2023届高考一轮复习讲义（文科）第四章　三角函数、解三角形 第6讲　第2课时　高效演练 分层突破学案

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1．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝eq \r(7)，c＝4，cs A＝eq \f(\r(7),4)，则△ABC的面积等于( )
A．3eq \r(7) B.eq \f(3\r(7),2)
C．9 D．eq \f(9,2)
解析：选B.因为cs A＝eq \f(\r(7),4)，则sin A＝eq \f(3,4)，所以S△ABC＝eq \f(1,2)×bcsin A＝eq \f(3\r(7),2)，故选B.
2．在△ABC中，已知C＝eq \f(π,3)，b＝4，△ABC的面积为2eq \r(3)，则c＝( )
A．2eq \r(7) B.eq \r(7)
C．2eq \r(2) D．2eq \r(3)
解析：选D.由S＝eq \f(1,2)absin C＝2a×eq \f(\r(3),2)＝2eq \r(3)，解得a＝2，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcs C＝12，故c＝2eq \r(3).
3．(2020·河南三市联考)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，sin A∶sin B＝1∶eq \r(3)，c＝2cs C＝eq \r(3)，则△ABC的周长为( )
A．3＋3eq \r(3) B．2eq \r(3)
C．3＋2eq \r(3) D．3＋eq \r(3)
解析：选C.因为sin A∶sin B＝1∶eq \r(3)，所以b＝eq \r(3)a，
由余弦定理得cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(a2＋（\r(3)a）2－c2,2a×\r(3)a)＝eq \f(\r(3),2)，
又c＝eq \r(3)，所以a＝eq \r(3)，b＝3，所以△ABC的周长为3＋2eq \r(3)，故选C.
4．(2020·湖南师大附中4月模拟)若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝2，c＝eq \r(5)，△ABC的面积S＝eq \f(\r(5),2)cs A，则a＝( )
A．1 B.eq \r(5)
C.eq \r(13) D．eq \r(17)
解析：选A.因为b＝2，c＝eq \r(5)，S＝eq \f(\r(5),2)cs A＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \r(5)sin A，所以sin A＝eq \f(1,2)cs A.
所以sin2A＋cs2A＝eq \f(1,4)cs2A＋cs2A＝eq \f(5,4)cs2A＝1.易得cs A＝eq \f(2\r(5),5).
所以a2＝b2＋c2－2bccs A＝4＋5－2×2×eq \r(5)×eq \f(2\r(5),5)＝9－8＝1，所以a＝1.故选A.
5．(2020·开封市定位考试)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为4eq \r(3)，且2bcs A＋a＝2c，a＋c＝8，则其周长为( )
A．10 B．12
C．8＋eq \r(3) D．8＋2eq \r(3)
解析：选B.因为△ABC的面积为4eq \r(3)，所以eq \f(1,2)acsin B＝4eq \r(3).因为2bcs A＋a＝2c，所以由正弦定理得2sin Bcs A＋sin A＝2sin C，又A＋B＋C＝π，所以2sin Bcs A＋sin A＝2sin Acs B＋2cs Asin B，所以sin A＝2cs B·sin A，因为sin A≠0，所以cs B＝eq \f(1,2)，因为0＜B＜π，所以B＝eq \f(π,3)，所以ac＝16，又a＋c＝8，所以a＝c＝4，所以△ABC为正三角形，所以△ABC的周长为3×4＝12.故选B.
6．在△ABC中，A＝eq \f(π,4)，b2sin C＝4eq \r(2)sin B，则△ABC的面积为 ．
解析：因为b2sin C＝4eq \r(2)sin B，
所以b2c＝4eq \r(2)b，所以bc＝4eq \r(2)，
S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)×4eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝2.
答案：2
7．(2020·江西赣州五校协作体期中改编)在△ABC中，A＝eq \f(π,3)，b＝4，a＝2eq \r(3)，则B＝ ，△ABC的面积等于 ．
解析：△ABC中，由正弦定理得sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(4×sin\f(π,3),2\r(3))＝1.又B为三角形的内角，所以B＝eq \f(π,2)，所以c＝eq \r(b2－a2)＝eq \r(42－（2\r(3)）2)＝2，
所以S△ABC＝eq \f(1,2)×2×2eq \r(3)＝2eq \r(3).
答案：eq \f(π,2) 2eq \r(3)
8．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且B为锐角，若eq \f(sin A,sin B)＝eq \f(5c,2b)，sin B＝eq \f(\r(7),4)，S△ABC＝eq \f(5\r(7),4)，则b的值为 ．
解析：由eq \f(sin A,sin B)＝eq \f(5c,2b)⇒eq \f(a,b)＝eq \f(5c,2b)⇒a＝eq \f(5,2)c，①
由S△ABC＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(5\r(7),4)且sin B＝eq \f(\r(7),4)得eq \f(1,2)ac＝5，②
联立①，②得a＝5，且c＝2.
由sin B＝eq \f(\r(7),4)且B为锐角知cs B＝eq \f(3,4)，
由余弦定理知b2＝25＋4－2×5×2×eq \f(3,4)＝14，b＝eq \r(14).
答案：eq \r(14)
9．在△ABC中，∠A＝60°，c＝eq \f(3,7)a.
(1)求sin C的值；
(2)若a＝7，求△ABC的面积．
解：(1)在△ABC中，因为∠A＝60°，c＝eq \f(3,7)a，
所以由正弦定理得sin C＝eq \f(csin A,a)＝eq \f(3,7)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),14).
(2)因为a＝7，所以c＝eq \f(3,7)×7＝3.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A得72＝b2＋32－2b×3×eq \f(1,2)，
解得b＝8或b＝－5(舍)．
所以△ABC的面积S＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)×8×3×eq \f(\r(3),2)＝6eq \r(3).
10．(2020·福建五校第二次联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且eq \r(3)acs C＝(2b－eq \r(3)c)cs A.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值．
解：(1)由正弦定理可得，eq \r(3)sin Acs C＝2sin Bcs A－eq \r(3)sin Ccs A，
从而eq \r(3)sin(A＋C)＝2sin Bcs A，
即eq \r(3)sin B＝2sin Bcs A.
又B为三角形的内角，所以sin B≠0，于是cs A＝eq \f(\r(3),2)，
又A为三角形的内角，所以A＝eq \f(π,6).
(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A，得4＝b2＋c2－2bc×eq \f(\r(3),2)≥2bc－eq \r(3)bc，
所以bc≤4(2＋eq \r(3))，所以S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A≤2＋eq \r(3)，故△ABC面积的最大值为2＋eq \r(3).
[综合题组练]
1．(2020·昆明市诊断测试)在平面四边形ABCD中，∠D＝90°，∠BAD＝120°，AD＝1，AC＝2，AB＝3，则BC＝( )
A.eq \r(5) B.eq \r(6)
C.eq \r(7) D．2eq \r(2)
解析：选C.如图，在△ACD中，∠D＝90°，AD＝1，AC＝2，所以∠CAD＝60°.又∠BAD＝120°，所以∠BAC＝∠BAD－∠CAD＝60°.在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcs∠BAC＝7，所以BC＝eq \r(7).故选C.
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，eq \f(asin A＋bsin B－csin C,sin Bsin C)＝eq \f(2\r(3),3)a，a＝2eq \r(3).若b∈[1，3]，则c的最小值为 ．
解析：由eq \f(asin A＋bsin B－csin C,sin Bsin C)＝eq \f(2\r(3),3)a，得eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(\r(3),3)sin C．由余弦定理可知cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)，即3cs C＝eq \r(3)sin C，所以tan C＝eq \r(3)，故cs C＝eq \f(1,2)，所以c2＝b2－2eq \r(3)b＋12＝(b－eq \r(3))2＋9，因为b∈[1，3]，所以当b＝eq \r(3)时，c取最小值3.
答案：3
3．(2020·重庆市学业质量调研)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为eq \f(\r(3),2)accs B，且sin A＝3sin C.
(1)求角B的大小；
(2)若c＝2，AC的中点为D，求BD的长．
解：(1)因为S△ABC＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(\r(3),2)accs B，
所以tan B＝eq \r(3).
又0＜B＜π，所以B＝eq \f(π,3).
(2)sin A＝3sin C，由正弦定理得，a＝3c，所以a＝6.
由余弦定理得，b2＝62＋22－2×2×6×cs 60°＝28，所以b＝2eq \r(7).
所以cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(（2\r(7)）2＋22－62,2×2×2\r(7))＝－eq \f(\r(7),14).
因为D是AC的中点，所以AD＝eq \r(7).
所以BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcs A＝22＋(eq \r(7))2－2×2×eq \r(7)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(7),14)))＝13.
所以BD＝eq \r(13).
4．(2020·原创题)在△ABC中，sin A∶cs B∶tan A＝12∶16∶15.
(1)求sin C；
(2)若AB＝8，点D为△ABC外接圆上的动点，求eq \(DA,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))的最大值．
解：(1)由sin A∶tan A＝12∶15，得cs A＝eq \f(4,5)，故sin A＝eq \f(3,5)，所以由sin A∶cs B＝12∶16，得cs B＝eq \f(4,5)，故sin B＝eq \f(3,5)，于是sin C＝sin(A＋B)＝sin Acs B＋cs Asin B＝eq \f(24,25).
(2)在△ABC中，由eq \f(AC,sin B)＝eq \f(AB,sin C)，解得AC＝5，由A，B，C，D四点共圆及题干条件，可知∠ADC＝∠ABC时eq \(DA,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))取得最大值，
设DA＝m，DC＝n，在△DAC中，由余弦定理的推论得cs∠ADC＝eq \f(m2＋n2－52,2mn)＝eq \f(4,5)，
故eq \f(8,5)mn＝m2＋n2－25≥2mn－25，
解得mn≤eq \f(125,2)，
故eq \(DA,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \f(4,5)mn≤eq \f(4,5)×eq \f(125,2)＝50，
当且仅当m＝n＝eq \f(5\r(10),2)时，等号成立，
故eq \(DA,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))的最大值为50.