2023届高考一轮复习讲义（文科）第四章　三角函数、解三角形 第1讲　高效演练 分层突破学案

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1．给出下列四个命题：
①－eq \f(3π,4)是第二象限角；
②eq \f(4π,3)是第三象限角；
③－400°是第四象限角；
④－315°是第一象限角．
其中正确的命题有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选C.－eq \f(3π,4)是第三象限角，故①错误.eq \f(4π,3)＝π＋eq \f(π,3)，从而eq \f(4π,3)是第三象限角，②正确．－400°＝－360°－40°，从而③正确．－315°＝－360°＋45°，从而④正确．
2．已知点P(tan α，cs α)在第三象限，则角α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B.由题意知tan α＜0，cs α＜0，根据三角函数值的符号规律可知，角α的终边在第二象限．故选B.
3．若圆弧长度等于圆内接正方形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为( )
A.eq \f(π,4) B.eq \f(π,2)
C.eq \f(\r(2),2) D．eq \r(2)
解析：选D.设圆的直径为2r，则圆内接正方形的边长为eq \r(2)r，
因为圆的圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，
所以圆弧的长度为eq \r(2)r，
所以圆心弧度为eq \f(\r(2)r,r)＝eq \r(2).
4．若角α的终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合为( )
A．{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}
B．{α|α＝k·2π＋eq \f(3π,4)，k∈Z}
C．{α|α＝k·180°＋eq \f(3π,4)，k∈Z}
D．{α|α＝k·π－eq \f(π,4)，k∈Z}
解析：选D.由图知，角α的取值集合为{α|α＝2nπ＋eq \f(3π,4)，n∈Z}∪{α|α＝2nπ－eq \f(π,4)，n∈Z}
＝{α|α＝(2n＋1)π－eq \f(π,4)，n∈Z}∪{α|α＝2nπ－eq \f(π,4)，n∈Z}
＝{α|α＝kπ－eq \f(π,4)，k∈Z}．
5．与角2 020°的终边相同，且在0°～360°内的角是 ．
解析：因为2 020°＝220°＋5×360°，所以在0°～360°内终边与2 020°的终边相同的角是220°.
答案：220°
6．函数y＝eq \r(sin x－\f(\r(3),2))的定义域为 ．
解析：由题意可得sin x－eq \f(\r(3),2)≥0即sin x≥eq \f(\r(3),2).作直线y＝eq \f(\r(3),2)交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图中阴影部分)即为角x的终边的范围，故满足条件的角x的集合为{x|2kπ＋eq \f(π,3)≤x≤2kπ＋eq \f(2π,3)，k∈Z}．
答案：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,3)，2kπ＋\f(2π,3)))，k∈Z
7．(2020·许昌调研)设α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cs α＝eq \f(1,5)x，则tan α＝ ．
解析：因为α是第二象限角，
所以cs α＝eq \f(1,5)x＜0，即x＜0.
又cs α＝eq \f(1,5)x＝eq \f(x,\r(x2＋16))，
解得x＝－3，所以tan α＝eq \f(4,x)＝－eq \f(4,3).
答案：－eq \f(4,3)
8．已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tan θ＝－x，求sin θ＋cs θ的值．
解：因为角θ的终边过点(x，－1)(x≠0)，
所以tan θ＝－eq \f(1,x)，又tan θ＝－x，
所以x2＝1，所以x＝±1.
当x＝1时，sin θ＝－eq \f(\r(2),2)，cs θ＝eq \f(\r(2),2)，
此时sin θ＋cs θ＝0；
当x＝－1时，sin θ＝－eq \f(\r(2),2)，cs θ＝－eq \f(\r(2),2)，
此时sin θ＋cs θ＝－eq \r(2).
[综合题组练]
1．(2018·高考北京卷)在平面直角坐标系中，eq \(AB,\s\up8(︵))，eq \(CD,\s\up8(︵))，eq \(EF,\s\up8(︵))，eq \(GH,\s\up8(︵))是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tan αA.eq \(AB,\s\up8(︵)) B.eq \(CD,\s\up8(︵))
C.eq \(EF,\s\up8(︵)) D．eq \(GH,\s\up8(︵))
解析：选C.设点P的坐标为(x，y)，利用三角函数的定义可得eq \f(y,x)0，所以P所在的圆弧是eq \(EF,\s\up8(︵))，故选C.
2．若－eq \f(3π,4)＜α＜－eq \f(π,2)，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cs α，tan α的大小是( )
A．sin α＜tan α＜cs α B．cs α＜sin α＜tan α
C．sin α＜cs α＜tan α D．tan α＜sin α＜cs α
解析：选C.如图所示，作出角α的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，因为－eq \f(3π,4)＜α＜－eq \f(π,2)，所以角α终边位置在图中的阴影部分，观察可得AT＞OM＞MP，故有sin α＜cs α＜tan α.
3．已知角α的终边上一点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(2π,3)，cs\f(2π,3)))，则角α的最小正值为 ．
解析：由题意知点P在第四象限，根据三角函数的定义得cs α＝sin eq \f(2π,3)＝eq \f(\r(3),2)，故α＝2kπ－eq \f(π,6)(k∈Z)，所以α的最小正值为eq \f(11π,6).
答案：eq \f(11π,6)
4．(综合型)若两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶4，则这两个扇形的周长之比为 ．
解析：设两个扇形的圆心角的弧度数为α，半径分别为r，R(其中r＜R)，则eq \f(\f(1,2)αr2,\f(1,2)αR2)＝eq \f(1,4)，
所以r∶R＝1∶2，两个扇形的周长之比为eq \f(2r＋αr,2R＋αR)＝1∶2.
答案：1∶2