2023届高考一轮复习讲义（文科）第五章　平面向量 第1讲　高效演练 分层突破学案

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A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2
C．e1－3e2 D．3e1－e2
解析：选C.结合图形易得，a＝－e1－4e2，b＝－2e1－e2，故a－b＝e1－3e2.
2．已知平面内一点P及△ABC，若eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))，则点P与△ABC的位置关系是( )
A．点P在线段AB上 B．点P在线段BC上
C．点P在线段AC上 D．点P在△ABC外部
解析：选C.由eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))，得eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(PA,\s\up6(→))，即eq \(PC,\s\up6(→))＝－2eq \(PA,\s\up6(→))，故点P在线段AC上．
3．(2020·唐山二模)已知O是正方形ABCD的中心．若eq \(DO,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，其中λ，μ∈R，则eq \f(λ,μ)＝( )
A．－2 B．－eq \f(1,2)
C．－eq \r(2) D．eq \r(2)
解析：选A.eq \(DO,\s\up6(→))＝eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＝AB－eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))，所以λ＝1，μ＝－eq \f(1,2)，因此eq \f(λ,μ)＝－2.
4．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且eq \(BC,\s\up6(→))＝3eq \(CD,\s\up6(→))，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若eq \(AO,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋(1－x)eq \(AC,\s\up6(→))，则x的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，0))
解析：选D.设eq \(CO,\s\up6(→))＝yeq \(BC,\s\up6(→))，因为eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CO,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋yeq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋y(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝－yeq \(AB,\s\up6(→))＋(1＋y)eq \(AC,\s\up6(→)).
因为eq \(BC,\s\up6(→))＝3eq \(CD,\s\up6(→))，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，
所以y∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))，
因为eq \(AO,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋(1－x)eq \(AC,\s\up6(→))，
所以x＝－y，所以x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，0)).
5．已知平面内四点A，B，C，D，若eq \(AD,\s\up6(→))＝2eq \(DB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(CA,\s\up6(→))＋λeq \(CB,\s\up6(→))，则λ的值为 ．
解析：依题意知点A，B，D三点共线，于是有eq \f(1,3)＋λ＝1，λ＝eq \f(2,3).
答案：eq \f(2,3)
6．若|eq \(AB,\s\up6(→))|＝8，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝5，则|eq \(BC,\s\up6(→))|的取值范围是 ．
解析：eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))，当eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))同向时，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝8－5＝3；当eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))反向时，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝8＋5＝13；当eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))不共线时，3<|eq \(BC,\s\up6(→))|<13.综上可知3≤|eq \(BC,\s\up6(→))|≤13.
答案：[3，13]
7．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且eq \(BC,\s\up6(→))＝a，eq \(CA,\s\up6(→))＝b，给出下列命题：①eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a－b；②eq \(BE,\s\up6(→))＝a＋eq \f(1,2)b；③eq \(CF,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b；④eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))＝0.
其中正确命题的个数为 ．
解析：eq \(BC,\s\up6(→))＝a，eq \(CA,\s\up6(→))＝b，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)a－b，故①错；
eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up6(→))＝a＋eq \f(1,2)b，故②正确；
eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(－a＋b)
＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b，故③正确；
所以eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))＝－b－eq \f(1,2)a＋a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)a＝0.故④正确．
所以正确命题的序号为②③④.
答案：3
8．如图，EF是等腰梯形ABCD的中位线，M，N是EF上的两个三等分点，若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，eq \(AB,\s\up6(→))＝2eq \(DC,\s\up6(→)).
(1)用a，b表示eq \(AM,\s\up6(→))；
(2)证明：A，M，C三点共线．
解：(1)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝a＋b＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)a))＝eq \f(1,2)a＋b，
又E为AD中点，
所以eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)a＋eq \f(1,2)b，
因为EF是梯形的中位线，且eq \(AB,\s\up6(→))＝2eq \(DC,\s\up6(→))，
所以eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,2)a))＝eq \f(3,4)a，
又M，N是EF的三等分点，所以eq \(EM,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)a，
所以eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \(EM,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,4)a
＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b.
(2)证明：由(1)知eq \(MF,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a，
所以eq \(MC,\s\up6(→))＝eq \(MF,\s\up6(→))＋eq \(FC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＝eq \(AM,\s\up6(→))，
又eq \(MC,\s\up6(→))与eq \(AM,\s\up6(→))有公共点M，所以A，M，C三点共线．
[综合题组练]
1．已知等边三角形ABC内接于⊙O，D为线段OA的中点，则eq \(BD,\s\up6(→))＝( )
A.eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(BC,\s\up6(→)) B.eq \f(4,3)eq \(BA,\s\up6(→))－eq \f(1,6)eq \(BC,\s\up6(→))
C.eq \f(1,6)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AE,\s\up6(→)) D．eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AE,\s\up6(→))
解析：选A.如图所示，设BC的中点为E，则eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→)))＝eq \(BA,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)·eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(BC,\s\up6(→)).故选A.
2.如图，A，B分别是射线OM，ON上的点，给出下列向量：①eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))；②eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))；③eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))；④eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,5)eq \(OB,\s\up6(→))；⑤eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up6(→))－eq \f(1,5)eq \(OB,\s\up6(→)).若这些向量均以O为起点，则终点落在阴影区域内(包括边界)的有( )
A．①② B．②④
C．①③ D．③⑤
解析：选B.在ON上取点C，使得OC＝2OB，以OA，OC为邻边作平行四边形OCDA，则eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))，其终点不在阴影区域内，排除A，C；取OA上一点E，作AE＝eq \f(1,4)OA，作EF∥OB，交AB于点F，则EF＝eq \f(1,4)OB，由于EF3．(2020·广州综合测试(一))设P是△ABC所在平面内的一点，且eq \(CP,\s\up6(→))＝2eq \(PA,\s\up6(→))，则△PAB与△PBC的面积的比值是 ．
解析：因为eq \(CP,\s\up6(→))＝2eq \(PA,\s\up6(→))，所以eq \f(|\(CP,\s\up6(→))|,\a\vs4\al(|\(PA,\s\up6(→))|))＝eq \f(2,1)，又△PAB在边PA上的高与△PBC在边PC上的高相等，所以eq \f(S△PAB,S△PBC)＝eq \f(|\(PA,\s\up6(→))|,\a\vs4\al(|\(CP,\s\up6(→))|))＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
4．(2020·江西临川一中、南昌二中5月联考)在△ABC中，eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(AP,\s\up6(→))＝2eq \(PD,\s\up6(→))，eq \(BP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，则λ＋μ＝ ．
解析：因为eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(AP,\s\up6(→))＝2eq \(PD,\s\up6(→))，所以P为△ABC的重心．
易知D为BC的中点，所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→)).
所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→)).
所以eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→)).
所以eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \(AP,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→)).
因为eq \(BP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，所以λ＝－eq \f(2,3)，μ＝eq \f(1,3)，所以λ＋μ＝－eq \f(1,3).
答案：－eq \f(1,3)