(新高考)高考数学一轮复习课时练习4.1《变化率与导数、导数的计算》(含解析)

这是一份(新高考)高考数学一轮复习课时练习4.1《变化率与导数、导数的计算》(含解析)，共15页。试卷主要包含了导数的概念，基本初等函数的导数公式，求下列函数的导数等内容，欢迎下载使用。


第1讲　变化率与导数、导数的计算
最新考纲
考向预测
1.了解导数概念的实际背景，通过函数图象直观理解导数的几何意义．
2．能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝，y＝x2的导数．
3．能利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数.
命题趋势
本讲主要考查导数的运算、求导法则以及导数的几何意义．常以选择题、填空题的形式出现，有时也出现在解答题的第一问，难度中等.
核心素养
数学运算、数学抽象


1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝．
(2)导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(3)函数f(x)的导函数
称函数f′(x)＝为f(x)的导函数．
2．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q*)
f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos__x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin__x
f(x)＝ax
(a>0且a≠1)
f′(x)＝axln__a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax
(x>0，a>0且a≠1)
f′(x)＝
f(x)＝ln x
(x>0)
f′(x)＝
3.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3)′＝(g(x)≠0)．
常用结论
1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
2．[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)．
3．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
常见误区
1．f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.
2．求导常见易错点：①公式(xn)′＝nxn－1与(ax)′＝axln a相互混淆；②公式中“＋”“－”号记混，如出现以下错误：′＝，(cos x)′＝sin x.
3．求曲线的切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　　)
(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0)．(　　)
(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(　　)
(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　　)
(5)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与过点P(x0，y0)的切线相同．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×
2．(多选)下列求导运算正确的有(　　)
A．(sin x)′＝cos x B．′＝
C．(log3x)′＝ D．(ln x)′＝
解析：选AD.因为(sin x)′＝cos x，′＝－，(log3x)′＝，(ln x)′＝，所以A，D正确．
3．(2020·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为(　　)
A．y＝－2x－1
B．y＝－2x＋1
C．y＝2x－3
D．y＝2x＋1
解析：选B.因为f(x)＝x4－2x3，所以f′(x)＝4x3－6x2，f′(1)＝－2，所以切线的斜率为－2，排除C，D.又f(1)＝1－2＝－1，所以切线过点(1，－1)，排除A.故选B.
4．函数f(x)＝x2在区间[1，2]上的平均变化率为________，在x＝2处的导数为________．
解析：函数f(x)＝x2在区间[1，2]上的平均变化率为＝3；因为f′(x)＝2x，所以f(x)在x＝2处的导数为2×2＝4.
答案：3　4
5．(易错题)函数y＝的导函数为________．
解析：y′＝＝.
答案：y′＝


　　　　　　导数的运算
角度一　求已知函数的导数
求下列函数的导数：
(1)y＝ln x＋；
(2)f(x)＝sin ；
(3)y＝3xex－2x＋e.
【解】　(1)y′＝′＝(ln x)′＋′＝－.
(2)因为f(x)＝sin ＝－sin x，
所以f′(x)＝′＝－(sin x)′＝－cos x.
(3)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′
＝3xexln 3＋3xex－2xln 2
＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2.


[注意]　求导之前，应利用代数、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则先化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．　
角度二　求抽象函数的导数值
已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)＝________．
【解析】　因为f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋，所以f′(2)＝4＋3f′(2)＋＝3f′(2)＋，所以f′(2)＝－.
【答案】　－

对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似f(x)＝f′(x0)g(x)＋h(x)(x0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f′(x0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f′(x)，令x＝x0，即可得到f′(x0)的值，进而得到函数解析式，求得所求导数值．　

1．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝3x2＋2x·f′(2)，则f′(5)＝(　　)
A．2　　 　　B．4　 　　　C．6　 　　　D．8
解析：选C.由已知得，f′(x)＝6x＋2f′(2)，
令x＝2，得f′(2)＝－12.
再令x＝5，得f′(5)＝6×5＋2f′(2)＝30－24＝6.
2．(2020·成都摸底考试)设函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝exln x＋－1，则f′(1)＝(　　)
A．e－3 B．e－2 C．e－1 D．e
解析：选C.由题意，得f′(x)＝(exln x)′－＝exln x＋－，所以f′(1)＝0＋e－1＝e－1，故选C.
3．求下列函数的导数：
(1)y＝x(ln x＋cos x)；
(2)y＝；
(3)y＝ln x.
解：(1)y′＝ln x＋cos x＋x＝ln x＋cos x－xsin x＋1.
(2)y′＝＝.
(3)y′＝ln x＋·＝.

　　　　　　导数的几何意义
角度一　求切线方程
(1)(2021·广州调研检测)已知f(x)＝x 为奇函数(其中e是自然对数的底数)，则曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为___________________________．
(2)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为____________________________．
【解析】　(1)因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＋f(1)＝0，即e＋－－ae＝0.解得a＝1，所以f(x)＝x，所以f′(x)＝＋x，所以曲线y＝f(x)在x＝0处的切线的斜率为2，又f(0)＝0，所以曲线y＝f(x)在x＝0处的切线的方程为2x－y＝0.
(2)因为点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，
所以设切点为(x0，y0)．又因为f′(x)＝1＋ln x，
所以直线l的方程为y＋1＝(1＋ln x0)x.
所以由解得x0＝1，y0＝0.
所以直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.
【答案】　(1)2x－y＝0　(2)x－y－1＝0

求曲线切线方程的步骤
(1)求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率．
(2)由点斜式方程求得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．
[注意]　“过”与“在”：曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．　
角度二　求切点坐标
若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．
【解析】　设切点P的坐标为(x0，y0)，因为y′＝ln x＋1，
所以切线的斜率k＝ln x0＋1，
由题意知k＝2，得x0＝e，代入曲线方程得y0＝e.
故点P的坐标是(e，e)．
【答案】　(e，e)
【引申探究】　(变条件、变问法)若本例变为：若曲线y＝xln x上点P处的切线与直线x＋y＋1＝0垂直，则该切线的方程为____________．
解析：设切点P的坐标为(x0，y0)，
因为y′＝ln x＋1，由题意得ln x0＋1＝1，
所以ln x0＝0，x0＝1，所以y0＝0，即点P(1，0)，
所以切线方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.
答案：x－y－1＝0

求切点坐标的思路
已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．　
角度三　已知切线方程(或斜率)求参数
(1)(2021·西安五校联考)已知函数f(x)＝aex＋b(a，b∈R)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x＋1，则a－b＝________．
(2)函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是________．
【解析】　(1)方法一：由题意，得f′(x)＝aex，则f′(0)＝a，又f(0)＝a＋b，所以函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为y－(a＋b)＝a(x－0)，即y＝ax＋a＋b.又该切线方程为y＝2x＋1，所以解得所以a－b＝3.
方法二：由题意，得f′(x)＝aex，则f′(0)＝a.因为函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x＋1，所以解得所以a－b＝3.
(2)由题意知f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解．
所以f′(x)＝＋a＝2在(0，＋∞)上有解，则a＝2－.
因为x>0，所以2－<2，所以实数a的取值范围是(－∞，2)．　
【答案】　(1)3　(2)(－∞，2)

利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．　

1．(2020·高考全国卷Ⅰ)曲线y＝ln x＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为____________．
解析：设切点坐标为(x0，ln x0＋x0＋1)．由题意得y′＝＋1，则该切线的斜率k＝|x＝x0＝＋1＝2，解得x0＝1，所以切点坐标为(1，2)，所以该切线的方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.
答案：y＝2x
2．如图，已知直线l是曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线，则直线l的方程是________；f(2)＋f′(2)的值为________．　

解析：由题图可得直线l经过点(2，3)和(0，4)，则直线l的斜率为k＝＝－，可得直线l的方程为y＝－x＋4，即为x＋2y－8＝0；
由导数的几何意义可得f′(2)＝－，
则f(2)＋f′(2)＝3－＝.
答案：x＋2y－8＝0　

[A级　基础练]
1．已知函数f(x)＝xsin x＋ax，且f′＝1，则a＝(　　)
A．0　　　　　　　　　　　 B．1
C．2 D．4
解析：选A.因为f′(x)＝sin x＋xcos x＋a，且f′＝1，所以sin ＋cos ＋a＝1，即a＝0.
2．某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是h(t)＝10－4.9t2＋8t(高度单位：米，时间单位：秒)，则他在0.5秒时的瞬时速度为(　　)
A．9.1米/秒 B．6.75米/秒
C．3.1米/秒 D．2.75米/秒
解析：选C.因为函数关系式是h(t)＝10－4.9t2＋8t，所以h′(t)＝－9.8t＋8，所以在t＝0.5秒的瞬时速度为－9.8×0.5＋8＝3.1(米/秒)．
3．已知函数f(x)可导，则 ＝(　　)
A．f′(x) B．f′(2)
C．f(x) D．f(2)
解析：选B.因为函数f(x)可导，
所以f′(x)＝ ，
所以 ＝f′(2)．
4．(2021·广东广州综合测试一)已知点P(x0，y0)是曲线C：y＝x3－x2＋1上的点，曲线C在点P处的切线与直线y＝8x－11平行，则(　　)
A．x0＝2 B．x0＝－
C．x0＝2或x0＝－ D．x0＝－2或x0＝
解析：选B.由y＝x3－x2＋1可得y′＝3x2－2x，则切线斜率k＝y′|x＝x0＝3x－2x0，又切线平行于直线y＝8x－11，所以3x－2x0＝8，所以x0＝2或x0＝－.①当x0＝2时，切点为(2，5)，切线方程为y－5＝8(x－2)，即8x－y－11＝0，与已知直线重合，不合题意，舍去；②当x0＝－时，切点为，切线方程为y＋＝8，即y＝8x＋，与直线y＝8x－11平行，故选B.
5．(多选)若函数f(x)的导函数f′(x)的图象关于y轴对称，则f(x)的解析式可能为(　　)
A．f(x)＝3cos x B．f(x)＝x3＋x
C．f(x)＝x＋ D．f(x)＝ex＋x
解析：选BC.对于A，f(x)＝3cos x，其导数f′(x)＝－3sin x，其导函数为奇函数，图象不关于y轴对称，不符合题意；对于B，f(x)＝x3＋x，其导数f′(x)＝3x2＋1，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；对于C，f(x)＝x＋，其导数f′(x)＝1－，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；对于D，f(x)＝ex＋x，其导数f′(x)＝ex＋1，其导函数不是偶函数，图象不关于y轴对称，不符合题意．
6．(2020·江西南昌一模)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(ln x)＝x＋ln x，则f′(1)＝________．
解析：因为f(ln x)＝x＋ln x，所以f(x)＝x＋ex，
所以f′(x)＝1＋ex，所以f′(1)＝1＋e1＝1＋e.
答案：1＋e
7．(2021·四川绵阳一诊改编)若函数f(x)＝x3＋(t－1)x－1的图象在点(－1，f(－1))处的切线平行于x轴，则t＝________，切线方程为________．
解析：因为函数f(x)＝x3＋(t－1)x－1，所以f′(x)＝3x2＋t－1.因为函数f(x)的图象在点(－1，f(－1))处的切线平行于x轴，所以f′(－1)＝3×(－1)2＋t－1＝2＋t＝0，解得t＝－2.此时f(x)＝x3－3x－1，f(－1)＝1，切线方程为y＝1.
答案：－2　y＝1
8．(2021·江西重点中学4月联考)已知曲线y＝＋在x＝1处的切线l与直线2x＋3y＝0垂直，则实数a的值为________．
解析：y′＝－＋，当x＝1时，y′＝－1＋.由于切线l与直线2x＋3y＝0垂直，所以·＝－1，解得a＝.
答案：
9．求下列函数的导数．
(1)y＝(1－)；
(2)y＝x·tan x；
(3)y＝.
解：(1)因为y＝(1－)＝－＝x－－x，
所以y′＝(x－)′－(x)′＝－x－－x－.

(2)y′＝(x·tan x)′＝x′tan x＋x(tan x)′
＝tan x＋x·′＝tan x＋x·
＝tan x＋.
(3)y′＝′＝
＝－.
10．已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．
(1)求点P0的坐标；
(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．
解：(1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1.
令3x2＋1＝4，解得x＝±1.
当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.
又点P0在第三象限，
所以切点P0的坐标为(－1，－4)．
(2)因为直线l⊥l1，l1的斜率为4，
所以直线l的斜率为－.
因为l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，
所以直线l的方程为y＋4＝－(x＋1)，即x＋4y＋17＝0.
[B级　综合练]
11．已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是(　　)

A．f′(1) C．f′(2) 解析：选B.由题图可知，在(0，＋∞)上，函数f(x)为增函数，且曲线切线的斜率越来越大，因为＝a，所以易知f′(1) 12．(多选)(2021·山东青岛三模)已知曲线f(x)＝x3－x2＋ax－1上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值可能为(　　)
A. B．3
C. D.
解析：选AC.f′(x)＝2x2－2x＋a，因为曲线y＝f(x)上存在两条斜率为3的不同切线，所以f′(x)＝3有两个不相等的实数根，即2x2－2x＋a－3＝0有两个不相等的实数根，
所以Δ＝(－2)2－4×2×(a－3)>0，①
设两切点的横坐标分别为x1，x2.
因为切点的横坐标都大于零，
所以x1>0，x2>0，
所以②
联立①②解得3 故选AC.
13．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．
(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；
(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．
解：f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．
(1)由题意得
解得b＝0，a＝－3或a＝1.
(2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，
所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，
所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0，
即4a2＋4a＋1>0，
所以a≠－.
所以a的取值范围为∪.
14．已知函数f(x)＝x2－ln x.
(1)求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)在函数f(x)＝x2－ln x的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间上？若存在，求出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)由题意可得f(1)＝1，且f′(x)＝2x－，所以f′(1)＝2－1＝1，则所求切线方程为y－1＝1×(x－1)，即y＝x.
(2)存在．假设存在两点满足题意，设切点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1，x2∈，不妨设x1 又函数f′(x)＝2x－在区间上单调递增，函数的值域为[－1，1]，
故－1≤2x1－＜2x2－≤1，
据此有
解得x1＝，x2＝1，
故存在两点，(1，1)满足题意．
[C级　创新练]
15．(多选)已知函数f(x)及其导数f′(x)，若存在x0使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．给出下列四个函数，其中有“巧值点”的函数是(　　)
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝e－x
C．f(x)＝ln x D．f(x)＝tan x
解析：选AC.对于A，若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，令x2＝2x，这个方程显然有解，得x＝0或x＝2，故A符合要求；对于B，若f(x)＝e－x，则f′(x)＝－e－x，即e－x＝－e－x，此方程无解，B不符合要求；对于C，若f(x)＝ln x，则f′(x)＝，若ln x＝，利用数形结合法可知该方程存在实数解，C符合要求；对于D，若f(x)＝tan x，则f′(x)＝′＝，令f(x)＝f′(x)，即sin xcos x＝1，变形可得sin 2x＝2，无解，D不符合要求．
16．定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新驻点”，如果函数g(x)＝x，h(x)＝ln x，φ(x)＝cos x的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是(　　)
A．α>β>γ B．β>γ>α
C．γ>α>β D．γ>β>α
解析：选D.由题意，得g′(α)＝1＝g(α)，所以α＝1.由h(x)＝ln x，得h′(x)＝.令r(x)＝ln x－，可得r(1)<0，r(2)>0，故1<β<2.由φ(x)＝cos x，得φ′(γ)＝－sin γ＝cos γ，所以cos γ＋sin γ＝0，且γ∈，所以γ＝.综上可知，γ>β>α.故选D.