2023届高考一轮复习讲义（文科）第四章　三角函数、解三角形第6讲　第1课时　高效演练分层突破学案

展开

这是一份2023届高考一轮复习讲义（文科）第四章　三角函数、解三角形第6讲　第1课时　高效演练分层突破学案，共6页。

1．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2eq \r(3)，cs A＝eq \f(\r(3),2)且bA．3 B．2eq \r(2)
C．2 D．eq \r(3)
解析：选C.由余弦定理b2＋c2－2bccs A＝a2，得b2－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝4，因为b2．在△ABC中，已知a＝2，b＝eq \r(6)，A＝45°，则满足条件的三角形有( )
A．一个 B．两个
C．0个 D．无法确定
解析：选B.由正弦定理得sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(\r(6)sin 45°,2)＝eq \f(\r(3),2)，因为b>a，所以B＝60°或120°，故满足条件的三角形有两个．
3．(2020·湖南省湘东六校联考)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，其中b2＝ac，且sin C＝eq \r(2)sin B，则其最小内角的余弦值为( )
A．－eq \f(\r(2),4) B.eq \f(\r(2),4)
C.eq \f(5\r(2),8) D．eq \f(3,4)
解析：选C.由sin C＝eq \r(2)sin B及正弦定理，得c＝eq \r(2)b.又b2＝ac，所以b＝eq \r(2)a，所以c＝2a，所以A为△ABC的最小内角．由余弦定理，知cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(（\r(2)a）2＋（2a）2－a2,2·\r(2)a·2a)＝eq \f(5\r(2),8)，故选C.
4．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，以下四个结论中，正确的是( )
A．若a＞b＞c，则sin A＞sin B＞sin C
B．若A＞B＞C，则sin AC．acs B＋bcs A＝csin C
D．若a2＋b2＜c2，则△ABC是锐角三角形
解析：选A.对于A，由于a＞b＞c，由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R，可得sin A＞sin B＞sin C，故A正确；
对于B，A＞B＞C，由大边对大角定理可知，则a＞b＞c，由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R，可得sin A＞sin B＞sin C，故B错误；
对于C，根据正弦定理可得acs B＋bcs A＝2R(sin A·cs B＋sin Bcs A)＝2Rsin(B＋A)＝2Rsin(π－C)＝2Rsin C＝c，故C错误；
对于D，a2＋b2＜c2，由余弦定理可得cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＜0，由C∈(0，π)，可得C是钝角，故D错误．
5．(2020·长春市质量监测(一))在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝acs C＋eq \f(1,2)c，则角A等于( )
A．60° B．120°
C．45° D．135°
解析：选A.法一：由b＝acs C＋eq \f(1,2)c及正弦定理，可得sin B＝sin Acs C＋eq \f(1,2)sin C，即sin(A＋C)＝sin Acs C＋eq \f(1,2)sin C，即sin Acs C＋cs Asin C＝sin Acs C＋eq \f(1,2)sin C，所以cs Asin C＝eq \f(1,2)sin C，又在△ABC中，sin C≠0，所以cs A＝eq \f(1,2)，所以A＝60°，故选A.
法二：由b＝acs C＋eq \f(1,2)c及余弦定理，可得b＝a·eq \f(b2＋a2－c2,2ab)＋eq \f(1,2)c，即2b2＝b2＋a2－c2＋bc，整理得b2＋c2－a2＝bc，于是cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(1,2)，所以A＝60°，故选A.
6．在△ABC中，角A，B，C满足sin Acs C－sin Bcs C＝0，则三角形的形状为．
解析：由已知得cs C(sin A－sin B)＝0，所以有cs C＝0或sin A＝sin B，解得C＝90°或A＝B.
答案：直角三角形或等腰三角形
7．(2019·高考天津卷改编)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＋c＝2a，3csin B＝4asin C，则cs B＝．
解析：在△ABC中，由正弦定理eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，得bsin C＝csin B，又由3csin B＝4asin C，得3bsin C＝4asin C，即3b＝4a.因为b＋c＝2a，得到b＝eq \f(4,3)a，c＝eq \f(2,3)a.由余弦定理可得cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(a2＋\f(4,9)a2－\f(16,9)a2,2·a·\f(2,3)a)＝－eq \f(1,4).
答案：－eq \f(1,4)
8．(2020·河南期末改编)在△ABC中，B＝eq \f(π,3)，AC＝eq \r(3)，且cs2C－cs2A－sin2B＝－eq \r(2)sin Bsin C，则C＝，BC＝．
解析：由cs2C－cs2A－sin2B＝－eq \r(2)sin Bsin C，可得1－sin2C－(1－sin2A)－sin2B＝－eq \r(2)sin Bsin C，即sin2A－sin2C－sin2B＝－eq \r(2)sin Bsin C．结合正弦定理得BC2－AB2－AC2＝－eq \r(2)·AC·AB，所以cs A＝eq \f(\r(2),2)，A＝eq \f(π,4)，则C＝π－A－B＝eq \f(5π,12).由eq \f(AC,sin B)＝eq \f(BC,sin A)，解得BC＝eq \r(2).
答案：eq \f(5π,12) eq \r(2)
9．(2020·兰州模拟)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin B＋bcs A＝0.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2eq \r(5)，b＝2，求边c的长．
解：(1)因为asin B＋bcs A＝0，
所以sin Asin B＋sin Bcs A＝0，
即sin B(sin A＋cs A)＝0，
由于B为三角形的内角，
所以sin A＋cs A＝0，
所以eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,4)))＝0，而A为三角形的内角，
所以A＝eq \f(3π,4).
(2)在△ABC中，a2＝c2＋b2－2cbcs A，即20＝c2＋4－4ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)))，解得c＝－4eq \r(2)(舍去)或c＝2eq \r(2).
10．在△ABC中，A＝2B.
(1)求证：a＝2bcs B；
(2)若b＝2，c＝4，求B的值．
解：(1)证明：因为A＝2B，所以由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，得eq \f(a,sin 2B)＝eq \f(b,sin B)，所以a＝2bcs B.
(2)由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccs A，
因为b＝2，c＝4，A＝2B，所以16cs2B＝4＋16－16cs 2B，
所以cs2B＝eq \f(3,4)，
因为A＋B＝2B＋B<π，
所以B所以B＝eq \f(π,6).
[综合题组练]
1．在△ABC中，B＝eq \f(π,4)，BC边上的高等于eq \f(1,3)BC，则cs A＝( )
A.eq \f(3\r(10),10) B.eq \f(\r(10),10)
C．－eq \f(\r(10),10) D．－eq \f(3\r(10),10)
解析：选C.如图，过点A作AD⊥BC.设BC＝a，则BC边上的高AD＝eq \f(1,3)a.又因为B＝eq \f(π,4)，所以BD＝AD＝eq \f(1,3)a，AB＝eq \f(\r(2),3)a，DC＝a－BD＝eq \f(2,3)a，所以AC＝eq \r(AD2＋DC2)＝eq \f(\r(5),3)a.在△ABC中，由余弦定理得cs A＝eq \f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq \f(\f(2,9)a2＋\f(5,9)a2－a2,2×\f(\r(2),3)a×\f(\r(5),3)a)＝－eq \f(\r(10),10).
2．(2020·广州市调研测试)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且eq \f(sin2A＋sin2B－sin2C,c)＝eq \f(sin Asin B,acs B＋bcs A)，若a＋b＝4，则c的取值范围为( )
A．(0，4) B．[2，4)
C．[1，4) D．(2，4]
解析：选B.根据正弦定理可得eq \f(sin2A＋sin2B－sin2C,sin C)＝eq \f(sin Asin B,sin Acs B＋cs Asin B)，即eq \f(sin2A＋sin2B－sin2C,sin C)＝eq \f(sin Asin B,sin（A＋B）)，由三角形内角和定理可得sin(A＋B)＝sin C，所以sin2A＋sin2B－sin2C＝sin Asin B，再根据正弦定理可得a2＋b2－c2＝ab.因为a＋b＝4，a＋b≥2eq \r(ab)，所以ab≤4，(a＋b)2＝16，得a2＋b2＝16－2ab，所以16－2ab－c2＝ab，所以16－c2＝3ab，故16－c2≤12，c2≥4，c≥2，故2≤c＜4，故选B.
3．(2020·广东佛山顺德第二次质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2bsin Ccs A＋asin A＝2csin B.
(1)证明：△ABC为等腰三角形；
(2)若D为BC边上的点，BD＝2DC，且∠ADB＝2∠ACD，a＝3，求b的值．
解：(1)证明：因为2bsin Ccs A＋asin A＝2csin B，
所以由正弦定理得2bccs A＋a2＝2cb，
由余弦定理得2bc·eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＋a2＝2bc，
化简得b2＋c2＝2bc，所以(b－c)2＝0，即b＝c.
故△ABC为等腰三角形．
(2)法一：由已知得BD＝2，DC＝1，
因为∠ADB＝2∠ACD＝∠ACD＋∠DAC，
所以∠ACD＝∠DAC，所以AD＝CD＝1.
又因为cs∠ADB＝－cs∠ADC，
所以eq \f(AD2＋BD2－AB2,2AD·BD)＝－eq \f(AD2＋CD2－AC2,2AD·CD)，
即eq \f(12＋22－c2,2×1×2)＝－eq \f(12＋12－b2,2×1×1)，得2b2＋c2＝9，
由(1)可知b＝c，得b＝eq \r(3).
法二：由已知可得CD＝eq \f(1,3)a＝1，
由(1)知，AB＝AC，
所以∠B＝∠C，又因为∠DAC＝∠ADB－∠C＝2∠C－∠C＝∠C＝∠B，
所以△CAB∽△CDA，所以eq \f(CB,CA)＝eq \f(CA,CD)，即eq \f(3,b)＝eq \f(b,1)，
所以b＝eq \r(3).
4．(综合型)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)c－a))cs B＝bcs A.
(1)求cs B的值；
(2)若a＝2，cs C＝－eq \f(\r(17),17)，求△ABC外接圆的半径R.
解：(1)因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)c－a))cs B＝bcs A，
所以结合正弦定理，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)sin C－sin A))cs B＝sin Bcs A，
所以eq \f(5,3)sin Ccs B＝sin(A＋B)＝sin C．又因为sin C≠0，所以cs B＝eq \f(3,5).
(2)由(1)知，sin B＝eq \r(1－cs2B)＝eq \f(4,5).
因为cs C＝－eq \f(\r(17),17)，
所以sin C＝eq \r(1－cs2C)＝eq \f(4\r(17),17)，
所以sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcs C＋cs Bsin C＝eq \f(4,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(17),17)))＋eq \f(3,5)×eq \f(4\r(17),17)＝eq \f(8\r(17),85)，
所以R＝eq \f(1,2)·eq \f(a,sin A)＝eq \f(1,2)×eq \f(2,\f(8\r(17),85))＝eq \f(5\r(17),8).

相关学案更多