北师大版必修2第二章 解析几何初步综合与测试练习题
展开第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1. 圆心为(1,-1),半径为2的圆的方程是( D )
A.(x-1)2+(y+1)2=2B.(x+1)2+(y-1)2=4
C.(x+1)2+(y-1)2=2D.(x-1)2+(y+1)2=4
[解析] 由圆的标准方程的形式直接写出方程即可.
2.过点P(-1,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程是( A )
A.2x+y-1=0 B.2x+y-5=0
C.x+2y-5=0D.x-2y+7=0
[解析] 设直线方程为2x+y+m=0且过点(-1,3),故m=-1,∴所求直线的方程为:2x+y-1=0.
3.下列说法正确的是( C )
A.直线的倾斜角越大,它的斜率就越大
B.若两直线关于x轴对称,则此二直线斜率互为倒数
C.若与x轴不垂直的两直线关于y轴对称,则此二直线斜率互为相反数
D.若两直线垂直,则此二直线斜率互为负倒数
[解析] A倾斜角为钝角时,斜率小于0;倾斜角为锐角时,斜率大于0.B两直线关于x轴对称,斜率一正一负,不可能互为倒数.D分别平行于x,y轴的两直线垂直,其中一直线斜率不存在.
4.直线ax+2y-1=0与x+(a-1)y+2=0平行,则a等于( D )
A.eq \f(3,2) B.2
C.-1D.2或-1
[解析] 由a·(a-1)-2×1=0得a2-a-2=0,
∴a=2或-1.
5.已知A(-4,2,3)关于xOz平面的对称点为A1,A1关于z轴的对称点为A2,则|AA2|等于( A )
A.8B.12
C.16D.19
[解析] A1(-4,-2,3),A2(4,2,3),
∴|AA2|=eq \r(4+42+2-22+3-32)=8.
6.(2019·北京市综合能力测试)已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=1过点A(1,0),则圆C的圆心的轨迹是( D )
A.点B.直线
C.线段D.圆
[解析] ∵圆C:(x-a)2+(y-b)2=1过点A(1,0),∴(1-a)2+(0-b)2=1,即(a-1)2+b2=1,故圆C的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心,1为半径的圆.
7. 如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴相切于原点,则( C )
A.D=0,E=0,F≠0B.E=0,F=0,D≠0
C.D=0,F=0,E≠0D.F=0,D≠0,E≠0
[解析] ∵方程表示的圆与x轴切于原点,
∴这个圆过原点且圆心在y轴上,∴F=0,D=0,E≠0.
8.不论a为何实数,直线(a-3)x+2ay+6=0恒过( D )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
[解析] 由(a-3)x+2ay+6=0,得
(x+2y)a+(6-3x)=0.令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x+2y=0,,6-3x=0)),得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=2,,y=-1,))
∴直线(a-3)x+2ay+6=0恒过定点(2,-1).
从而该直线恒过第四象限.
9.已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为( B )
A.(x+1)2+(y-1)2=2B.(x-1)2+(y+1)2=2
C.(x-1)2+(y-1)2=2D.(x+1)2+(y+1)2=2
[解析] 由圆心在直线x+y=0上,不妨设为C(a,-a),∴r=eq \f(|a--a|,\r(2))=eq \f(|a--a-4|,\r(2)),
解得a=1,r=eq \r(2),
∴圆C:(x-1)2+(y+1)2=2.
10.直线l1与直线l2:3x+2y-12=0的交点在x轴上,并且l1⊥l2,则l1在y轴上的截距是( C )
A.-4B.4
C.-eq \f(8,3)D.eq \f(8,3)
[解析] ∵l1⊥l2,∴k1k2=-1.
∴k1=-eq \f(1,k2)=-eq \f(1,-\f(3,2))=eq \f(2,3).
∴设l1方程为y=eq \f(2,3)x+b,l2与x轴交点为(4,0)代入l1得b=-eq \f(8,3).
11.过点P(4,2)作圆x2+y2=4的两条切线,切点分别为A,B,O为坐标原点,则△OAB的外接圆方程是( A )
A.(x-2)2+(y-1)2=5B.(x-4)2+(y-2)2=20
C.(x+2)2+(y+1)2=5D.(x+4)2+(y+2)2=20
[解析] 由条件O,A,B,P四点共圆,从而OP中点(2,1)为所求圆的圆心,半径r=eq \f(1,2)|OP|=eq \r(5),故所求圆方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
12.使得方程eq \r(16-x2)-x-m=0有实数解,则实数m的取值范围是( B )
A.-4eq \r(2)≤m≤4eq \r(2)B.-4≤m≤4eq \r(2)
C.-4≤m≤4D.4≤m≤4eq \r(2)
[解析] 设f(x)=eq \r(16-x2),g(x)=x+m,在同一坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图形,如图所示.则m是直线y=x+m在y轴上的截距.由图可知-4≤m≤4eq \r(2).第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上)
13.过点(3,1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4的弦,其中最短弦的长为__2eq \r(2)__.
[解析] 本题考查了直线与圆的位置关系、弦长最值问题、转化与化归思想.
点(3,1)在圆内,要使弦长最短,需圆心C(2,2)与点N(3,1)所在直线与弦垂直,此时|CN|=eq \r(2),则弦长为2eq \r(4-2)=2eq \r(2).
14.若直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点,且∠AOB=120°(O为坐标原点),则r=__2__.
[解析] 直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)交于A、B两点,∠AOB=120°,则△AOB为顶角为120°的等腰三角形,顶点(圆心)到直线3x-4y+5=0的距离为eq \f(1,2)r,代入点到直线距离公式,可构造关于r的方程,解方程可得答案.如图,直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)交于A、B两点,O为坐标原点,且∠AOB=120°,则圆心(0,0)到直线3x-4y+5=0的距离为eq \f(1,2)r,
即eq \f(5,\r(32+42))=eq \f(1,2)r,∴r=2.故答案为2.
15.过点A(0,1)与B(4,0)的直线l1与过点(4,1),(3,k+1)的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆,则实数k为__-4__.
[解析] 当围成四边形内接于一个圆时,l1⊥l2,
∴k1·k2=-1,而k1=-eq \f(1,4),∴k2=4.解得k=-4.
16.(2019·浙江卷,12)已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A(-2,-1),则m=__-2__,r=__eq \r(5)__.
[解析] 根据题意画出图形,可知
A(-2,-1),C(0,m),B(0,3),
则AB=eq \r(-2-02+-1-32)=2eq \r(5),
AC=eq \r(-2-02+-1-m2)=eq \r(4+m+12),
BC=|m-3|.
∵直线2x-y+3=0与圆C相切于点A,
∴∠BAC=90°,∴AB2+AC2=BC2.
即20+4+(m+1)2=(m-3)2,
解得m=-2.
因此r=AC=eq \r(4+-2+12)=eq \r(5).
三、解答题(本大题共6个小题,满分70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知直线l经过直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0的交点P,且垂直于直线x-2y-1=0.
求:(1)直线l的方程;
(2)直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S.
[解析] (1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x+4y-2=0,,2x+y+2=0,))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=-2,,y=2.))则点P的坐标是(-2,2),由于所求直线l与x-2y-1=0垂直,可设直线l的方程为2x+y+C=0.
把点P的坐标代入得2×(-2)+2+C=0,即C=2.故所求直线l的方程为2x+y+2=0.
(2)由直线l的方程知它在x轴,y轴上的截距分别是-1,-2,所以直线l与两坐标轴围成三角形的面积S=eq \f(1,2)×1×2=1.
18.(本小题满分12分)过点A(4,-3)作圆C:(x-3)2+(y-1)2=1的切线,求此切线方程.
[解析] ∵(4-3)2+(-3-1)2=17>1,
∴点A在圆外.
(1)若所求直线的斜率存在,设切线斜率为k,则切线方程为y+3=k(x-4).因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1,所以eq \f(|3k-1-3-4k|,\r(k2+1))=1,解得k=-eq \f(15,8).
所以切线方程为y+3=-eq \f(15,8)(x-4),即15x+8y-36=0.
(2)若切线斜率不存在,圆心C(3,1)到直线x=4的距离也为1,这时直线与圆也相切,所以另一条切线方程是x=4.
综上,所求切线方程为15x+8y-36=0或x=4.
19.(本小题满分12分)如下图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=a,E是PC的中点,AC与BD交于点G.
(1)试建立适当的空间直角坐标系,求P,A,E,G的坐标;
(2)求|EG|.
[解析] (1)以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DP为z轴建立空间直角坐标系,如图,
则A(a,0,0),P(0,0,a),C(0,a,0).
因为E是PC的中点,
所以E点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(a,2),\f(a,2))).
因为在正方形ABCD中,G是AC的中点,
所以G点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2),\f(a,2),0)).
(2)|EG|=eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)-0))2+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)-\f(a,2)))2+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0-\f(a,2)))2)=eq \f(\r(2),2)a.
20.(本小题满分12分)直线y=-eq \f(\r(3),3)x+1和x轴,y轴分别交于点A,B,以线段AB为边在第一象限内作等边△ABC,如果在第一象限内有一点P(m,eq \f(1,2))使得△ABP和△ABC的面积相等,求m的值.
[解析] 如图所示,
∵直线y=-eq \f(\r(3),3)x+1和x轴,y轴分别交于点A,B,∴A(eq \r(3),0),B(0,1),
∴|AB|=2.
又∵△ABP和△ABC的面积相等,
∴CP∥AB,故可设CP的方程为:y=-eq \f(\r(3),3)x+c(c>1).
依题意由S△ABP=S△ABC得eq \f(|c-1|,\r(1+\f(1,3)))=eq \r(3),∴c=3,
∴直线CP的方程为y=-eq \f(\r(3),3)x+3,
又点P(m,eq \f(1,2))在直线y=-eq \f(\r(3),3)x+3上,
所以eq \f(1,2)=-eq \f(\r(3),3)m+3,解得m=eq \f(5\r(3),2).
所以m的值为eq \f(5\r(3),2).
21.(本小题满分12分)过点A(0,1),B(4,m)且与x轴相切的圆有且只有一个,求实数m的值和这个圆的方程.
[解析] 由题意,设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=b2,
∵点A(0,1),B(4,m)在圆上,
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2b=1+a2,①,4-a2+m2-2bm=0.②))
将①代入②并整理得:
(1-m)a2-8a+16+m2-m=0.③
∵满足条件的圆有且只有1个,
∴方程③有且只有1个根,
∴m=1或Δ=64-4(1-m)(16+m2-m)=0,
即m=1或m(m2-2m+17)=0.∴m=1或m=0.
当m=1时,所求圆的方程为(x-2)2+(y-eq \f(5,2))2=eq \f(25,4);
当m=0时,所求圆的方程为(x-4)2+(y-eq \f(17,2))2=eq \f(289,4).
22.(本小题满分12分)已知圆心为C的圆经过点A(-1,1)和B(-2,-2),且圆心在直线L:x+y-1=0上,
(1)求圆心为C的圆的标准方程;
(2)设点P在圆C上,点Q在直线x-y+5=0上,求|PQ|的最小值;
(3)若直线kx-y+5=0被圆C所截得的弦长为8,求k的值.
[解析] (1)AB中点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(3,2),-\f(1,2))),kAB=3,
则AB中垂线l的方程为y+eq \f(1,2)=-eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(3,2))),
即y=-eq \f(1,3)x-1,
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y=-\f(1,3)x-1,,x+y-1=0,))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=3,,y=-2.))
∴l与L的交点即为圆心C(3,-2),半径r=|AC|=5,
∴圆C的标准方程为:(x-3)2+(y+2)2=25.
(2)∵圆心C到直线x-y+5=0的距离为
d=eq \f(|3+2+5|,\r(2))=5eq \r(2)>r,
∴直线与圆C相离,则|PQ|的最小值为d-r=5eq \r(2)-5.
(3)由条件可知:圆心C到直线的距离为
d=eq \r(52-42)=3.
根据点到直线的距离公式得:eq \f(|3k+2+5|,\r(k2+1))=3,
解得:k=-eq \f(20,21).
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