2023届高考一轮复习讲义（理科）第五章　平面向量 第1讲　高效演练分层突破学案

这是一份2023届高考一轮复习讲义（理科）第五章　平面向量 第1讲　高效演练分层突破学案，共6页。

1.如图，已知eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(4,3)eq \(AB,\s\up6(→))，用eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))表示eq \(OP,\s\up6(→))，则eq \(OP,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))－eq \f(4,3)eq \(OB,\s\up6(→))
B.eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(4,3)eq \(OB,\s\up6(→))
C．－eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(4,3)eq \(OB,\s\up6(→))
D．－eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))－eq \f(4,3)eq \(OB,\s\up6(→))
解析：选C.eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(4,3)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(4,3)(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＝－eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(4,3)eq \(OB,\s\up6(→)).故选C.
2．在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若eq \(AO,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(BC,\s\up6(→))，其中λ，μ∈R，则λ＋μ等于( )
A．1 B．eq \f(1,2)
C.eq \f(1,3) D．eq \f(2,3)
解析：选D.由题意易得eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))，
所以2eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))，即eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(BC,\s\up6(→)).
故λ＋μ＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,6)＝eq \f(2,3).
3．(2020·广东华附、省实、广雅、深中联考)设a，b是非零向量，记a与b所成的角为θ，下列四个条件中，使eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)成立的充要条件是( )
A．a∥b B．θ＝0
C．θ＝eq \f(π,2) D．θ＝π
解析：选B.eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)等价于非零向量a与b同向共线，即θ＝0，故选B.
4．(2020·广东一模)已知A，B，C三点不共线，且点O满足16eq \(OA,\s\up6(→))－12eq \(OB,\s\up6(→))－3eq \(OC,\s\up6(→))＝0，则( )
A.eq \(OA,\s\up6(→))＝12eq \(AB,\s\up6(→))＋3eq \(AC,\s\up6(→)) B．eq \(OA,\s\up6(→))＝12eq \(AB,\s\up6(→))－3eq \(AC,\s\up6(→))
C.eq \(OA,\s\up6(→))＝－12eq \(AB,\s\up6(→))＋3eq \(AC,\s\up6(→)) D．eq \(OA,\s\up6(→))＝－12eq \(AB,\s\up6(→))－3eq \(AC,\s\up6(→))
解析：选A.对于A，eq \(OA,\s\up6(→))＝12eq \(AB,\s\up6(→))＋3eq \(AC,\s\up6(→))＝12(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＋3(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＝12eq \(OB,\s\up6(→))＋3eq \(OC,\s\up6(→))－15eq \(OA,\s\up6(→))，整理，可得16eq \(OA,\s\up6(→))－12eq \(OB,\s\up6(→))－3eq \(OC,\s\up6(→))＝0，这与题干中条件相符合，故选A.
5.如图，在△ABC中，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BD,\s\up6(→))，若eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，则eq \f(λ,μ)的值为( )
A．－3 B．3
C．2 D．－2
解析：选B.因为eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→))，
eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)×eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(2,9)eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))，
所以eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,9)\(AC,\s\up6(→))－\f(1,3)\(AB,\s\up6(→))))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,9)eq \(AC,\s\up6(→)).
又eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，所以λ＝eq \f(2,3)，μ＝eq \f(2,9)，
所以eq \f(λ,μ)＝eq \f(2,3)×eq \f(9,2)＝3.故选B.
6．若|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|＝2，则|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|＝________．
解析：因为|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|＝2，所以△ABC是边长为2的正三角形，所以|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|为△ABC的边BC上的高的2倍，所以|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|＝2eq \r(3).
答案：2eq \r(3)
7．已知O为△ABC内一点，且2eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))＝teq \(AC,\s\up6(→))，若B，O，D三点共线，则t的值为________．
解析：设线段BC的中点为M，则eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝2eq \(OM,\s\up6(→)).
因为2eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))，所以eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))，
则eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,t)\(AD,\s\up6(→))))＝eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4t)eq \(AD,\s\up6(→)).
由B，O，D三点共线，得eq \f(1,4)＋eq \f(1,4t)＝1，解得t＝eq \f(1,3).
答案：eq \f(1,3)
8．在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，若AB＝4，且eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))＋λeq \(AB,\s\up6(→))(λ∈R)，则AD的长为________．
解析：因为B，D，C三点共线，所以eq \f(1,4)＋λ＝1，解得λ＝eq \f(3,4)，如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，则eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))，因为△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，所以四边形AMDN是菱形，因为AB＝4，所以AN＝AM＝3，AD＝3eq \r(3).
答案：3eq \r(3)
9.在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，试用a，b表示eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AG,\s\up6(→)).
解：eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b；
eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BG,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)a＋eq \f(1,3)b.
10．经过△OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OQ,\s\up6(→))＝neq \(OB,\s\up6(→))，m，n∈R，求eq \f(1,n)＋eq \f(1,m)的值．
解：设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(a＋b)，
eq \(PQ,\s\up6(→))＝eq \(OQ,\s\up6(→))－eq \(OP,\s\up6(→))＝nb－ma，
eq \(PG,\s\up6(→))＝eq \(OG,\s\up6(→))－eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(a＋b)－ma＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－m))a＋eq \f(1,3)b.
由P，G，Q共线得，存在实数λ使得eq \(PQ,\s\up6(→))＝λeq \(PG,\s\up6(→))，
即nb－ma＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－m))a＋eq \f(1,3)λb，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－m＝λ\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－m))，,n＝\f(1,3)λ，))消去λ，得eq \f(1,n)＋eq \f(1,m)＝3.
[综合题组练]
1．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d反向共线，则实数λ的值为( )
A．1 B．－eq \f(1,2)
C．1或－eq \f(1,2) D．－1或－eq \f(1,2)
解析：选B.由于c与d反向共线，则存在实数k使c＝kd(k＜0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]．整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于a，b不共线，所以有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝k，,2λk－k＝1，))整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－eq \f(1,2).又因为k＜0，所以λ＜0，故λ＝－eq \f(1,2).
2.(一题多解)如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且满足BD＝eq \f(1,2)DC，过点D的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N若eq \(AM,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AN,\s\up6(→))＝neq \(AC,\s\up6(→))，则( )
A．m＋n是定值，定值为2
B．2m＋n是定值，定值为3
C.eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)是定值，定值为2
D.eq \f(2,m)＋eq \f(1,n)是定值，定值为3
解析：选D.法一：如图，过点C作CE平行于MN交AB于点E.由eq \(AN,\s\up6(→))＝neq \(AC,\s\up6(→))可得eq \f(AC,AN)＝eq \f(1,n)，所以eq \f(AE,EM)＝eq \f(AC,CN)＝eq \f(1,n－1)，由BD＝eq \f(1,2)DC可得eq \f(BM,ME)＝eq \f(1,2)，所以eq \f(AM,AB)＝eq \f(n,n＋\f(n－1,2))＝eq \f(2n,3n－1)，因为eq \(AM,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))，所以m＝eq \f(2n,3n－1)，
整理可得eq \f(2,m)＋eq \f(1,n)＝3.
法二：因为M，D，N三点共线，所以eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(AM,\s\up6(→))＋(1－λ)·eq \(AN,\s\up6(→)).
又eq \(AM,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AN,\s\up6(→))＝neq \(AC,\s\up6(→))，所以eq \(AD,\s\up6(→))＝λmeq \(AB,\s\up6(→))＋(1－λ)·neq \(AC,\s\up6(→)).又eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(DC,\s\up6(→))，所以eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))，所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→)).比较系数知λm＝eq \f(2,3)，(1－λ)n＝eq \f(1,3)，所以eq \f(2,m)＋eq \f(1,n)＝3，故选D.
3．(2020·铜川模拟)在△ABC中，点D是边BC上任意一点，M是线段AD的中点，若存在实数λ和μ，使得eq \(BM,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，则λ＋μ＝________．
解析：如图，因为点D在边BC上，所以存在t∈R，使得eq \(BD,\s\up6(→))＝teq \(BC,\s\up6(→))＝t(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))．因为M是线段AD的中点，所以eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(－eq \(AB,\s\up6(→))＋teq \(AC,\s\up6(→))－teq \(AB,\s\up6(→)))＝－eq \f(1,2)(t＋1)·eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)teq \(AC,\s\up6(→)).
又eq \(BM,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，所以λ＝－eq \f(1,2)(t＋1)，μ＝eq \f(1,2)t，
所以λ＋μ＝－eq \f(1,2).
答案：－eq \f(1,2).
4．已知P为△ABC所在平面内一点，eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝0，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(PB,\s\up6(→))|＝|eq \(PC,\s\up6(→))|＝2，则△ABC的面积为________．
解析：因为eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝0，所以eq \(AB,\s\up6(→))＝－(eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→)))．
由平行四边形法则可知，以eq \(PB,\s\up6(→))，eq \(PC,\s\up6(→))为边组成的平行四边形的一条对角线与eq \(AB,\s\up6(→))反向，且长度相等．因为|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(PB,\s\up6(→))|＝|eq \(PC,\s\up6(→))|＝2，所以以eq \(PB,\s\up6(→))，eq \(PC,\s\up6(→))为边的平行四边形为菱形，且除BC外的另一条对角线长为2，所以BC＝2eq \r(3)，∠ABC＝90°，所以S△ABC＝eq \f(1,2)AB·BC＝eq \f(1,2)×2×2eq \r(3)＝2eq \r(3).
答案：2eq \r(3)
5．在如图所示的方格纸中，向量a，b，c的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若c与xa＋yb(x，y为非零实数)共线，求eq \f(x,y)的值．
解：设e1，e2分别为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c＝e1－2e2，a＝2e1＋e2，b＝－2e1－2e2，由c与xa＋yb共线，得c＝λ(xa＋yb)，所以e1－2e2＝2λ(x－y)e1＋λ(x－2y)e2，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2λ（x－y）＝1，,λ（x－2y）＝－2，))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(3,λ)，,y＝\f(5,2λ)，))所以eq \f(x,y)的值为eq \f(6,5).
6．已知O，A，B是不共线的三点，且eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)．
(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；
(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.
证明：(1)若m＋n＝1，
则eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋(1－m)eq \(OB,\s\up6(→))
＝eq \(OB,\s\up6(→))＋m(eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))，
所以eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝m(eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))，
即eq \(BP,\s\up6(→))＝meq \(BA,\s\up6(→))，
所以eq \(BP,\s\up6(→))与eq \(BA,\s\up6(→))共线．
又因为eq \(BP,\s\up6(→))与eq \(BA,\s\up6(→))有公共点B，
所以A，P，B三点共线．
(2)若A，P，B三点共线，
则存在实数λ，使eq \(BP,\s\up6(→))＝λeq \(BA,\s\up6(→))，
所以eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝λ(eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))．
又eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→)).
故有meq \(OA,\s\up6(→))＋(n－1)eq \(OB,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))－λeq \(OB,\s\up6(→))，
即(m－λ)eq \(OA,\s\up6(→))＋(n＋λ－1)eq \(OB,\s\up6(→))＝0.
因为O，A，B不共线，
所以eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))不共线，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m－λ＝0，,n＋λ－1＝0，))所以m＋n＝1.