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2023届高考一轮复习讲义(理科)第四章 三角函数、解三角形 第2讲 高效演练分层突破学案
展开1.(2020·晋冀鲁豫名校期末联考)若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(3π,2)))=eq \f(3,5),且α是第三象限角,则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(2 019π,2)))=( )
A.eq \f(3,5) B.-eq \f(3,5)
C.eq \f(4,5) D.-eq \f(4,5)
解析:选D.sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(3π,2)))=-cs α=eq \f(3,5),所以cs α=-eq \f(3,5),因为α是第三象限角,所以sin α=-eq \f(4,5),所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(2 019π,2)))=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1 008π+α+\f(3π,2)))=sin α=-eq \f(4,5).
2.若角α的终边落在第三象限,则eq \f(cs α,\r(1-sin2α))+eq \f(2sin α,\r(1-cs2α))的值为( )
A.3 B.-3
C.1 D.-1
解析:选B.因为α是第三象限角,故sin α<0,cs α<0,所以原式=eq \f(cs α,|cs α|)+eq \f(2sin α,|sin α|)=-1-2=-3.
3.已知tan(π-α)=-eq \f(2,3),且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-π,-\f(π,2))),则eq \f(cs(-α)+3sin(π+α),cs(π-α)+9sin α)=( )
A.-eq \f(1,5) B.-eq \f(3,7)
C.eq \f(1,5) D.eq \f(3,7)
解析:选A.由tan(π-α)=-eq \f(2,3),得tan α=eq \f(2,3).
eq \f(cs(-α)+3sin(π+α),cs(π-α)+9sin α)=eq \f(cs α-3sin α,-cs α+9sin α)=eq \f(1-3tan α,-1+9tan α)=eq \f(1-2,-1+6)=-eq \f(1,5).故选A.
4.(2019·东北三省三校模拟)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)-α))=eq \f(1,3),则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)-α))=( )
A.eq \f(1,3) B.-eq \f(1,3)
C.eq \f(2\r(2),3) D.-eq \f(\r(2),3)
解析:选B.由题意知,cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)-α))=cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)-α))))
=-sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)-α))=-eq \f(1,3).故选B.
5.已知α∈[0,2π),cs α+3sin α=eq \r(10),则tan α=( )
A.-3 B.3或eq \f(1,3)
C.3 D.eq \f(1,3)
解析:选C.因为(cs α+3sin α)2=10,
所以cs2α+6sin αcs α+9sin2α=10,
所以eq \f(cs2α+6sin αcs α+9sin2α,cs2α+sin2α)=10,
所以eq \f(1+6tan α+9tan2α,1+tan2α)=10,所以tan α=3,故选C.
6.(2020·惠州模拟)已知tan α=eq \f(1,2),且α∈(π,eq \f(3π,2)),则cs(α-eq \f(π,2))=________.
解析:由α∈(π,eq \f(3π,2))知α为第三象限角,联立得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(tan α=\f(sin α,cs α)=\f(1,2),,sin2α+cs2α=1,))得5sin2α=1,故sin α=-eq \f(\r(5),5).
答案:-eq \f(\r(5),5)
7.若|sin θ|+|cs θ|=eq \f(2\r(3),3),则sin4θ+cs4θ=________.
解析:|sin θ|+|cs θ|=eq \f(2\r(3),3),两边平方得,1+|sin 2θ|=eq \f(4,3),所以|sin 2θ|=eq \f(1,3),所以sin4θ+cs4θ=(sin2θ+cs2θ)2-2sin2θcs2θ=1-2sin2θcs2θ=1-eq \f(1,2)sin2 2θ=1-eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(2)=eq \f(17,18).
答案:eq \f(17,18)
8.若eq \f(1+cs α,sin α)=3,则cs α-2sin α=________.
解析:由已知得sin α≠0,且3sin α=1+cs α>0,即cs α=3sin α-1,则cs2α=1-sin2α=(3sin α-1)2,解得sin α=eq \f(3,5),所以cs α-2sin α=3sin α-1-2sin α=sin α-1=-eq \f(2,5).
答案:-eq \f(2,5)
9.已知α为第三象限角,
f(α)=eq \f(sin(α-\f(π,2))·cs(\f(3π,2)+α)·tan(π-α),tan(-α-π)·sin(-α-π)).
(1)化简f(α);
(2)若cs(α-eq \f(3π,2))=eq \f(1,5),求f(α)的值.
解:(1)f(α)=eq \f(sin(α-\f(π,2))·cs(\f(3π,2)+α)·tan(π-α),tan(-α-π)·sin(-α-π))
=eq \f((-cs α)·sin α·(-tan α),(-tan α)·sin α)=-cs α.
(2)因为cs(α-eq \f(3π,2))=eq \f(1,5),
所以-sin α=eq \f(1,5),
从而sin α=-eq \f(1,5).
又α为第三象限角,
所以cs α=-eq \r(1-sin2α)=-eq \f(2\r(6),5),
所以f(α)=-cs α=eq \f(2\r(6),5).
10.是否存在α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(π,2),\f(π,2))),β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,π))使等式sin(3π-α)=eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)-β)),eq \r(3)cs(-α)=-eq \r(2)cs(π+β)同时成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,请说明理由.
解:假设存在角α,β满足条件.
由已知条件可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin α=\r(2)sin β,①,\r(3)cs α=\r(2)cs β,②))
由①2+②2,得sin2α+3cs2α=2.
所以sin2α=eq \f(1,2),所以sin α=±eq \f(\r(2),2).
因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(π,2),\f(π,2))),所以α=±eq \f(π,4).
当α=eq \f(π,4)时,由②式知cs β=eq \f(\r(3),2),
又β∈(0,π),所以β=eq \f(π,6),此时①式成立;
当α=-eq \f(π,4)时,由②式知cs β=eq \f(\r(3),2),又β∈(0,π),
所以β=eq \f(π,6),此时①式不成立,故舍去.
所以存在α=eq \f(π,4),β=eq \f(π,6)满足条件.
[综合题组练]
1.已知θ为直线y=3x-5的倾斜角,若A(cs θ,sin θ),B(2cs θ+sin θ,5cs θ-sin θ),则直线AB的斜率为( )
A.3 B.-4
C.eq \f(1,3) D.-eq \f(1,4)
解析:选D.由题意知tan θ=3,kAB=eq \f(5cs θ-sin θ-sin θ,2cs θ+sin θ-cs θ)=eq \f(5-2tan θ,1+tan θ)=-eq \f(1,4).故选D.
2.A={sin α,cs α,1},B={sin2α,sin α+cs α,0},且A=B,则sin2 019α+cs2 018α=( )
A.0 B.1
C.-1 D.±1
解析:选C.当sin α=0时,sin2α=0,此时集合B中不符合集合元素的互异性,故舍去;当cs α=0时,A={sin α,0,1},B={sin2α,sin α,0},此时sin2α=1,得sin α=-1,所以sin2 019α+cs2 018α=-1.
3.已知θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),且eq \f(12,sin θ)+eq \f(12,cs θ)=35,则tan θ=________.
解析:依题意得12(sin θ+cs θ)=35sin θcs θ,令sin θ+cs θ=t,因为θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),所以t>0,则原式化为12t=35·eq \f(t2-1,2),解得t=eq \f(7,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t=-\f(5,7)舍去)),故sin θ+cs θ=eq \f(7,5),则sin θcs θ=eq \f(12,25),即eq \f(sin θcs θ,sin2θ+cs2θ)=eq \f(12,25),即eq \f(tan θ,1+tan2θ)=eq \f(12,25),12tan2θ-25tan θ+12=0,解得tan θ=eq \f(3,4)或eq \f(4,3).
答案:eq \f(3,4)或eq \f(4,3)
4.(2020·襄阳模拟)已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,3)))=2,则
eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(4π,3)))+cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)-α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)-α))-sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(5π,6))))=________.
解析:eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(4π,3)))+cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)-α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)-α))-sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(5π,6))))
=eq \f(-sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,3)))-cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,3))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,3)))-cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,3))))
=-eq \f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,3)))+1,tan(α+\f(π,3))-1),
把tan(α+eq \f(π,3))=2代入得,原式=-eq \f(2+1,2-1)=-3.
答案:-3
5.已知关于x的方程2x2-(eq \r(3)+1)x+m=0的两根分别是sin θ和cs θ,θ∈(0,2π),求:
(1)eq \f(sin2θ,sin θ-cs θ)+eq \f(cs θ,1-tan θ)的值;
(2)m的值;
(3)方程的两根及此时θ的值.
解:(1)原式=eq \f(sin2θ,sin θ-cs θ)+eq \f(cs θ,1-\f(sin θ,cs θ))
=eq \f(sin2θ,sin θ-cs θ)+eq \f(cs2θ,cs θ-sin θ)
=eq \f(sin2θ-cs2θ,sin θ-cs θ)=sin θ+cs θ.
由条件知sin θ+cs θ=eq \f(\r(3)+1,2),
故eq \f(sin2θ,sin θ-cs θ)+eq \f(cs θ,1-tan θ)=eq \f(\r(3)+1,2).
(2)由已知,得sin θ+cs θ=eq \f(\r(3)+1,2),
sin θcs θ=eq \f(m,2),
又1+2sin θcs θ=(sin θ+cs θ)2,可得m=eq \f(\r(3),2).
(3)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin θ+cs θ=\f(\r(3)+1,2),,sin θcs θ=\f(\r(3),4),))
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin θ=\f(\r(3),2),,cs θ=\f(1,2)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin θ=\f(1,2),,cs θ=\f(\r(3),2).))
又θ∈(0,2π),故θ=eq \f(π,3)或θ=eq \f(π,6).
6.在△ABC中,
(1)求证:cs2eq \f(A+B,2)+cs2 eq \f(C,2)=1;
(2)若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)+A))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)+B))tan(C-π)<0,
求证:△ABC为钝角三角形.
证明:(1)在△ABC中,A+B=π-C,
所以eq \f(A+B,2)=eq \f(π,2)-eq \f(C,2),
所以cseq \f(A+B,2)=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)-\f(C,2)))=sin eq \f(C,2),
所以cs2eq \f(A+ B,2)+cs2eq \f(C,2)=1.
(2)若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)+A))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)+B))tan(C-π)<0,
所以(-sin A)(-cs B)tan C<0,即sin Acs Btan C<0.
因为在△ABC中,0<A<π,0<B<π,0<C<π且sin A>0,
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(cs B<0,,tan C>0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(cs B>0,,tan C<0,))
所以B为钝角或C为钝角,所以△ABC为钝角三角形.
2023届高考一轮复习讲义(理科)第四章 三角函数、解三角形 第6讲 高效演练分层突破学案: 这是一份2023届高考一轮复习讲义(理科)第四章 三角函数、解三角形 第6讲 高效演练分层突破学案,共7页。
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