(0,3)
解析：f(x)＝e2x－2ex＋ax－1的导函数为f′(x)＝2e2x－2ex＋a，
由题意可得2e2x－2ex＋a＝3的解有两个，即有（ex-eq \f(1,2)）2＝eq \f(7－2a,4)，
即为ex＝eq \f(1,2)＋eq \f(\r(7－2a),2)或ex＝eq \f(1,2)－eq \f(\r(7－2a),2)，即有7－2a>0且7－2a<1，解得314．已知函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C.
(1)求曲线C上任意一点处的切线斜率的取值范围；
(2)若曲线C存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．
解：(1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，
即曲线C上任意一点处的切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．
(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k(k≠0)，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k≥－1，,－\f(1,k)≥－1，))解得－1≤k<0或k≥1，
故由－1≤x2－4x＋3<0或x2－4x＋3≥1，
得x∈(－∞，2－eq \r(2)]∪(1,3)∪[2＋eq \r(2)，＋∞)．
15．若曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝eq \f(ex,a)(a>0)存在公共切线，则a的取值范围为( D )
A．(0,1) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(e2,4))) C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(e2,4)，2)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(e2,4)，＋∞))
解析：曲线y＝x2在点(m，m2)的切线斜率为2m，曲线y＝eq \f(ex,a)(a>0)在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n，\f(1,a)en))的切线斜率为eq \f(1,a)en，如果两条曲线存在公共切线，那么2m＝eq \f(1,a)en.又由直线的斜率公式得到2m＝eq \f(m2－\f(1,a)en,m－n)，则有m＝2n－2，则由题意知4n－4＝eq \f(1,a)en有解，即y＝4x－4，y＝eq \f(1,a)ex的图象有交点．若直线y＝4x－4与曲线y＝eq \f(1,a)ex相切，设切点为(s，t)，则eq \f(1,a)es＝4，且t＝4s－4＝eq \f(1,a)es，可得切点为(2,4)，此时eq \f(1,a)＝eq \f(4,e2)，故要使满足题意，需eq \f(1,a)≤eq \f(4,e2)，则a≥eq \f(e2,4)，故a的取值范围是a≥eq \f(e2,4).故选D.
16．已知函数f(x)＝x2－lnx.
(1)求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)在函数f(x)＝x2－lnx的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))上？若存在，求出这两点的坐标，若不存在，请说明理由．
解：(1)由题意可得f(1)＝1，且f′(x)＝2x－eq \f(1,x)，f′(1)＝2－1＝1，
则所求切线方程为y－1＝1×(x－1)，即y＝x.
(2)假设存在两点满足题意，且设切点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1，x2∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，
不妨设x1又函数f′(x)＝2x－eq \f(1,x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))上单调递增，函数的值域为[－1，1]，
故－1≤2x1－eq \f(1,x1)<2x2－eq \f(1,x2)≤1，据此有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x1－\f(1,x1)＝－1，,2x2－\f(1,x2)＝1，))
解得x1＝eq \f(1,2)，x2＝1(x1＝－1，x2＝－eq \f(1,2))舍去，故存在两点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，ln2＋\f(1,4)))，(1,1)满足题意．