2023届高考一轮复习讲义（文科）第四章　三角函数、解三角形 第2讲　高效演练 分层突破学案

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1．计算：sin eq \f(11π,6)＋cs eq \f(10π,3)＝( )
A．－1 B．1
C．0 D．eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),2)
解析：选A.原式＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π－\f(π,6)))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3π＋\f(π,3)))＝－sin eq \f(π,6)＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,3)))＝－eq \f(1,2)－cs eq \f(π,3)＝－eq \f(1,2)－eq \f(1,2)＝－1.
2．已知sin(π＋θ)＝－eq \r(3)cs(2π－θ)，|θ|＜eq \f(π,2)，则θ等于( )
A．－eq \f(π,6) B．－eq \f(π,3)
C.eq \f(π,6) D．eq \f(π,3)
解析：选D.因为sin(π＋θ)＝－eq \r(3)cs(2π－θ)，
所以－sin θ＝－eq \r(3)cs θ，
所以tan θ＝eq \r(3)，因为|θ|＜eq \f(π,2)，所以θ＝eq \f(π,3).
3．已知f(α)＝eq \f(sin（2π－α）cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋α))tan（π＋α）)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2)
C.eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(1,2)
解析：选A.f(α)＝eq \f(sin（2π－α）cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋α))tan（π＋α）)＝eq \f(－sin α·（－sin α）,sin α·tan α)＝eq \f(sin2α,sin α·\f(sin α,cs α))＝cs α，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝cseq \f(π,3)＝eq \f(1,2).
4．已知sin α＋cs α＝eq \r(2)，则tan α＋eq \f(cs α,sin α)的值为( )
A．－1 B．－2
C.eq \f(1,2) D．2
解析：选D.因为sin α＋cs α＝eq \r(2)，所以(sin α＋cs α)2＝2，所以sin αcs α＝eq \f(1,2).所以tan α＋eq \f(cs α,sin α)＝eq \f(sin α,cs α)＋eq \f(cs α,sin α)＝eq \f(1,sin αcs α)＝2.故选D.
5．设α是第三象限角，tan α＝eq \f(5,12)，则cs(π－α)＝ ．
解析：因为α为第三象限角，tan α＝eq \f(5,12)，
所以cs α＝－eq \f(12,13)，所以cs(π－α)＝－cs α＝eq \f(12,13).
答案：eq \f(12,13)
6．化简：eq \f(cs（α－π）,sin（π－α）)·sin(α－eq \f(π,2))·cs(eq \f(3π,2)－α)＝ ．
解析：eq \f(cs（α－π）,sin（π－α）)·sin(α－eq \f(π,2))·cs(eq \f(3π,2)－α)＝eq \f(－cs α,sin α)·(－cs α)·(－sin α)＝－cs2α.
答案：－cs2α
7．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)－α))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,2)＋α))＝eq \f(12,25)，且0＜α＜eq \f(π,4)，则sin α＝ ，cs α＝ ．
解析：sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)－α))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,2)＋α))＝－cs α·(－sin α)＝sin αcs α＝eq \f(12,25).
因为0＜α＜eq \f(π,4)，所以0＜sin α＜cs α.
又因为sin2α＋cs2α＝1，所以sin α＝eq \f(3,5)，cs α＝eq \f(4,5).
答案：eq \f(3,5) eq \f(4,5)
8．已知α为第三象限角，
f(α)＝eq \f(sin（α－\f(π,2)）·cs（\f(3π,2)＋α）·tan（π－α）,tan（－α－π）·sin（－α－π）).
(1)化简f(α)；
(2)若cs(α－eq \f(3π,2))＝eq \f(1,5)，求f(α)的值．
解：(1)f(α)＝eq \f(sin（α－\f(π,2)）·cs（\f(3π,2)＋α）·tan（π－α）,tan（－α－π）·sin（－α－π）)
＝eq \f(（－cs α）·sin α·（－tan α）,（－tan α）·sin α)＝－cs α.
(2)因为cs(α－eq \f(3π,2))＝eq \f(1,5)，
所以－sin α＝eq \f(1,5)，
从而sin α＝－eq \f(1,5).
又α为第三象限角，
所以cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(2\r(6),5)，
所以f(α)＝－cs α＝eq \f(2\r(6),5).
[综合题组练]
1．已知－eq \f(π,2)＜α＜0，sin α＋cs α＝eq \f(1,5)，则eq \f(1,cs2α－sin2α)的值为( )
A.eq \f(7,5) B.eq \f(25,7)
C.eq \f(7,25) D．eq \f(24,25)
解析：选B.因为－eq \f(π,2)＜α＜0，
所以cs α＞0，sin α＜0，可得cs α－sin α＞0，
因为(sin α＋cs α)2＋(cs α－sin α)2＝2，
所以(cs α－sin α)2＝2－(sin α＋cs α)2＝2－eq \f(1,25)＝eq \f(49,25)，
cs α－sin α＝eq \f(7,5)，cs2α－sin2α＝eq \f(1,5)×eq \f(7,5)＝eq \f(7,25)，
所以eq \f(1,cs2α－sin2α)的值为eq \f(25,7).
2．若k∈Z时，eq \f(sin（kπ－α）·cs（kπ＋α）,sin[（k＋1）π＋α]·cs[（k＋1）π＋α])的值为( )
A．－1 B．1
C．±1 D．与α取值有关
解析：选A.当k为奇数时，
eq \f(sin（kπ－α）·cs（kπ＋α）,sin[（k＋1）π＋α]·cs[（k＋1）π＋α])
＝eq \f(sin α·（－cs α）,sin α·cs α)＝－1；
当k为偶数时，
eq \f(sin（kπ－α）·cs（kπ＋α）,sin[（k＋1）π＋α]·cs[（k＋1）π＋α])
＝eq \f(－sin α·cs α,－sin α·（－cs α）)＝－1.
3．化简eq \f(\r(1－2sin 40°cs 40°),cs 40°－\r(1－sin250°))＝ ．
解析：原式＝
eq \f(\r(sin240°＋cs240°－2sin 40°cs 40°),cs 40°－cs 50°)＝eq \f(|sin 40°－cs 40°|,sin 50°－sin 40°)
＝eq \f(|sin 40°－sin 50°|,sin 50°－sin 40°)＝eq \f(sin 50°－sin 40°,sin 50°－sin 40°)
＝1.
答案：1
4．若eq \f(1＋cs α,sin α)＝2，则cs α－3sin α＝ ．
解析：因为eq \f(1＋cs α,sin α)＝2，所以cs α＝2sin α－1，又sin2α＋cs2α＝1，所以sin2α＋(2sin α－1)2＝1，5sin2α－4sin α＝0，解得sin α＝eq \f(4,5)或sin α＝0(舍去)，所以cs α－3sin α＝－sin α－1＝－eq \f(9,5).
答案：－eq \f(9,5)