2023届高考一轮复习讲义（文科）第四章　三角函数、解三角形 第3讲　第2课时　高效演练 分层突破学案

这是一份2023届高考一轮复习讲义（文科）第四章　三角函数、解三角形 第3讲　第2课时　高效演练 分层突破学案，共6页。

1．已知sin 2α＝eq \f(2,3)，则cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))等于( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(1,2) D．eq \f(2,3)
解析：选A.cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(1＋cs 2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4))),2)
＝eq \f(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,2))),2)＝eq \f(1－sin 2α,2)，又sin 2α＝eq \f(2,3)，
所以原式＝eq \f(1－\f(2,3),2)＝eq \f(1,6)，故选A.
2.eq \f(sin 10°,1－\r(3)tan 10°)＝( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(\r(3),2) D．1
解析：选A.eq \f(sin 10°,1－\r(3)tan 10°)＝eq \f(sin 10°cs 10°,cs 10°－\r(3)sin 10°)
＝eq \f(2sin 10°cs 10°,4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs 10°－\f(\r(3),2)sin 10°)))＝eq \f(sin 20°,4sin（30°－10°）)＝eq \f(1,4).
3．若tan(α＋80°)＝4sin 420°，则tan(α＋20°)的值为( )
A．－eq \f(\r(3),5) B.eq \f(3\r(3),5)
C.eq \f(\r(3),19) D．eq \f(\r(3),7)
解析：选D.由tan(α＋80°)＝4sin 420°＝4sin 60°＝2eq \r(3)，得tan(α＋20°)＝tan[(α＋80°)－60°]＝eq \f(tan（α＋80°）－tan 60°,1＋tan（α＋80°）tan 60°)＝eq \f(2\r(3)－\r(3),1＋2\r(3)×\r(3))＝eq \f(\r(3),7).故选D.
4．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,3)))＝－eq \f(1,3)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))－cs α＝( )
A．±eq \f(\r(3),3) B．－eq \f(\r(6),3)
C.eq \f(\r(6),3) D．±eq \f(\r(6),3)
解析：选D.sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))－cs α＝sin αcs eq \f(π,6)＋cs αsin eq \f(π,6)－cs α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))，而cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,3)))＝1－2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝－eq \f(1,3)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝±eq \f(\r(6),3)，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))－cs α＝±eq \f(\r(6),3)，故选D.
5．若eq \f(\r(2)cs 2θ,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋θ)))＝eq \r(3)·sin 2θ，则sin 2θ＝( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3)
C．－eq \f(2,3) D．－eq \f(1,3)
解析：选C.由题意知eq \f(2（cs2θ－sin2θ）,cs θ－sin θ)＝eq \r(3)sin 2θ，
所以2(cs θ＋sin θ)＝eq \r(3)sin 2θ，
则4(1＋sin 2θ)＝3sin22θ，
因此sin 2θ＝－eq \f(2,3)或sin 2θ＝2(舍)．
6．已知cs 2θ＝eq \f(4,5)，则sin4θ＋cs4θ＝ ．
解析：法一：因为cs 2θ＝eq \f(4,5)，
所以2cs2θ－1＝eq \f(4,5)，1－2sin2θ＝eq \f(4,5)，
因为cs2θ＝eq \f(9,10)，sin2θ＝eq \f(1,10)，
所以sin4θ＋cs4θ＝eq \f(41,50).
法二：sin4θ＋cs4θ＝(sin2θ＋cs2θ)2－eq \f(1,2)sin22θ
＝1－eq \f(1,2)(1－cs22θ)＝1－eq \f(1,2)×eq \f(9,25)＝eq \f(41,50).
答案：eq \f(41,50)
7．(2020·贵州黔东南一模改编)已知sin α＋3cs α＝－eq \r(10)，则tan 2α＝ ．
解析：因为(sin α＋3cs α)2＝sin2α＋6sin αcs α＋9cs2α＝10(sin2α＋cs2α)，所以9sin2α－6sin αcs α＋cs2α＝0，则(3tan α－1)2＝0，即tan α＝eq \f(1,3).所以tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(3,4).
答案：eq \f(3,4)
8．tan 70°·cs 10°(eq \r(3)tan 20°－1)等于 ．
解析：tan 70°·cs 10°(eq \r(3)tan 20°－1)
＝eq \f(sin 70°,cs 70°)·cs 10°eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)·\f(sin 20°,cs 20°)－1))
＝eq \f(cs 20°cs 10°,sin 20°)·eq \f(\r(3)sin 20°－cs 20°,cs 20°)
＝eq \f(cs 10°·2sin（20°－30°）,sin 20°)＝eq \f(－sin 20°,sin 20°)＝－1.
答案：－1
9．已知tan α＝－eq \f(1,3)，cs β＝eq \f(\r(5),5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．
解：由cs β＝eq \f(\r(5),5)，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
得sin β＝eq \f(2\r(5),5)，tan β＝2.
所以tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)
＝eq \f(－\f(1,3)＋2,1＋\f(2,3))＝1.
因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以eq \f(π,2)<α＋β所以α＋β＝eq \f(5π,4).
10．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),10)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)).求：
(1)cs α的值；
(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,4)))的值．
解：(1)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),10)，
即sin αcseq \f(π,4)＋cs αsineq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),10)，
化简得sin α＋cs α＝eq \f(1,5)，①
又sin2α＋cs2α＝1，②
由①②解得cs α＝－eq \f(3,5)或cs α＝eq \f(4,5)，
因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)).所以cs α＝－eq \f(3,5).
(2)因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，cs α＝－eq \f(3,5)，
所以sin α＝eq \f(4,5)，
则cs 2α＝1－2sin2α＝－eq \f(7,25)，sin 2α＝2sin αcs α＝－eq \f(24,25)，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,4)))＝sin 2αcs eq \f(π,4)－cs 2αsin eq \f(π,4)＝－eq \f(17\r(2),50).
[综合题组练]
1．(2020·江西省五校协作体试题)若θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,12)))，且2sin2θ＋eq \r(3)sin 2θ＝－eq \f(1,5)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,12)))＝ ．
解析：由2sin2θ＋eq \r(3)sin 2θ＝－eq \f(1,5)，得1－cs 2θ＋eq \r(3)sin 2θ＝－eq \f(1,5)，得cs 2θ－eq \r(3)sin 2θ＝eq \f(6,5)，2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,3)))＝eq \f(6,5)，即cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,3)))＝eq \f(3,5)，又θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,12)))，所以2θ＋eq \f(π,3)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,3)))＝eq \f(4,3)，所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,12)))＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,3)))－\f(π,4)))＝eq \f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,3)))－tan\f(π,4),1＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,3)))tan\f(π,4))＝eq \f(1,7).
答案：eq \f(1,7)
2．(2019·高考江苏卷)已知eq \f(tan α,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4))))＝－eq \f(2,3)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))的值是 ．
解析：eq \f(tan α,\f(tan α＋1,1－tan α))＝eq \f(tan α（1－tan α）,tan α＋1)＝－eq \f(2,3)，解得tan α＝2或tan α＝－eq \f(1,3)，当tan α＝2时，sin 2α＝eq \f(2sin αcs α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(2tan α,tan2α＋1)＝eq \f(4,5)，cs 2α＝eq \f(cs2α－sin2α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(1－tan2α,tan2α＋1)＝－eq \f(3,5)，此时sin 2α＋cs 2α＝eq \f(1,5)，同理当tan α＝－eq \f(1,3)时，sin 2α＝－eq \f(3,5)，cs 2α＝eq \f(4,5)，此时sin 2α＋cs 2α＝eq \f(1,5)，所以sin(2α＋eq \f(π,4))＝eq \f(\r(2),2)(sin 2α＋cs 2α)＝eq \f(\r(2),10).
答案：eq \f(\r(2),10)
3．(应用型)如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？
解：连接OB，设∠AOB＝θ，
则AB＝OBsin θ＝20sin θ，OA＝OBcs θ＝20cs θ，且θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
因为A，D关于原点O对称，
所以AD＝2OA＝40cs θ.
设矩形ABCD的面积为S，则
S＝AD·AB＝40cs θ·20sin θ
＝400sin 2θ.因为θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以当sin 2θ＝1，
即θ＝eq \f(π,4)时，Smax＝400(m2)．
此时AO＝DO＝10eq \r(2)(m)．
故当点A，D到圆心O的距离为10eq \r(2) m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2.
4．(综合型)已知函数f(x)＝Acs(eq \f(x,4)＋eq \f(π,6))，x∈R，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝eq \r(2).
(1)求A的值；
(2)设α，β∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4α＋\f(4π,3)))＝－eq \f(30,17)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4β－\f(2π,3)))＝eq \f(8,5)，求cs(α＋β)的值．
解：(1)因为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝Acseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)＋\f(π,6)))＝Acseq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2)A＝eq \r(2)，所以A＝2.
(2)由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4α＋\f(4π,3)))＝2cs(α＋eq \f(π,3)＋eq \f(π,6))＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝－2sin α＝－eq \f(30,17)，
得sin α＝eq \f(15,17)，又α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以cs α＝eq \f(8,17).
由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4β－\f(2π,3)))＝2cs(β－eq \f(π,6)＋eq \f(π,6))＝2cs β＝eq \f(8,5)，
得cs β＝eq \f(4,5)，又β∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以sin β＝eq \f(3,5)，
所以cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β
＝eq \f(8,17)×eq \f(4,5)－eq \f(15,17)×eq \f(3,5)＝－eq \f(13,85).