高中北师大版 (2019)第一章 直线与圆2 圆与圆的方程2.3 直线与圆的位置关系练习题

这是一份高中北师大版 (2019)第一章 直线与圆2 圆与圆的方程2.3 直线与圆的位置关系练习题，共23页。试卷主要包含了直线2x-y+3=0与圆C，已知直线l，若直线l，过点M作圆C，故选AC等内容，欢迎下载使用。

题组一 直线与圆的位置关系
1.(2021安徽阜阳三校高二上期中)直线2x-y+3=0与圆C:x2+(y-1)2=5的位置关系是( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
2.(2021重庆第一中学高二上月考)直线ax-by=0与圆x2+y2-2ax+2by=0的位置关系是( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
3.(2020湖北部分重点中学高一下期末)已知直线l:mx-y-m+3=0与圆C:(x-2)2+y2=4,则直线l与圆C的关系中不可能是( )
A.相交 B.相切 C.过圆心 D.相离
4.(多选题)(2020江苏昆山高一下期中)在同一平面直角坐标系中,直线ax-y+a=0与圆(x+a)2+y2=a2的位置可能是( )
5.(2021福建南安侨光中学高二上第一次阶段考试)若直线l:y=kx+1与圆C:(x+2)2+(y-1)2=2相切,则直线l与圆D:(x-2)2+y2=3的位置关系为 .
题组二 直线与圆相切的应用
6.(2020福建莆田第二十五中学高一下返校考试)过点M(2,1)作圆C:(x-1)2+y2=2的切线,则切线条数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
7.(2021湖北部分重点中学高二上联考)设圆M的圆心为(3,-5),且与直线x-7y+2=0相切,则圆M的方程为( )
A.(x+3)2+(y-5)2=32
B.(x+3)2+(y+5)2=32
C.x2+y2-6x+10y+2=0
D.x2+y2-6x+10y-2=0
8.(2021江西会昌中学高二第一次月考)若直线y=k(x-1)+2与圆x2+(y-1)2=2相切,则k的值为( )
A.2 B.-2 C.1 D.-1
9.(2020江苏扬州江都大桥高级中学高一下学情调研)以(1,m)为圆心,且与两条直线2x-y+4=0,2x-y-6=0都相切的圆的标准方程为( )
A.(x-1)2+(y+9)2=5 B.(x-1)2+(y-11)2=25
C.(x-1)2+(y-1)2=5 D.(x-1)2+(y+9)2=25
10.(2020黑龙江佳木斯第二中学高一下期末)在平面直角坐标系中,以(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为( )
A.(x-1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=2
C.(x-2)2+(y+1)2=1 D.(x-2)2+(y+1)2=2
11.(2020江苏无锡第一中学高一下期中)从点P(m,2)向圆(x+3)2+(y+3)2=1引切线,则切线长的最小值为( )
A.4 B.26 C.5 D.26
12.若过点M(a,4)总有两条直线与圆x2+y2-6y=0相切,则实数a的取值范围是 .
13.(2021湖北武汉钢城四中高二上月考)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=r2的切线有且只有一条,则该切线的方程为 .
14.(2020浙江台州金清高中高二上期中)已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=2,点P(2,-1),过P点作圆C的切线PA,PB,A,B为切点.
(1)求PA,PB所在直线的方程;
(2)求切线长|PA|.
题组三 与弦长有关的问题
15.(2020北京西城高三二模)圆x2+y2+4x-2y+1=0截x轴所得弦的长度等于( )
A.2 B.23 C.25 D.4
16.(2021江西南昌第二中学高二上第一次月考)若PQ是圆x2+y2=9的弦,PQ的中点是(1,2),则直线PQ的方程是( )
A.x+2y-3=0 B.x+2y-5=0
C.2x-y+4=0 D.2x-y=0
17.(多选题)(2020河北沧州第三中学高一下期末)圆x2+y2-2x+4y-20=0截直线5x-12y+c=0所得的弦长为8,则c的值可能是( )
A.10 B.-68
C.5 D.-34
18.直线y=kx+3被圆(x-2)2+(y-3)2=4截得的弦长为23,则k=( )
A.3 B.±3
C.33 D.±33
19.(2020黑龙江伊春伊美第二中学高二上月考)M(3,0)是圆x2+y2-8x-4y+10=0内一点,则过点M的最长的弦所在的直线方程是( )
A.x+y-3=0 B.x-y-3=0
C.2x-y-6=0 D.2x+y-6=0
20.(多选题)(2020江苏淮安六所四星级中学高一下联考)已知圆(x-1)2+(y-1)2=4与直线x+my-m-2=0,则下列说法正确的是( )
A.直线与圆必相交
B.直线与圆不一定相交
C.直线与圆相交且被截的最短弦长为23
D.直线与圆可以相切
21.若a,b,c是直角三角形的三边(c为斜边),则直线ax+by+c=0被圆x2+y2=2所截得的弦长等于 .
22.(2021江苏江浦高级中学高二上检测)直线3x-4y-5=0与圆C:(x-2)2+(y-1)2=25相交于A,B两点,求△ABC的面积.
23.(2021河北保定唐县第一中学高二上月考)圆C的半径为5,圆心在x轴的负半轴上,且直线3x+4y+4=0被圆C所截得的弦长为6,求圆C的方程.
24.圆C:x2+y2-2x-11=0内有一点P(2,2),过点P作直线l交圆C于A,B两点.
(1)当直线l的倾斜角为45°时,求弦AB的长;
(2)当弦AB被点P平分时,求直线l的方程.
25.(2021安徽滁州定远民族中学高二上月考)已知圆C:x2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0.
(1)求证:对m∈R,直线l与圆C总有两个不同的交点;
(2)设直线l与圆C交于A,B两点,若|AB|=17,求直线l的方程.
能力提升练
题组一 直线与圆相切
1.(2020安徽滁州高一下期末,)从原点O引圆(x-m)2+(y-2)2=m2+1的切线为y=kx,当m变化时,切点P的轨迹方程是( )
A.x2+y2=2 B.(x-1)2+y2=3
C.(x-1)2+(y-1)2=1 D.x2+y2=3
2.(2020江苏邗江中学高一下期中,)从圆x2-2x+y2-2y+1=0外一点P(3,2)向这个圆引两条切线,则两切线夹角的余弦值为( )
A.0 B.12
C.32 D.35
3.(2021重庆复旦中学高二上第一次段考,)过点P(-2,4)作圆C:(x-2)2+(y-1)2=25的切线l,直线m:ax-3y=0与切线l平行,则切线l与直线m间的距离为( )
A.4 B.2 C.85 D.125
4.(多选题)(2021河北大名第一中学高二上月考,)已知A是直线l:x+y-2=0上一定点,P、Q是圆x2+y2=1上的动点,若∠PAQ的最大值为90°,则点A的坐标可以是( )
A.(0,2) B.(1,2-1)
C.(2,0) D.(2-1,1)
5.()由点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上,被x轴反射,若反射光线所在直线与圆C:x2+y2-4x-4y+7=0相切,则光线l所在的直线方程为 .
6.(2021福建厦门二中高二月考,)已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0.
(1)求过点(1,3)且与圆C相切的直线的方程;
(2)O为坐标原点,动点P在圆外,直线PM与圆C相切于点M.若|PM|=|PO|,求点P的轨迹方程.
题组二 直线与圆相交
7.(2020江西信丰中学高三上第一次月考,)直线l:y=kx+1与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,则“k=1”是“△OAB的面积为12”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
8.(2020安徽池州第一中学高二上期中教学质量检测,)直线l:kx-2y-3=0与圆C:(x-1)2+(y+2)2=4交于A、B两点,若△ABC的周长为4+23,则实数k的值为 ( )
A.32 B.-32 C.±32 D.±12
9.(多选题)(2020山东德州高三第二次模拟,)直线y=kx-1与圆C:(x+3)2+(y-3)2=36相交于A、B两点,则|AB|可能为( )
A.6 B.8 C.12 D.16
10.(2021四川成都七中高二上阶段性考试,)平面直角坐标系内,过点D(2,0)的直线l与曲线y=1-x2相交于A、B两点,当△AOB的面积最大时,直线l的斜率为( )
A.-33 B.-3 C.-12 D.-22
11.()已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0,若存在圆C的弦AB,使得|AB|=23,且其中点M在直线2x+y+k=0上,则实数k的取值范围是 .
12.(2021湖北宜城第三高级中学高二上月考,)已知圆C:x2+y2+2x-7=0内一点P(-1,2),直线l过点P且与圆C交于A,B两点.
(1)若直线l的斜率为3,求弦AB的长;
(2)若圆上恰有三个点到直线l的距离等于2,求直线l的方程.
13.(2020湖南株洲南方中学高一下期末,)已知圆C的圆心在x的正半轴上,半径为5,直线x-y+3=0被圆C截得的弦长为217.
(1)求圆C的方程;
(2)直线ax-y+5=0与圆C交于A,B两点,且圆心C在以AB为直径的圆的内部,求实数a的取值范围.
14.(2021江西南昌八一中学高二月考,)已知圆C:x2+y2-8y+12=0,直线l:(3m+1)x+(1-m)y-4=0.
(1)证明:直线l总与圆C相交;
(2)当直线l被圆C所截得的弦长为23时,求直线l的方程;
(3)当m=0时,直线l与圆C交于M、N两点,求过M、N两点且截y轴所得的弦长为42的圆的方程.
题组三 直线与圆位置关系的综合问题
15.(2021河南名校联考高三上第一次模拟,)已知圆C:(x-a)2+y2=4(a≥2)与直线x-y+22-2=0相切,则圆C截直线x-y-4=0所得的弦长为( )
A.1 B.2 C.2 D.22
16.(2020辽宁本溪高二下验收,)过坐标原点O作圆(x-3)2+(y-4)2=1的两条切线,切点分别为A,B,直线AB被圆截得的弦AB的长度为( )
A.465 B.265 C.6 D.365
17.(2021天津塘沽一中高二上期中,)已知圆心在直线x-3y=0上的圆C与y轴的正半轴相切,且圆C截x轴所得的弦长为42,则圆C的方程为 .
18.(2020四川宜宾高二上期末,)已知圆C与直线l1:2x+y-5=0相切于点M(2,1),点P(1,1)在圆C内,且过点P的最短弦所在直线的方程为l2:x+y-2=0,求圆C的标准方程.
19.()如图,已知一艘海监船O上配有雷达,其监测范围是半径为25km的圆形区域,一艘外籍轮船从位于海监船正东40km的A处出发,径直驶向位于海监船正北30km的B处岛屿,速度为28km/h.
问:这艘外籍轮船能否被海监船监测到?若能,持续多长时间?
答案全解全析
基础过关练
1.A 由题意,可得圆心(0,1)到直线2x-y+3=0的距离d=|0-1+3|22+(-1)2=255<5,所以直线与圆相交.故选A.
2.B 由x2+y2-2ax+2by=0,得(x-a)2+(y+b)2=a2+b2,∴圆心坐标为(a,-b),半径为a2+b2.圆心到直线ax-by=0的距离d=|a2+b2|a2+b2=a2+b2,∴直线ax-by=0与圆x2+y2-2ax+2by=0相切.故选B.
3.D 由直线l:mx-y-m+3=0,得m(x-1)-y+3=0,由x-1=0,-y+3=0,得x=1,y=3,因此直线l过定点(1,3),记A(1,3).圆C:(x-2)2+y2=4的圆心为C(2,0),半径r=2.∵|CA|=(2-1)2+(0-3)2=2,∴点A在圆C上,∴直线l与圆C不可能相离,故选D.
4.AD 圆(x+a)2+y2=a2的圆心为(-a,0),半径为|a|,则圆心(-a,0)到直线ax-y+a=0的距离d=|-a2+a|a2+1,不妨令|-a2+a|a2+1<|a|,可得|1-a|a2+1<1,即1-2a+a2<1+a2,当a>0时,不等式恒成立;当a<0时,不等式不成立,说明直线与圆相离,但是直线的斜率为负数,所以A正确,B不正确,C不正确,D正确,故选AD.
5.答案 相交或相离
解析 由题知C(-2,1),圆C的半径为2,则|-2k-1+1|k2+1=2,解得k=±1,∴直线l的方程为y=±x+1,由题知D(2,0),圆D的半径为3,k=1时,D到直线l的距离为|2+1|2=322>3,此时直线l与圆D相离;k=-1时,D到直线l的距离为|-2+1|2=22<3,此时直线l与圆D相交,故直线l与圆D相离或相交.
6.B 因为(2-1)2+12=2,所以点M(2,1)在圆C:(x-1)2+y2=2上,所以过点M(2,1)作圆C:(x-1)2+y2=2的切线仅有1条.故选B.
7.C ∵直线与圆相切,∴圆的半径r=|3+5×7+2|12+(-7)2=4052=42,∴r2=32,所以圆M的方程为(x-3)2+(y+5)2=32,即x2+y2-6x+10y+2=0.故选C.
8.D 根据题意,圆x2+(y-1)2=2的圆心为(0,1),半径r=2,∵直线y=k(x-1)+2与圆x2+(y-1)2=2相切,∴|-k-1+2|k2+1=2,整理得(k+1)2=0,∴k=-1,故选D.
9.C 设圆的半径为r,则r=|2-m+4|5=|2-m-6|5,得m=1,r=5,所以圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=5,故选C.
10.B 记圆心为C(1,0),直线方程可化为m(x-2)-y-1=0,可知直线过定点P(2,-1),当CP与已知直线垂直时圆的半径最大,最大值为(1-2)2+(0+1)2=2,此时圆的标准方程为(x-1)2+y2=2,故选B.
11.B 记圆(x+3)2+(y+3)2=1的圆心为C,半径为r,
则C(-3,-3),r=1,切线长为|PC|2-r2,
又|PC|=(m+3)2+(2+3)2≥5,
当且仅当m=-3时,|PC|取得最小值5,
所以切线长的最小值为52-r2=52-12=26.故选B.
名师点睛
求切线长的关键是构建直角三角形,即以点到圆心的距离为斜边,半径和切线长为直角边构建直角三角形.
12.答案 (-∞,-22)∪(22,+∞)
解析 过点M(a,4)总有两条直线与圆x2+y2-6y=0相切,故点在圆外,故a2+16-24>0,解得a>22或a<-22.
13.答案 2x+y-7=0
解析 ∵过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=r2的切线有且只有一条,∴点(3,1)在圆(x-1)2+y2=r2上,∵圆心与切点连线的斜率k=1-03-1=12,∴切线的斜率为-2,则圆的切线方程为y-1=-2(x-3),即2x+y-7=0.
14.解析 (1)圆心到直线x=2的距离d=2-1=1≠2,所以切线的斜率存在,设切线方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0,圆心到切线的距离d=|3+k|1+k2=2,解得k=-1或k=7,所以PA,PB所在直线的方程分别为x+y-1=0,7x-y-15=0或7x-y-15=0,x+y-1=0.
(2)由切线长公式得|PA|=|PC|2-|AC|2=(2-1)2+(-1-2)2-2=22.
15.B x2+y2+4x-2y+1=0可化为(x+2)2+(y-1)2=4,
所以圆心为(-2,1),半径r=2,所以圆截x轴所得弦的长度l=2r2-1=23,故选B.
16.B 因为PQ的中点与圆心连线垂直PQ,所以kPQ=-1-02-0=-12,所以直线PQ的方程是y-2=-12(x-1),即x+2y-5=0,故选B.
17.AB 圆x2+y2-2x+4y-20=0化为标准方程为(x-1)2+(y+2)2=52,则圆心为(1,-2),半径r=5,又弦长l=8,∴圆心到直线的距离d=r2-12l2=52-42=3=|5×1-12×(-2)+c|52+(-12)2,解得c=10或c=-68.故选AB.
18.D 因为直线y=kx+3被圆(x-2)2+(y-3)2=4截得的弦长为23,所以圆心(2,3)到直线的距离d=4-(3)2=1,所以|2k-3+3|k2+1=|2k|k2+1=1,解得k=±33,故选D.
19.C 圆x2+y2-8x-4y+10=0的圆心坐标为(4,2),则过点M(3,0)且过圆心(4,2)的弦最长,则最长弦所在直线的斜率k=2-04-3=2,直线方程是y=2(x-3),即2x-y-6=0.故选C.
20.AC 由题意,圆(x-1)2+(y-1)2=4的圆心为(1,1),半径r=2,将x+my-m-2=0变形为x-2+m(y-1)=0,得直线过定点(2,1),∵(2-1)2+(1-1)2=1<2,∴直线与圆必相交,故A对,B、D错;由平面几何知识可知,当直线x+my-m-2=0与过定点(2,1)和圆心的直线垂直时,弦长最小,此时弦长为222-12=23,故C对.
故选AC.
21.答案 2
解析 由题意得a2+b2=c2,圆心(0,0)到直线ax+by+c=0的距离d=|0+0+c|a2+b2=cc=1,再根据半径r=2,可得弦长为2r2-d2=2.
22.解析 由题知圆心为C(2,1),半径为5,圆心到直线的距离d=|6-4-5|32+(-4)2=35.由勾股定理得|AB|=225-352=41545,所以S△ABC=12×|AB|×d=12×41545×35=615425.
23.解析 设圆心为(a,0)(a<0),由题知圆C的半径为5,弦长为6,∴圆心到直线3x+4y+4=0的距离为52-32=4.又圆心到直线3x+4y+4=0的距离d=|3a+4|5,∴|3a+4|5=4,解得a=-8.∴圆C的方程为(x+8)2+y2=25.
24.解析 (1)化圆C:x2+y2-2x-11=0为(x-1)2+y2=12,则圆心为C(1,0),半径r=23.若直线l的倾斜角为45°,则斜率为1,又直线l过点P(2,2),则直线l的方程为y-2=x-2,即x-y=0.圆心C到直线l的距离d=12,则弦AB的长为212-12=46.
(2)当弦AB被点P平分时,l与直线PC垂直.又kPC=2-02-1=2,∴直线l的斜率为-12,则直线l的方程为y-2=-12(x-2),即x+2y-6=0.
25.解析 (1)证明:直线mx-y+1-m=0可化为m(x-1)-y+1=0,其经过定点(1,1),∵12+(1-1)2<5,∴定点在圆内,故对m∈R,直线l与圆C总有两个不同的交点.
(2)圆心(0,1)到直线l:mx-y+1-m=0的距离d=|m·0-1+1-m|m2+1=|m|m2+1,而|AB|=2r2-d2=17,即2×5-m2m2+1=17,即17=44+1m2+1,解得m=±3,故直线l的方程为3x-y+1-3=0或3x+y-(1+3)=0.
能力提升练
1.D 设P(x,y),则|OP|=m2+4-m2-1=3,∴x2+y2=3,故选D.
2.D 圆x2-2x+y2-2y+1=0的圆心坐标为(1,1),半径r=1,设A(1,1),两切线夹角为θ,则sinθ2=r|PA|=15,所以csθ=1-2sin2θ2=1-25=35.故选D.
3.A 圆C:(x-2)2+(y-1)2=25的圆心为(2,1),半径r=5,设切线l:ax-3y+m=0(m≠0),则-2a-12+m=0,∴m=2a+12,则切线l:ax-3y+2a+12=0,因此|2a-3+2a+12|a2+(-3)2=5,解得a=4,因此切线l与直线m间的距离为|2×4+12|42+(-3)2=4,故选A.
4.AC 如图所示:
圆心到直线l的距离d=212+12=1,则直线l与圆x2+y2=1相切,由图可知,当AP、AQ均为圆x2+y2=1的切线时,∠PAQ取得最大值.连接OP、OQ,由于∠PAQ的最大值为90°,且∠APO=∠AQO=90°,|OP|=|OQ|=1,则四边形APOQ为正方形,所以|OA|=2|OP|=2,设A(t,2-t),由两点间的距离公式得|OA|=t2+(2-t)2=2,整理得2t2-22t=0,解得t=0或t=2,因此,点A的坐标为(0,2)或(2,0).故选AC.
5.答案 3x+4y-3=0或4x+3y+3=0
解析 易知圆C的标准方程是(x-2)2+(y-2)2=1,它关于x轴的对称圆C'的方程是(x-2)2+(y+2)2=1,设光线l所在直线的方程是y-3=k(x+3),即kx-y+3k+3=0,由题设知对称圆的圆心C'(2,-2)到这条直线的距离等于1,即d=|5k+5|1+k2=1,整理得12k2+25k+12=0,解得k=-34或k=-43.故光线l所在的直线方程是y-3=-34(x+3)或y-3=-43(x+3),即3x+4y-3=0或4x+3y+3=0.
6.解析 (1)把圆C的方程化为标准方程得(x+1)2+(y-2)2=4,则圆心为C(-1,2),半径r=2.当切线的斜率不存在时,切线方程为x=1,C到l的距离d=2=r,满足条件.
当切线的斜率存在时,设斜率为k,得切线方程为y-3=k(x-1),即kx-y+3-k=0,则|-k-2+3-k|1+k2=2,解得k=-34,故切线方程为y-3=-34(x-1),即3x+4y-15=0.
综上,满足条件的切线方程为x=1或3x+4y-15=0.
(2)设P(x,y),则|PM|2=|PC|2-|MC|2=(x+1)2+(y-2)2-4,|PO|2=x2+y2.∵|PM|=|PO|,∴(x+1)2+(y-2)2-4=x2+y2,整理得2x-4y+1=0,
∴点P的轨迹方程为2x-4y+1=0.
7.A 当k=1时,圆心(0,0)到直线l:y=x+1的距离d=22,所以弦长|AB|=212-222=2,所以S△OAB=12×2×22=12,所以充分性成立.由圆的对称性可知,当k=-1时,△OAB的面积也为12,所以必要性不成立.故选A.
8.A 易知圆C:(x-1)2+(y+2)2=4的圆心为C(1,-2),半径r=2,若△ABC的周长为4+23,则2r+|AB|=4+23,得|AB|=23,又弦心距d=|k+4-3|k2+4=|k+1|k2+4,故由r2=d2+|AB|22,得4=(k+1)2k2+4+3,解得k=32.故选A.
9.BC 因为直线y=kx-1过定点(0,-1),故圆C的圆心(-3,3)到直线y=kx-1的距离最大为(-3-0)2+(3+1)2=5.又圆C的半径为6,所以弦长|AB|的最小值为262-52=211.又当直线y=kx-1过圆心时弦长|AB|取最大值,为直径12,故|AB|∈[211,12].故选BC.
10.A 曲线y=1-x2表示以原点O为圆心,1为半径的上半圆,由题意可作图如下:
则△AOB的面积S=12|OA||OB|·sin∠AOB=12sin∠AOB,要使三角形的面积最大,则需sin∠AOB=1,即∠AOB=90°,则|AB|=2,取AB的中点C,则|OC|=12|AB|=22,∵|OD|=2,∴sin∠ODC=|OC||OD|=222=12,则∠ODC=30°,∠ADx=150°,即直线l的倾斜角为150°,则直线l的斜率k=tan150°=-33,故选A.
11.答案 [-5,5]
解析 圆C的方程可化为(x+1)2+(y-2)2=4,则圆心为C(-1,2),半径r=2,由于弦AB满足|AB|=23,且其中点为M,则|CM|=r2-|AB|22=1,因此点M在以C(-1,2)为圆心,1为半径的圆上,又点M在直线2x+y+k=0上,故直线2x+y+k=0与圆(x+1)2+(y-2)2=1有公共点,于是|-2+2+k|5≤1,解得-5≤k≤5.
12.解析 (1)圆C的标准方程为(x+1)2+y2=8,圆心为(-1,0),半径r=22,直线l的方程为y-2=3(x+1),即3x-y+2+3=0,圆心到直线l的距离d=|-3-0+2+3|3+1=1,所以|AB|=2r2-d2=2(22)2-1=27.
(2)因为圆上恰有三个点到直线l的距离等于2,所以圆心(-1,0)到直线l的距离d=r-2=2.当直线l垂直于x轴时,直线l的方程为x=-1,经验证不符合题意;当直线l不垂直于x轴时,设直线l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+2+k=0,由d=|-k+2+k|k2+1=2k2+1=2,可得k=±1,故直线l的方程为x-y+3=0或x+y-1=0.
13.解析 (1)设圆心为C(m,0)(m>0),则C到直线x-y+3=0的距离d'=|m+3|2,
∴弦长为252-|m+3|22=217,
解得m=1(m=-7舍去),
∴圆C的方程为(x-1)2+y2=25.
(2)圆心C到直线ax-y+5=0的距离d=|a+5|a2+1,直线与圆相交,则d512,又12|AB|=r2-d2=25-|a+5|a2+12=25-(a+5)2a2+1,∵圆心C在以AB为直径的圆的内部,∴d<12|AB|,即|a+5|a2+1<25-(a+5)2a2+1,化简得23a2-20a-25>0,解得a<10-15323或a>10+15323.综上,实数a的取值范围是-∞,10-15323∪10+15323,+∞.
14.解析 (1)证明:圆C的标准方程为x2+(y-4)2=4,
∴圆心为C(0,4),半径r=2,
直线l:(3m+1)x+(1-m)y-4=0可化为(3x-y)m+(x+y-4)=0,
令3x-y=0,x+y-4=0,解得x=1,y=3,
∴直线l过定点(1,3),记M(1,3),
∴|CM|=(1-0)2+(3-4)2=2<2=r,
∴定点M(1,3)在圆内,
∴直线l总与圆C相交.
(2)∵直线l被圆C所截得的弦长为23,∴圆心C(0,4)到直线l的距离d=r2-2322=22-3=1,
∵直线l:(3m+1)x+(1-m)y-4=0,
∴d=|(3m+1)×0+(1-m)×4-4|(3m+1)2+(1-m)2
=|-4m|(3m+1)2+(1-m)2,
∴|-4m|(3m+1)2+(1-m)2=1,解得m=-13或m=1,∴直线l的方程为x=1或y=3.
(3)设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=n2(n>0),当m=0时,直线l:x+y-4=0,
由x+y-4=0,x2+(y-4)2=4,解得x=2,y=4-2或x=-2,y=4+2,不妨设点M(2,4-2),点N(-2,4+2),
则(2-a)2+(4-2-b)2=n2,①
(-2-a)2+(4+2-b)2=n2,②
令x=0,得(0-a)2+(y-b)2=n2,
解得y1=b+n2-a2,y2=b-n2-a2,
因为圆截y轴所得的弦长为42,
所以|y1-y2|=2n2-a2=42,③
由①②③,解得a=-2,b=2,n=23或a=2,b=6,n=23,
所以圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=12或(x-2)2+(y-6)2=12.
15.D 圆心C(a,0)到直线x-y+22-2=0的距离d1=|a+22-2|2=2,解得a=2或a=2-42,因为a≥2,所以a=2,所以圆C:(x-2)2+y2=4,圆心C(2,0)到直线x-y-4=0的距离d2=|2-4|2=2,所以圆C截直线x-y-4=0所得的弦长l=2r2-d22=22,故选D.
16.A 如图所示,设圆(x-3)2+(y-4)2=1的圆心为M,则M(3,4),半径r=1.
则|OM|=32+42=5,|OA|=52-12=26,
则S△AOM=12×|OA|×|MA|=12×|OM|×|AB|2,
可得|AB|=2×|OA|×|MA||OM|=465,故选A.
17.答案 (x-3)2+(y-1)2=9
解析 因为圆心在直线x-3y=0上,所以设圆心为C(3a,a),半径为r,由圆C与y轴的正半轴相切,可得r=3a(a>0),又圆C截x轴所得的弦长为42,则42=2r2-a2=28a2,解得a=1,所以圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=9.
18.解析 设圆C的圆心为C(a,b),半径为r.∵圆C与直线l1:2x+y-5=0相切于点M(2,1),∴kCM·kl1=-1,|CM|=r,
即b-1a-2·(-2)=-1①,
(a-2)2+(b-1)2=r②,
∵过点P的最短弦所在直线的方程为l2:x+y-2=0,∴kPC·kl2=-1,
即b-1a-1·(-1)=-1③,
由①②③可解得a=0,b=0,r=5,
∴圆C的标准方程为x2+y2=5.
19.信息提取 ①海监船O的监测范围是半径为25km的圆形区域;②A在O的正东40km处,B在O的正北30km处;③外籍轮船从A驶向B.
数学建模 以航海中的实际问题的航线及监测范围为背景,建立直线与圆的位置关系的模型.建立平面直角坐标系,问题转化为探索圆与直线是否相交,只需用点到直线的距离公式即可判断,监测时间为直线被圆所截得的弦长除以轮船的速度.
解析 以O为原点,东西方向为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,则A(40,0),B(0,30),圆O的方程为x2+y2=252.
直线AB的方程为x40+y30=1,即3x+4y-120=0.设O到直线AB的距离为d,则d=|-120|5=24<25,所以外籍轮船能被海监船监测到.设监测时间为t,则t=2252-24228=0.5(h).
故外籍轮船能被海监船监测到,持续时间是0.5h.