专题强化练15　独立性检验与统计、概率的综合应用-2022版数学选择性必修第一册 北师大版（2019） 同步练习 （Word含解析）

专题强化练15　独立性检验与统计、概率的综合应用

解答题

1.(2020贵州遵义高三月考,)为激活国内消费市场,挽回疫情造成的损失,国家出台了一系列的促进国内消费的优惠政策,某机构从某一电商的线上交易大数据中来跟踪调查消费者的购买力,界定3至8月份购买商品在5000元及以上人群属“购买力强人群”,购买商品在5000元以下人群属“购买力弱人群”.现从电商平台消费人群中随机选出200人,发现这200人中购买力强的人数占80%,并将这200人按年龄分组,记第1组[15,25),第2组[25,35),第3组[35,45),第4组[45,55),第5组[55,65),得到的频率分布直方图如图所示.

(1)求出频率分布直方图中a的值和这200人的平均年龄;

(2)从第2,3,5组中用分层随机抽样的方法抽取12人,再从这12人中随机抽取3人进行电话回访,求这3人恰好属于不同组别的概率;

(3)把年龄在第1,2,3组的人称为青少年,年龄在第4,5组的人称为中老年,若选出的200人中“购买力弱人群”的中老年人有20人,试问:购买力强弱是否与年龄有关?

2.(2020河南安阳高三二模,)截至2019年,由新华社《瞭望东方周刊》与瞭望智库共同主办的“中国最具幸福感城市”调查推选活动已连续成功举办12年,累计推选出60余座幸福城市,全国9亿多人次参与调查,使“城市幸福感”概念深入人心.为了便于对某城市的“城市幸福感”指数进行研究,现从该市抽取若干人进行调查,绘制成如下表所示不完整的2×2列联表(单位:人).

(1)将列联表补充完整,试问:“城市幸福感”指数与性别是否有关?

(2)若感觉“非常幸福”记2分,“比较幸福”记1分,从上表男性中随机抽取3人,记3人得分之和为X,求X的分布列,并根据分布列求X≤4的概率.

3.(2020湖北黄冈高二检测,)某企业有两个分厂生产某种零件,按规定内径尺寸(单位:mm)的值落在[29.94,30.06)的零件为优质品,从两个分厂生产的零件中各抽出500件,量其内径尺寸,结果如下:

甲厂:

乙厂:

(1)试分别估计两个分厂生产的零件为优质品的概率;

(2)由以上统计数据填下面的2×2列联表,试问:两个分厂生产的零件的质量是否有差异?

4.(2020福建泉州高三质量检测,)冬天的北方室外温度极低,若轻薄保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上,可爱的医务工作者行动会更方便.石墨烯发热膜的制作:从石墨中分离出石墨烯,制成石墨烯发热膜.从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法,使石墨升华后附着在材料上再结晶.现在有A材料、B材料可供选择,研究人员对附着在A材料、B材料上的石墨各做了50次再结晶试验,得到如下等高堆积条形图.

(1)根据等高堆积条形图,填写如下列联表,试问:试验结果与材料是否有关?

(2)研究人员得到石墨烯后,再制作石墨烯发热膜有三个环节:①透明基底及UV胶层;②石墨烯层;③表面封装层.第一、二环节生产合格的概率均为,第三环节生产合格的概率为,且各生产环节相互独立.已知生产1吨石墨烯发热膜的固定成本为1万元,若生产不合格还需进行修复,第三环节的修复费用为3000元,其余环节修复费用均为1000元.试问:如何定价,才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利可达1万元以上的目标?

答案全解全析

解答题

1.解析　(1)由题意得(2×0.01+0.015+0.03+a)×10=1,所以a=0.035,

200人的平均年龄为20×0.1+30×0.15+40×0.35+50×0.3+60×0.1=41.5(岁).

(2)依题意,按照分层随机抽样从第2组中抽取3人,第3组中抽取7人,第5组中抽取2人,再从这12人中抽取3人,一共有种情况,其中这3人恰好来自不同组别有种情况,

故这3人恰好属于不同组别的概率P==.

(3)由题意可得2×2列联表为

故χ2==≈2.083.

因为2.083<2.706,所以认为购买力强弱与年龄无关.

2.解析　(1)补充完整的表格如下所示:

计算可得χ2==0.6.

因为0.6<2.706,所以认为“城市幸福感”指数与性别无关.

(2)由题可知,X的可能取值有3,4,5,6,

P(X=3)==,P(X=4)==,P(X=5)==,P(X=6)==,

所以X的分布列为

所以P(X≤4)=P(X=3)+P(X=4)=+=.

3.解析　(1)甲厂抽查的产品中有360件优质品,从而甲厂生产的零件为优质品的概率约为×100%=72%;

乙厂抽查的产品中有320件优质品,从而乙厂生产的零件为优质品的概率约为×100%=64%.

(2)2×2列联表如下:

由表中数据得χ2=≈7.35.

因为7.35>6.635,所以有99%的把握认为两个分厂生产的零件的质量有差异.

4.解析　(1)根据题中所给等高堆积条形图,得列联表如下:

计算可得χ2==12.

因为12>6.635,所以有99%的把握认为试验结果与材料有关.

(2)设生产1吨石墨烯发热膜所需的修复费用为X万元.

易知X的可能取值为0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5.

P(X=0)=×=,

P(X=0.1)=×=,

P(X=0.2)=×=,

P(X=0.3)=×=,

P(X=0.4)=×=,

P(X=0.5)=×=,

则X的分布列为

修复费用X的期望EX=0×+0.1×+0.2×+0.3×+0.4×+0.5×=0.2.

所以石墨烯发热膜的定价至少为0.2+1+1=2.2万元/吨,才能实现预期的利润目标.