2023届高考一轮复习讲义（理科）第五章　平面向量 第3讲　高效演练分层突破学案

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1．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，3)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(3，t)，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝1，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
解析：选C.因为eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，t－3)，所以|eq \(BC,\s\up6(→))|＝eq \r(1＋（t－3）2)＝1，解得t＝3，所以eq \(BC,\s\up6(→))＝(1，0)，所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝2×1＋3×0＝2，故选C.
2．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A.eq \f(π,6) B．eq \f(π,3)
C.eq \f(2π,3) D．eq \f(5π,6)
解析：选B.设a与b的夹角为α，
因为(a－b)⊥b，
所以(a－b)·b＝0，
所以a·b＝b2，
所以|a|·|b|cs α＝|b|2，又|a|＝2|b|，
所以cs α＝eq \f(1,2)，因为α∈(0，π)，所以α＝eq \f(π,3).故选B.
3．(2020·河北衡水模拟三)已知向量a＝(1，k)，b＝(2，4)，则“k＝－eq \f(1,2)”是“|a＋b|2＝a2＋b2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C.由|a＋b|2＝a2＋b2，得a2＋2a·b＋b2＝a2＋b2，得a·b＝0，得(1，k)·(2，4)＝0，解得k＝－eq \f(1,2)，所以“k＝－eq \f(1,2)”是“|a＋b|2＝a2＋b2”的充要条件．故选 C.
4.(2020·河南安阳二模)如图所示，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝AD＝4，CD＝8.若eq \(CE,\s\up6(→))＝－7eq \(DE,\s\up6(→))，3eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(FC,\s\up6(→))，则eq \(AF,\s\up6(→))·eq \(BE,\s\up6(→))＝( )
A．11 B．10
C．－10 D．－11
解析：选D.
以A为坐标原点，建立直角坐标系如图所示．
则A(0，0)，B(4，0)，E(1，4)，F(5，1)，所以eq \(AF,\s\up6(→))＝(5，1)，eq \(BE,\s\up6(→))＝(－3，4)，则eq \(AF,\s\up6(→))·eq \(BE,\s\up6(→))＝－15＋4＝－11.故选D.
5．已知向量|eq \(OA,\s\up6(→))|＝3，|eq \(OB,\s\up6(→))|＝2，eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))，若eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))的夹角为60°，且eq \(OC,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，则实数eq \f(m,n)的值为( )
A.eq \f(1,6) B．eq \f(1,4)
C．6 D．4
解析：选A.因为向量|eq \(OA,\s\up6(→))|＝3，|eq \(OB,\s\up6(→))|＝2，eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))夹角为60°，所以eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝3×2×cs 60°＝3，
所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))·(meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→)))
＝(m－n)eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))－m|eq \(OA,\s\up6(→))|2＋n|eq \(OB,\s\up6(→))|2
＝3(m－n)－9m＋4n＝－6m＋n＝0，所以eq \f(m,n)＝eq \f(1,6)，故选A.
6．(2020·河南郑州一模)已知e1，e2为单位向量且夹角为eq \f(2π,3)，设a＝3e1＋2e2，b＝3e2，则a在b方向上的投影为________．
解析：根据题意得，a·b＝9e1·e2＋6eeq \\al(2,2)＝9×1×1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋6＝－eq \f(9,2)＋6＝eq \f(3,2)，又因为|b|＝3，所以a在b方向上的投影为eq \f(a·b,|b|)＝eq \f(\f(3,2),3)＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
7．(2020·江西临川九校3月联考)已知平面向量a＝(2m－1，2)，b＝(－2，3m－2)，且a⊥b，则|2a－3b|＝________．
解析：因为a⊥b，所以a·b＝－2(2m－1)＋2(3m－2)＝0，解得m＝1，
所以a＝(1，2)，b＝(－2，1)，所以2a－3b＝(2，4)－(－6，3)＝(8，1)，
所以|2a－3b|＝eq \r(64＋1)＝eq \r(65).
答案：eq \r(65)
8．(2020·石家庄质量检测(一))已知eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))的夹角为90°，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝2，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝1，eq \(AM,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，且eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，则eq \f(λ,μ)的值为________．
解析：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(0，2)，C(1，0)，所以eq \(AB,\s\up6(→))＝(0，2)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(1，0)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(1，－2)．设M(x，y)，则eq \(AM,\s\up6(→))＝(x，y)，所以eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝(x，y)·(1，－2)＝x－2y＝0，所以x＝2y，又eq \(AM,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，即(x，y)＝λ(0，2)＋μ(1，0)＝(μ，2λ)，
所以x＝μ，y＝2λ，
所以eq \f(λ,μ)＝eq \f(\f(1,2)y,x)＝eq \f(1,4).
答案：eq \f(1,4)
9．已知向量m＝(sin α－2，－cs α)，n＝(－sin α，cs α)，其中α∈R.
(1)若m⊥n，求角α；
(2)若|m－n|＝eq \r(2)，求cs 2α的值．
解：(1)若m⊥n，则m·n＝0，
即为－sin α(sin α－2)－cs2 α＝0，
即sin α＝eq \f(1,2)，
可得α＝2kπ＋eq \f(π,6)或α＝2kπ＋eq \f(5π,6)，k∈Z.
(2)若|m－n|＝eq \r(2)，即有(m－n)2＝2，
即(2sin α－2)2＋(2cs α)2＝2，
即为4sin2α＋4－8sin α＋4cs2α＝2，
即有8－8sin α＝2，
可得sin α＝eq \f(3,4)，
即有cs 2α＝1－2sin2α＝1－2×eq \f(9,16)＝－eq \f(1,8).
10．在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)设实数t满足(eq \(AB,\s\up6(→))－teq \(OC,\s\up6(→)))·eq \(OC,\s\up6(→))＝0，求t的值．
解：(1)由题设知eq \(AB,\s\up6(→))＝(3，5)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－1，1)，则eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝(2，6)，eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝(4，4)．
所以|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|＝2eq \r(10)，|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|＝4eq \r(2).
故所求的两条对角线的长分别为4eq \r(2)，2eq \r(10).
(2)法一：由题设知：eq \(OC,\s\up6(→))＝(－2，－1)，eq \(AB,\s\up6(→))－teq \(OC,\s\up6(→))＝(3＋2t，5＋t)．
由(eq \(AB,\s\up6(→))－teq \(OC,\s\up6(→)))·eq \(OC,\s\up6(→))＝0，得：
(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0，
从而5t＝－11，
所以t＝－eq \f(11,5).
法二：eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝teq \(OC,\s\up6(→))2，eq \(AB,\s\up6(→))＝(3，5)，
t＝eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(OC,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\(OC,\s\up6(→))|2))＝－eq \f(11,5).
[综合题组练]
1．(2020·安徽滁州一模)△ABC中，AB＝5，AC＝10，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝25，点P是△ABC内(包括边界)的一动点，且eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(3,5)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(2,5)λeq \(AC,\s\up6(→))(λ∈R)，则|eq \(AP,\s\up6(→))|的最大值是( )
A.eq \f(3\r(3),2) B．eq \r(37)
C.eq \r(39) D．eq \r(41)
解析：选B.△ABC中，AB＝5，AC＝10，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝25，所以5×10×cs A＝25，cs A＝eq \f(1,2)，
所以A＝60°，BC＝eq \r(52＋102－2×5×10×\f(1,2))＝5eq \r(3)，因为AB2＋BC2＝AC2，所以B＝90°.以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的坐标系，
则A(0，0)，B(5，0)，C(5，5eq \r(3))，设点P为(x，y)，0≤x≤5，0≤y≤5eq \r(3)，
因为eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(3,5)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(2,5)λeq \(AC,\s\up6(→))，
所以(x，y)＝eq \f(3,5)(5，0)－eq \f(2,5)λ(5，5eq \r(3))＝(3－2λ，－2eq \r(3)λ)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3－2λ，,y＝－2\r(3)λ，))所以y＝eq \r(3)(x－3)，直线BC的方程为x＝5，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\r(3)（x－3），,x＝5，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝2\r(3).))此时|eq \(AP,\s\up6(→))|最大，为eq \r(52＋（2\r(3)）2)＝eq \r(37).故选B.
2.(2020·广东广雅中学模拟)如图所示，等边△ABC的边长为2，AM∥BC，且AM＝6.若N为线段CM的中点，则eq \(AN,\s\up6(→))·eq \(BM,\s\up6(→))＝( )
A．24 B．23
C．22 D．18
解析：选B.法一：如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，过点A作垂直于AB的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(1，eq \r(3))，因为△ABC为等边三角形，且AM∥BC，所以∠MAB＝120°，所以M(－3，3eq \r(3))．因为N是CM的中点，所以N(－1，2eq \r(3))，所以eq \(AN,\s\up6(→))＝(－1，2eq \r(3))，eq \(BM,\s\up6(→))＝(－5，3eq \r(3))，所以eq \(AN,\s\up6(→))·eq \(BM,\s\up6(→))＝23.
法二：依题意知|eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))|＝2，eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))的夹角为60°，
且eq \(AM,\s\up6(→))＝3eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AM,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(3eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(3,2)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(3,2)eq \(AB,\s\up6(→)).
eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \(AM,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝3eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝3(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))－eq \(AB,\s\up6(→))＝3eq \(AC,\s\up6(→))－4eq \(AB,\s\up6(→)).则eq \(AN,\s\up6(→))·eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\(AC,\s\up6(→))－\f(3,2)\(AB,\s\up6(→))))·(3eq \(AC,\s\up6(→))－4eq \(AB,\s\up6(→)))＝6eq \(AC2,\s\up6(→))＋6eq \(AB2,\s\up6(→))－8eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(9,2)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝23.
3.如图，AB是半圆O的直径，P是eq \(AB,\s\up8(︵))上的点，M，N是直径AB上关于O对称的两点，且AB＝6，MN＝4，则eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))＝________．
解析：连接AP，BP，则eq \(PM,\s\up6(→))＝eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(AM,\s\up6(→))，eq \(PN,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(BN,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(AM,\s\up6(→))，所以eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))＝(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(AM,\s\up6(→)))·(eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(AM,\s\up6(→)))＝eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(AM,\s\up6(→))＋eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))－|eq \(AM,\s\up6(→))|2＝－eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(AM,\s\up6(→))＋eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))－|eq \(AM,\s\up6(→))|2＝eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))－|eq \(AM,\s\up6(→))|2＝1×6－1＝5.
答案：5
4．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则eq \(PA,\s\up6(→))·(eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→)))的最小值是________．
解析：如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，eq \r(3))，B(－1，0)，C(1，0)，设P(x，y)，则eq \(PA,\s\up6(→))＝(－x，eq \r(3)－y)，eq \(PB,\s\up6(→))＝(－1－x，－y)，eq \(PC,\s\up6(→))＝(1－x，－y)，所以eq \(PA,\s\up6(→))·(eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→)))＝(－x，eq \r(3)－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2(y－eq \f(\r(3),2))2－eq \f(3,2)，当x＝0，y＝eq \f(\r(3),2)时，eq \(PA,\s\up6(→))·(eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→)))取得最小值为－eq \f(3,2).
答案：－eq \f(3,2)
5．(创新型)在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝(cs B，2cs2 eq \f(C,2)－1)，n＝(c，b－2a)，且m·n＝0.
(1)求∠C的大小；
(2)若点D为边AB上一点，且满足eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(DB,\s\up6(→))，|eq \(CD,\s\up6(→))|＝eq \r(7)，c＝2eq \r(3)，求△ABC的面积．
解：(1)因为m＝(cs B，cs C)，n＝(c，b－2a)，m·n＝0，
所以ccs B＋(b－2a)cs C＝0，在△ABC中，由正弦定理得sin Ccs B＋(sin B－2sin A)cs C＝0，
sin A＝2sin Acs C，又sin A≠0，
所以cs C＝eq \f(1,2)，而C∈(0，π)，所以∠C＝eq \f(π,3).
(2)由eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(DB,\s\up6(→))知，eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))，
所以2eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))，
两边平方得4|eq \(CD,\s\up6(→))|2＝b2＋a2＋2bacs ∠ACB＝b2＋a2＋ba＝28.①
又c2＝a2＋b2－2abcs ∠ACB，
所以a2＋b2－ab＝12.②
由①②得ab＝8，
所以S△ABC＝eq \f(1,2)absin ∠ACB＝2eq \r(3).