2023届高考一轮复习讲义（理科）第七章　不等式 第3讲　高效演练分层突破学案

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1．(2020·揭阳模拟)若x，y满足约束条件eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y－1≤0，,2x－y＋1≥0，,x≥0，))则z＝eq \f(x,2)＋y的最小值为( )
A．－1 B．－2
C．1 D．2
解析：选A.作出x，y满足约束条件eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y－1≤0，,2x－y＋1≥0，,x≥0))的平面区域如图所示(阴影部分)：
由图易得，目标函数z＝eq \f(x,2)＋y在点A处取最小值，为－1.故选A.
2．(2020·福建漳州一模)若实数x，y满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－y－3≥0，,x－2y＋2≤0.))则x＋y( )
A．有最小值无最大值
B．有最大值无最小值
C．既有最小值也有最大值
D．既无最小值也无最大值
解析：选A.如图中阴影部分所示即为实数x，y满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－y－3≥0，,x－2y＋2≤0))的可行域，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－y－3＝0，,x－2y＋2＝0))得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5)，\f(9,5))).
由图易得当x＝eq \f(8,5)，y＝eq \f(9,5)时，
x＋y有最小值eq \f(17,5)，没有最大值．
故选A.
3．已知变量x，y满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4x＋y－8≥0，,x＋y－5≤0，,y－1≥0，))则z＝eq \f(2x＋y＋1,x)的最小值为( )
A.eq \f(1,2) B．eq \f(5,2)
C.eq \f(3,2) D．eq \f(7,2)
解析：选B.因为z＝eq \f(2x＋y＋1,x)＝2＋eq \f(y＋1,x)，所以求z的最小值，即求动点(x，y)与定点A(0，－1)连线斜率的最小值再加2，画出不等式组所表示的可行域(图略)，可得zmin＝2＋eq \f(1＋1,4)＝eq \f(5,2).故选B.
4．不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≥0，,x＋y≤3，,y≥x＋1))表示的平面区域为Ω，直线y＝kx－1与区域Ω有公共点，则实数k的取值范围为( )
A．(0，3] B．[－1，1]
C．(－∞，3] D．[3，＋∞)
解析：选D.直线y＝kx－1过定点M(0，－1)，
由图可知，当直线y＝kx－1经过直线y＝x＋1与直线x＋y＝3的交点C(1，2)时，k最小，此时kCM＝eq \f(2－（－1）,1－0)＝3，因此k≥3，即k∈[3，＋∞)．故选D.
5．实数x，y满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≥a，,y≥x，,x＋y≤2))(a<1)，且z＝2x＋y的最大值是最小值的4倍，则a的值是( )
A.eq \f(2,11) B．eq \f(1,4)
C.eq \f(1,2) D．eq \f(3,4)
解析：选B.在直角坐标系中作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示，当目标函数z＝2x＋y经过可行域中的点B(1，1)时有最大值3，当目标函数z＝2x＋y经过可行域中的点A(a，a)时有最小值3a，由3＝4×3a，得a＝eq \f(1,4).
6．(一题多解)(2020·开封模拟)已知实数x，y满足约束条件eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＋2≥0，,x＋2y＋2≥0，,x≤1，))则z＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x－2y)的最大值是________．
解析：法一：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设u＝x－2y，由图知，当u＝x－2y经过点A(1，3)时取得最小值，即umin＝1－2×3＝－5，此时z＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x－2y)取得最大值，即zmax＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(－5)＝32.
法二：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易知z＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x－2y)的最大值在区域的顶点处取得，只需求出顶点A，B，C的坐标分别代入z＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x－2y)，即可求得最大值．联立得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,x－y＋2＝0，))解得A(1，3)，代入可得z＝32；联立得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,x＋2y＋2＝0，))解得Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(3,2)))，代入可得z＝eq \f(1,16)；联立得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＋2＝0，,x＋2y＋2＝0，))解得C(－2，0)，代入可得z＝4.通过比较可知，在点A(1，3)处，z＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x－2y)取得最大值32.
答案：32
7．若变量x，y满足约束条件eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＋1≤0，,y≤1，,x>－1，))则(x－2)2＋y2的最小值为________．
解析：作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示，
设z＝(x－2)2＋y2，则z的几何意义为区域内的点到定点D(2，0)的距离的平方，
由图知C，D间的距离最小，此时z最小．
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝1，,x－y＋1＝0))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝1，))即C(0，1)，
此时zmin＝(0－2)2＋12＝4＋1＝5.
答案：5
8．已知点A(2，1)，O是坐标原点，P(x，y)的坐标满足：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－y≤0,x－2y＋3≥0,y≥0))，设z＝eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(OA,\s\up6(→))，则z的最大值是________．
解析：
法一：由题意，作出可行域，如图中阴影部分所示．z＝eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(OA,\s\up6(→))＝2x＋y，作出直线2x＋y＝0并平移，可知当直线过点C时，z取得最大值，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－y＝0,x－2y＋3＝0))，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1,y＝2))，即C(1，2)，则z的最大值是4.
法二：由题意，作出可行域，如图中阴影部分所示，可知可行域是三角形封闭区域．z＝eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(OA,\s\up6(→))＝2x＋y，易知目标函数z＝2x＋y的最大值在顶点处取得，求出三个顶点的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(－3，0)，分别将(0，0)，(1，2)，(－3，0)代入z＝2x＋y，对应z的值为0，4，－6，故z的最大值是4.
答案：4
9.如图所示，已知D是以点A(4，1)，B(－1，－6)，C(－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．
(1)写出表示区域D的不等式组；
(2)设点B(－1，－6)，C(－3，2)在直线4x－3y－a＝0的异侧，求a的取值范围．
解：(1)直线AB，AC，BC的方程分别为7x－5y－23＝0，x＋7y－11＝0，4x＋y＋10＝0.原点(0，0)在区域D内，故表示区域D的不等式组为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(7x－5y－23≤0，,x＋7y－11≤0，,4x＋y＋10≥0.))
(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a]·[4×(－3)－3×2－a]<0，即(14－a)(－18－a)<0，
解得－1810．已知x，y满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＞0,x＋y＋1＜0,3x＋y＋9＞0))，记点(x，y)对应的平面区域为P.
(1)设z＝eq \f(y＋1,x＋3)，求z的取值范围；
(2)过点(－5，1)的一束光线，射到x轴被反射后经过区域P，当反射光线所在直线l经过区域P内的整点(即横纵坐标均是整数的点)时，求直线l的方程．
解：平面区域如图所示(阴影部分)，易得A，B，C三点坐标分别为A(－4，3)，B(－3，0)，C(－1，0)．
(1)由z＝eq \f(y＋1,x＋3)知z的值即是定点M(－3，－1)与区域内的点Q(x，y)连接的直线的斜率，
当直线过A(－4，3)时，z＝－4；
当直线过C(－1，0)时，z＝eq \f(1,2).
故z的取值范围是(－∞，－4)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).
(2)过点(－5，1)的光线被x轴反射后的光线所在直线必经过点(－5，－1)，由题设可得区域内坐标为整数点仅有点(－3，1)，
故直线l的方程是eq \f(y－1,（－1）－1)＝eq \f(（x＋3）,（－5）＋3)，即x－y＋4＝0.
[综合题组练]
1．若存在实数x，y，m使不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y≥0，,x－3y＋2≤0，,x＋y－6≤0))与不等式x－2y＋m≤0都成立，则实数m的取值范围是( )
A．m≥0 B．m≤3
C．m≥1 D．m≥3
解析：选B.作出不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y≥0，,x－3y＋2≤0，,x＋y－6≤0))表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中A(4，2)，B(1，1)，C(3，3)．
设z＝x－2y，将直线l：z＝x－2y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值，可得zmax＝4－2×2＝0，当l经过点C时，目标函数z达到最小值，可得zmin＝3－2×3＝－3，因此z＝x－2y的取值范围为[－3，0]．因为存在实数m，使不等式x－2y＋m≤0成立，即存在实数m，使x－2y≤－m成立，所以－m大于或等于z的最小值，即－3≤－m，解得m≤3，故选B.
2．设关于x，y的不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－y＋1＞0，,x＋m＜0，,y－m＞0))表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2，则m的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(4,3))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(2,3))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(5,3)))
解析：选C.作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，交点C的坐标为(－m，m)，直线x－2y＝2的斜率为eq \f(1,2)，斜截式方程为y＝eq \f(1,2)x－1，要使平面区域内存在点P(x0，y0)满足x0－2y0＝2，则点C(－m，m)必在直线x－2y＝2的下方，即m＜－eq \f(1,2)m－1，解得m＜－eq \f(2,3)，所以m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(2,3)))，故选C.
3．不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≥1，,y≥2，,x＋y≤4))的解集记为D，则“∀(x，y)∈D，使x－y≥a成立”的必要不充分条件是( )
A．a<0 B．a≤－3
C．a>0 D．a≤－2
解析：选A.画出不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≥1，,y≥2，,x＋y≤4))表示的区域D，如图中阴影部分所示，其中A(2，2)，B(1，2)，C(1，3)，∀(x，y)∈D，使x－y≥a成立，则a≤(x－y)min，平移直线x－y＝0，易知当直线经过点C(1，3)时，x－y取得最小值，(x－y)min＝－2，则a≤－2，故必要不充分条件可以是a<0，故选A.
4．已知实数x，y满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(6x＋y－1≥0，,x－y－3≤0，,y≤0，))则z＝y－ln x的取值范围为________．
解析：作出可行域如图(阴影部分)，其中A(eq \f(1,6)，0)，B(3，0)，C(eq \f(4,7)，－eq \f(17,7))．
由图可知，当y＝ln x＋z过点A(eq \f(1,6)，0)时z取得最大值，
zmax＝0－lneq \f(1,6)＝ln 6.设y＝ln x＋z的图象与直线y＝x－3
相切于点M(x0，y0)，由y＝ln x＋z得y′＝eq \f(1,x)，令eq \f(1,x0)＝1得x0＝1∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,7)，3))，
故y＝ln x＋z与y＝x－3切于点M(1，－2)时，z取得最小值，zmin＝－2－ln 1＝－2.
所以z＝y－ln x的取值范围为[－2，ln 6]．
答案：[－2，ln 6]
5．已知点A(5eq \r(3)，5)，直线l：x＝my＋n(n＞0)过点A.若可行域eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≤my＋n，,x－\r(3)y≥0，,y≥0))的外接圆的直径为20，求n的值．
解：
注意到直线l′：x－eq \r(3)y＝0也经过点A，所以点A为直线l与l′的交点．
画出不等式组
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≤my＋n，,x－\r(3)y≥0，,y≥0))表示的可行域，如图中阴影部分所示．
设直线l的倾斜角为α，则∠ABO＝π－α.
在△OAB中，OA＝eq \r(（5\r(3)）2＋52)＝10.
根据正弦定理，得eq \f(10,sin（π－α）)＝20，解得α＝eq \f(5π,6)或eq \f(π,6).
当α＝eq \f(5π,6)时，eq \f(1,m)＝tan eq \f(5π,6)，得m＝－eq \r(3).
又直线l过点A(5eq \r(3)，5)，所以5eq \r(3)＝－eq \r(3)×5＋n，
解得n＝10eq \r(3).
当α＝eq \f(π,6)时，同理可得m＝eq \r(3)，n＝0(舍去)．
综上，n＝10eq \r(3).
6．某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：
现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．
(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．
解：(1)由已知得，x，y满足的数学关系式为
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4x＋5y≤200，,8x＋5y≤360，,3x＋10y≤300，,x≥0，,y≥0.))
设二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分．
(2)设利润为z万元，则目标函数为z＝2x＋3y.
考虑z＝2x＋3y，将它变形为y＝－eq \f(2,3)x＋eq \f(z,3)， 这是斜率为－eq \f(2,3)，随z变化的一族平行直线.eq \f(z,3)为直线在y轴上的截距，当eq \f(z,3)取最大值时，z的值最大．又因为x，y满足约束条件，所以由图2可知，当直线z＝2x＋3y经过可行域
上的点M时，截距eq \f(z,3)最大，即z最大．
解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4x＋5y＝200，,3x＋10y＝300，))
得点M的坐标为(20，24)．
所以zmax＝2×20＋3×24＝112.
即生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．
原料
肥料
A
B
C
甲
4
8
3
乙
5
5
10