高中数学北师大版必修2第一章 立体几何初步综合与测试同步训练题

这是一份高中数学北师大版必修2第一章 立体几何初步综合与测试同步训练题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 若P是平面α外一点，则下列结论正确的是( D )
A．过P只能作一条直线与平面α相交
B．过P可作无数条直线与平面α垂直
C．过P只能作一条直线与平面α平行
D．过P可作无数条直线与平面α平行
[解析] 过P点平行于α的平面内任一直线都与平面α平行．
2．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是( C )
A．异面 B．相交
C．平行D．不能确定
[解析] 如图所示，设α∩β＝l，a∥α，a∥β，过直线a作与α，β都相交的平面γ．
记α∩γ＝b，β∩γ＝c，
则a∥b，且a∥c，
所以b∥c，b∥β．
又bα，α∩β＝l，
所以b∥l，a∥l．
3．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列结论中正确的是( B )
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β
C．若l⊥α，l∥β，则α∥β
D．若l⊥β，l∥α，则l⊥β
[解析] 本题考查了空间线面关系．
若α∩β＝m，l∥m，l⃘α，l⃘β，则A错．
垂直于同一直线的两平面平行，B正确．
当l⊥α，l∥β时α⊥β，C错．
若α⊥β，l∥α，则l与β关系不确定，D错．
4．两个半径为1的小铁球，熔化后铸成一个大球，这个大球的半径为( B )
A．2 B．eq \r(3,2)
C．eq \r(2) D．eq \f(1,2)eq \r(3,4)
[解析] 熔化后铸成的大球的体积等于两个小铁球的体积之和．设大球的半径为R，则eq \f(4,3)πR3＝2×eq \f(4,3)π×13，所以R＝eq \r(3,2).故选B．
5．某三棱锥的左视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是( D )
(锥体体积公式：V＝eq \f(1,3)Sh，其中S为底面面积，h为高)
A．3B．2
C．eq \r(3)D．1
[解析] 本题考查了三视图及体积计算公式等．由图知平面PAB⊥平面ABC，PD⊥AB，PD⊥平面ABC，底面是边长为2的正三角形，∴V＝eq \f(1,3)Sh＝eq \f(1,3)×eq \r(3)×eq \r(3)＝1.由三视图找出垂直关系是关键．
6．在梯形ABCD中，∠ABC＝eq \f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( C )
A．eq \f(2π,3)B．eq \f(4π,3)
C．eq \f(5π,3)D．2π
[解析] 梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周所形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1，高为2的圆柱挖去一个底面半径为1，高为1的圆锥所得的组合体；所以该组合体的体积为V＝V圆柱－V圆锥＝π×12×2－eq \f(1,3)π×12×1＝2π－eq \f(π,3)＝eq \f(5π,3).故选C．
7．平面α与平面β平行的条件可以是( D )
A．α内有无穷多条直线与β平行
B．直线a∥α，a∥β
C．直线aα，直线bβ，且a∥β，b∥α
D．α内的任何直线都与β平行
[解析] 选项A有可能平行，也有可能相交；选项B、C，平面α与平面β可能相交；选项D正确．
8．如图，BCDE是一个正方形，AB⊥平面BCDE，则图中(侧面，底面)互相垂直的平面共有( B )
A．4组B．5组
C．6组D．7组
[解析] 与平面BCDE垂直的平面有2个，与平面ABC垂直的平面有2个，(含平面ABE，不含平面BCDE)．与平面ABE垂直的平面有2个(含平面ABC，不含平面BCDE)，∴2＋2＋2－1＝5．
9．已知一扇形的圆心角为60°，面积为6π，将它围成一个圆锥，则此圆锥的表面积是( B )
A．eq \f(13,2)πB．7π
C．eq \f(15,2)πD．8π
[解析] 扇形的半径为eq \r(\f(6π,\f(60°,360°)·π))＝6，扇形的弧长为eq \f(60°,360°)·2π·6＝2π，故圆锥的底面半径为1，则底面积为π·12＝π，从而圆锥的表面积为 6π＋π＝7π．
10．(2017·北京理，7)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( B )
A．3eq \r(2)B．2eq \r(3)
C．2eq \r(2)D．2
[解析] 在正方体中还原该四棱锥，如图所示，
可知SD为该四棱锥的最长棱．
由三视图可知正方体的棱长为2，
故SD＝eq \r(22＋22＋22)＝2eq \r(3)．
故选B．
11. 体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积为( A )
A．54B．54π
C．58D．58π
[解析] 设原圆锥的体积是x，则eq \f(x－52,x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))3，∴x＝54．
12．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝eq \f(1,2)，则下列结论中错误的是( D )
A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCD
C．三棱锥A－BEF的体积为定值D．△AEF的面积与△BEF的面积相等
[解析] 本题主要考查线线垂直、线面平行、三棱锥的体积等知识，考查学生的推理论证能力．
对于选项A，由正方体ABCD－A1B1C1D1得B1B⊥面AC，∴AC⊥B1B，
又∵AC⊥BD，
∴AC⊥面BDD1B1，BE面BDD1B1，
∴AC⊥BE．
对于选项B，由正方体ABCD－A1B1C1D1得B1D1∥BD，
B1D1⃘面ABCD，BD面ABCD，
∴B1D1∥面ABCD，∴EF∥面ABCD．
对于选项C，VA－BEF＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,2)×1×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(2),24)．
∴三棱锥A－BEF的体积为定值．
对于选项D，因线段B1D1上两个动点E，F，且EF＝eq \f(1,2)，
在E，F移动时，A到EF的距离与B到EF的距离不相等
∴△AEF的面积与△BEF的面积不相等．
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为__2__m3．
[解析] 根据三视图可知该四棱锥的底面是底长为2m、高为1m的平行四边形，四棱锥的高为3m，故其体积为eq \f(1,3)×2×1×3＝2(m3)．
14．若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为__eq \f(\r(3)π,3)__．
[解析] 设圆锥的母线为l，底面半径为r，高为h，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(πrl＝2π，,πr2＝π，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(l＝2，,r＝1.))所以h＝eq \r(l2－r2)＝eq \r(3).于是，圆锥的体积为V＝eq \f(1,3)πr2h＝eq \f(\r(3)π,3)．
15．(2019·全国卷Ⅲ文，16)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD－A1B1C1D1挖去四棱锥O－EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为__118.8__g．
[解析] 由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，
对角线长分别为6 cm和4 cm，
故V挖去的四棱锥＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×4×6×3＝12(cm3)．
又V长方体＝6×6×4＝144(cm3)，
所以模型的体积为V长方体－V挖去的四棱锥＝144－12＝132(cm3)，
所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．
16．若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，则__②④⑤__(写出所有正确结论的编号)．
①四面体ABCD每组对棱相互垂直；
②四面体ABCD每个面的面积相等；
③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°；
④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分；
⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长．
[解析] 本题考查了空间几何体中点线面的位置关系．
依题意，该四面体可看作是一个长方体截掉四个顶角后剩余部分，所以可以确定②④⑤正确．对于①，只有四面体ABCD是正四面体时才成立．对于③，取特例正四面体知夹角和为60°＋60°＋60°＝180°知③错．
三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)如图是一个几何体的主视图和俯视图．
(1)试判断这个几何体是什么几何体；
(2)请画出它的左视图，并求该左视图的面积．
[解析] (1)由题图中的主视图和俯视图知该几何体是正六棱锥．
(2)该几何体的左视图如图所示．
其中两腰为斜高，底边长为eq \r(3)a，三角形的高即为正六棱锥的高，且长为eq \r(3)a．
所以该左视图的面积为eq \f(1,2)eq \r(3)a·eq \r(3)a＝eq \f(3,2)a2．
18．(本小题满分12分)某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均为正方形，侧面为全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1－ABCD，其上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD－A2B2C2D2.现需对该零部件表面进行防腐处理，已知AB＝10，A1B1＝20，AA2＝30，AA1＝13(单位：cm)，若加工处理费为0.2元/cm2，则需支付加工处理费多少元？
[解析] ∵四棱柱ABCD－A2B2C2D2的底面是正方形，侧面是全等的矩形，
∴该零部件上部的表面积S1＝S四棱柱上底面＋S四棱柱侧面＝A2Beq \\al(2,2)＋4AB·AA2＝102＋4×10×30＝1300(cm2)，
又四棱台A1B1C1D1－ABCD的上下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形，
∴该零部件下部的表面积S2＝S四棱台下底面＋S四棱台侧面＝A1Beq \\al(2,1)＋4×eq \f(1,2)×(AB＋A1B1)×h等腰梯形的高＝202＋4×eq \f(1,2)×(10＋20)×eq \r(132－[\f(1,2)×20－10]2)＝1120(cm2)，则该实心零部件的表面积S＝S1＋S2＝1300＋1120＝2420(cm2)，0.2×2420＝484(元)，故需支付加工处理费484元．
19．(本小题满分12分)(2019·江苏卷，16)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC．
求证：(1)A1B1∥平面DEC1；
(2)BE⊥C1E．
[解析] (1)证明：因为D，E分别为BC，AC的中点，
所以ED∥AB．
在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，
所以A1B1∥ED．
又因为DE⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，
所以A1B1∥平面DEC．
(2)证明：因为AB＝BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC．
因为三棱柱ABC－A1B1C1是直棱柱，所以C1C⊥平面ABC．
又因为BE⊂平面ABC，所以C1C⊥BE．
因为C1C⊂平面A1ACC1，AC⊂平面A1ACC1，C1C∩AC＝C，
所以BE⊥平面A1ACC1．
因为C1E⊂平面A1ACC1，所以BE⊥C1E．
20．(本小题满分12分)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．
(1)证明：AC⊥HD′；
(2)若AB＝5，AC＝6，AE＝eq \f(5,4)，OD′＝2eq \r(2)，求五棱锥D′－ABCFE的体积．
[解析] (1)由已知得AC⊥BD，AD＝CD．
又由 AE＝CF得eq \f(AE,AD)＝eq \f(CF,CD)，故AC∥EF．
由此得EF⊥HD，EF⊥HD′，所以AC⊥HD′．
(2)由EF∥AC得eq \f(OH,DO)＝eq \f(AE,AD)＝eq \f(1,4)．
由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝eq \r(AB2－AO2)＝4．
所以OH＝1，D′H＝DH＝3．
于是OD′2＋OH2＝(2eq \r(2))2＋12＝9＝D′H2，故O′D⊥OH．
由(1)知，AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H，
所以AC⊥平面BHD′，于是AC⊥OD′．
又由OD′⊥OH，AC∩OH＝O，所以OD′⊥平面ABC．
又由eq \f(EF,AC)＝eq \f(DH,DO)得EF＝eq \f(9,2)．
五边形ABCFE的面积S＝eq \f(1,2)×6×8－eq \f(1,2)×eq \f(9,2)×3＝eq \f(69,4)．
所以五棱锥D′－ABCFE的体积V＝eq \f(1,3)×eq \f(69,4)×2eq \r(2)＝eq \f(23\r(2),2)．
21．(本小题满分12分)如图所示，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3．
(1)证明：BC∥平面PDA；
(2)证明：BC⊥PD；
(3)求点C到平面PDA的距离．
[解析] (1)因为四边形ABCD是长方形，所以BC∥AD，因为BC⃘平面PDA，AD平面PDA，所以BC∥平面PDA．
(2)因为四边形ABCD是长方形，所以BC⊥CD，
因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，BC平面ABCD，所以BC⊥平面PDC，
因为PD平面PDC，所以BC⊥PD．
(3)取CD的中点E，连接AE和PE，
因为PD＝PC，所以PE⊥CD，
在Rt△PED中，PE＝eq \r(PD2－DE2)＝eq \r(42－32)＝eq \r(7)，
因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，PE平面PDC，所以PE⊥平面ABCD，由(2)知：BC⊥平面PDC，由(1)知：BC∥AD，
所以AD⊥平面PDC，
因为PD平面PDC，所以AD⊥PD，
设点C到平面PDA的距离为h，因为V三棱锥C－PDA＝V三棱锥P－ACD，所以eq \f(1,3)S△PDA·h＝eq \f(1,3)S△ACD·PE，即h＝eq \f(S△ACD·PE,S△PDA)＝eq \f(\f(1,2)×3×6×\r(7),\f(1,2)×3×4)＝eq \f(3\r(7),2)，
所以点C到平面PDA的距离是eq \f(3\r(7),2)．
22．(本小题满分12分)正三棱锥高为1，底面边长为2eq \r(6)，内有一球与四个面都相切．
(1)求棱锥的全面积；
(2)求球的半径及表面积．
[解析] (1)设底面中心为O，D为AB中点，则VD为斜高，OD＝eq \f(\r(3),6)AB＝eq \r(2)，在Rt△VOD中，VO＝1，VD＝eq \r(1＋2)＝eq \r(3)．
∴S全＝eq \f(\r(3),4)(2eq \r(6))2＋3×2eq \r(6)×eq \f(1,2)×eq \r(3)＝6eq \r(3)＋9eq \r(2)．
(2)解法一：设球的半径为R，由△VO1E∽△VDO有eq \f(O1E,OD)＝eq \f(VO1,VD)⇒eq \f(R,\r(2))＝eq \f(1－R,\r(3))⇒R＝eq \r(6)－2，
故S球＝4πR2＝4π(eq \r(6)－2)2＝8(5－2eq \r(6))π．
解法二：VV－ABC＝eq \f(1,3)S△ABC·h＝eq \f(1,3)(S△ABC＋S△VAB＋S△VCB＋S△VAC)R，而S△ABC＝eq \f(\r(3),4)·(2eq \r(6))2＝6eq \r(3)．
S△VAB＋S△VCB＋S△VAC＝3S△VAB＝3·eq \f(1,2)·2eq \r(6)·eq \r(3)＝9eq \r(2).故6eq \r(3)·1＝(6eq \r(3)＋9eq \r(2))R⇒R＝eq \r(6)－2，
故S球＝4πR2＝4π(eq \r(6)－2)2＝8(5－2eq \r(6))π．