高考数学(文数)一轮复习创新思维课时练2.10《变化率与导数、导数的计算》(教师版)

课时规范练

A组　基础对点练

1．曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于(　　)

A．2e　　　　　　　　　　 B．e

C．2  D．1

解析：∵y′＝x′·ex－1＋x·(ex－1)′＝(1＋x)ex－1，

∴曲线y＝xex－1在点(1,1)处的切线斜率为y′|x＝1＝2.故选C.

答案：C

2．函数f(x)＝exsin x的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：因为f′(x)＝exsin x＋excos x，所以f′(0)＝1，即曲线y＝f(x)在点(0，f(0)处的切线的斜率为1.所以在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为，故选C.

答案：C

3．(云南师大附中考试)曲线y＝ax在x＝0处的切线方程是xln 2＋y－1＝0，则a＝(　　)

A.  B．2

C．ln 2  D．ln

解析：由题知，y′＝axln a，y′|x＝0＝ln a，又切点为(0,1)，故切线方程为xln a－y＋1＝0，∴a＝，故选A.

答案：A

4．(重庆巴蜀中学模拟)已知曲线y＝在点P(2,4)处的切线与直线l平行且距离为2，则直线l的方程为(　　)

A．2x＋y＋2＝0

B．2x＋y＋2＝0或2x＋y－18＝0

C．2x－y－18＝0

D．2x－y＋2＝0或2x－y－18＝0

解析：y′＝＝－，y′|x＝2＝－＝－2，因此kl＝－2，设直线l方程为y＝－2x＋b，即2x＋y－b＝0，由题意得＝2， 解得b＝18或b＝－2，所以直线l的方程为2x＋y－18＝0或2x＋y＋2＝0.故选B.

答案：B

5．(潍坊模拟)如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝(　　)

A．－1  B．0

C．2  D．4

解析：由题意知直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，由图可得f(3)＝1.又点(3,1)在直线l上，

∴3k＋2＝1，

∴k＝－，

∴f′(3)＝k＝－.

∵g(x)＝xf(x)，

∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，

则g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1＋3×＝0，故选B.

答案：B

6．函数g(x)＝ln x图象上一点P到直线y＝x的最短距离为________．

解析：设与直线y＝x平行且与曲线g(x)＝ln x相切的直线的切点坐标为(x0，ln x0)，因为g′(x)＝(ln x)′＝，则1＝，∴x0＝1，则切点坐标为(1,0)，∴最短距离为(1,0)到直线y＝x的距离，即为＝，故答案为.

答案：

7．已知曲线f(x)＝x＋＋b(x≠0)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝2x＋5，求a－b的值．

解析：∵f′(x)＝1－，∴f′(1)＝1－a，又f(1)＝1＋a＋b，

∴曲线在(1，f(1))处的切线方程为y－(1＋a＋b)＝(1－a)(x－1)，即y＝(1－a)x＋2a＋b，

根据题意有解得

∴a－b＝－1－7＝－8.

B组　能力提升练

8．设函数f(x)＝xsin x＋cos x的图象在点(t，f(t))处切线的斜率为g(t)，则函数y＝g(t)的图象一部分可以是(　　)

解析：由f(x)＝xsin x＋cos x可得f′(x)＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x.

即y＝g(t)＝tcos t，是奇函数，排除选项B，D；

当t∈时，y＝g(t)＞0，排除选项C.故选A.

答案：A

9．(广州第一次调研)已知直线y＝kx－2与曲线y＝xln x相切，则实数k的值为(　　)

A．ln 2  B．1

C．1－ln 2  D．1＋ln 2

解析：由y＝xln x得y′＝ln x＋1，设切点为(x0，y0)，则k＝ln x0＋1，∵切点(x0，y0)既在曲线y＝xln x上又在直线y＝kx－2上，

∴∴kx0－2＝x0ln x0，∴k＝lnx0＋，∴ln x0＋＝ln x0＋1，∴x0＝2，∴k＝ln 2＋1，故选D.

答案：D

10．已知各项均为正数的等比数列{an}，a3·a5＝2，若f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a7)，则f′(0)＝(　　)

A．8  B．－8

C．128  D．－128

解析：令f(x)＝x·g(x)，其中g(x)＝(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a7)，

则f′(x)＝g(x)＋x·g′(x)，

因为{an}是等比数列，

所以f′(0)＝g(0)＝－a1·a2·a3·…·a7＝－a，

又因为a3·a5＝a＝2及{an}各项均为正数，所以a4＝，故f′(0)＝－8.故选B.

答案：B

11．设函数y＝f(x)图象上任意一点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(3x－6x0)(x－x0)，且f(3)＝0，则不等式≥0的解集为__________．

解析：∵函数y＝f(x)图象上任意一点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(3x－6x0)(x－x0)，

∴f′(x0)＝3x－6x0，

∴f′(x)＝3x2－6x，

设f(x)＝x3－3x2＋c，又f(3)＝0，

∴33－3×32＋c＝0，解得c＝0，

∴f(x)＝x3－3x2，

∴≥0可化为≥0，解得0<x≤1或x<0或x>3.

答案：(－∞，0)∪(0,1]∪(3，＋∞)

12．已知f(x)＝(a－2)x＋(x＞0)，若曲线f(x)上存在不同两点A，B，使得曲线f(x)在点A，B处的切线垂直，求实数a的取值范围．

解析：由f(x)＝(a－2)x＋，得f′(x)＝a－2＋.∵x＞0，∴a－2＜f′(x)＜a＋2.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则曲线f(x)在点A，B处的切线的斜率分别为k1＝f′(x1)，k2＝f′(x2)，

则a－2＜k1＜a＋2，a－2＜k2＜a＋2且k1k2＝－1，

可得解得－＜a＜.

故实数a的取值范围是(－，)．

13．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，求f′(1)的值．

解析：令t＝ex，故x＝ln t，∴f(t)＝ln t＋t，即f(x)＝ln x＋x，∴f′(x)＝＋1，∴f′(1)＝2.