高中数学人教版新课标A选修2-1第三章空间向量与立体几何综合与测试习题

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这是一份高中数学人教版新课标A选修2-1第三章空间向量与立体几何综合与测试习题，共17页。试卷主要包含了下列命题正确的是等内容，欢迎下载使用。

易错点1 对空间向量的相关概念理解不清
1.(2020江西抚州临川一中高二上月考,)如图,已知空间四边形每条边和对角线长都等于a,点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列向量的数量积等于a2的是( )
A.2AB·CA B.2AC·FG
C.2AD·DC D.2EF·DB
2.()已知a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=4,则向量a与b之间的夹角为( )
A.30° B.45°
C.60° D.以上都不对
3.()空间中的三个向量若有两个向量共线,则这三个向量共面.(填“一定”或“不一定”)
4.(2020海南海口海南中学高二上期中,)若AB=λCD+μCE(λ,μ∈R),则直线AB与平面CDE的位置关系为 .
易错点2 忽略向量中的特殊情况
5.(2020湖南长沙长郡中学高二上检测,)下列命题正确的是( )
A.若a与b共线,b与c共线,则a与c共线
B.向量a、b、c共面,即它们所在的直线共面
C.若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb
D.零向量是模为0,方向任意的向量
6.(2020湖南师范大学附属中学高二期末,)已知a=(5,3,1),b=-2,t,-25,若a与b的夹角为钝角,求实数t的取值范围.
易错点3 混淆向量夹角范围与空间角范围
7.()在正方体ABCD-A1B1C1D1中,向量AB与向量C1A1的夹角是( )
A.150° B.135° C.45° D.30°
8.(2020天津武清高三上期中,)在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.
(1)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值;
(2)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求平面FAB与平面PAB夹角的余弦值.
易错点4 不能正确地建立空间直角坐标系解决立体几何问题
9.(2020山东泰安高二期末,)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面PDC是边长为a的正三角形,且平面PDC⊥底面ABCD,E为PC的中点.
(1)求异面直线PA与DE所成角的余弦值;
(2)求直线AP与平面ABCD所成角的正弦值.
思想方法练
一、函数与方程思想在立体几何中的应用
1.(2020安徽芜湖高二期末,)已知空间直角坐标系Oxyz中有一点A(-1,-1,2),点B是平面xOy内的直线x+y=1上的动点,则A,B两点的最短距离是( )
A.6 B.342
C.3 D.172
2.(2020北京石景山高二期末,)如图,在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,E,F,G分别是BC,PC,CD的中点.
(1)求证:BG⊥平面PAE;
(2)在线段BG上是否存在点H,使得FH∥平面PAE?若存在,求出BHBG的值;若不存在,说明理由.
二、转化与化归思想在立体几何中的应用
3.(2019云南师大附中高三月考,)如图①,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,CD=2AB=2BC=4,过A作AE⊥CD,垂足为E,现将△ADE沿AE折叠,使得DE⊥EC.取AD的中点F,连接BF,CF,EF,BE,如图②.
(1)求证:BC⊥平面DEC;
(2)求二面角C-BF-E的余弦值.
三、数形结合思想在立体几何中的应用
4.(2020北京东城高三一模,)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD为平行四边形,AB⊥AC,AB=AC=1,PD=1.
(1)求证:AD∥平面PBC;
(2)求二面角D-PC-B的余弦值.
答案全解全析
易混易错练
1.B 由题意易得AB与CA、AD与DC的夹角均为π-π3=2π3,EF与DB的夹角为π,AC与FG的夹角为0,故2AB·CA=-a2,2AD·DC=-a2,2EF·DB=-a2,2AC·FG=a2,故选B.
2.D ∵a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=4,
∴这三个向量首尾相连组成△ABC.
令AB=c,CA=b,BC=a,
则BC=2,CA=3,AB=4.
由余弦定理,得cs∠BCA=BC2+CA2-AB22BC·CA=22+32-422×2×3=-14,
又向量BC和CA首尾相连,
∴这两个向量的夹角是180°-∠BCA,
∴cs=14,
即向量a与b之间的夹角不是特殊角.
故选D.
易错警示
由于向量具有方向,因此其夹角的概念不同于两直线夹角的概念.如向量BC和CA的夹角不是∠BCA,而是180°-∠BCA.
3.答案一定
解析空间向量均是自由向量,若三个向量中的两个向量共线,则三个向量一定能平移到同一平面内,所以这三个向量一定共面.
4.答案 AB⊂平面CDE或AB∥平面CDE
解析由AB=λCD+μCE(λ,μ∈R)及共面向量定理可知向量AB与向量CD、CE共面,则直线AB可能在平面CDE内,也可能和平面CDE平行.
易错警示
在解题时易忽略空间向量是自由向量而弄错向量与平面的位置关系.
5.D 由于零向量与任意向量共线,所以若b为零向量,则a与c关系不确定,A错;向量共面时,它们所在的直线不一定共面,B错;共线向量定理中,当b不是零向量时,才存在唯一的实数λ,使a=λb,否则λ可能不存在,C错;D显然正确.
易错警示
本题容易忽略零向量的特殊性和共线向量定理中的限制条件而误认为A、C正确.
6.解析由已知得a·b=5×(-2)+3t-25=3t-525.
因为a与b的夹角为钝角,所以a·b<0,
所以3t-525<0,即t<5215.
若a与b的夹角为180°,则存在λ<0,使a=λb,即(5,3,1)=λ-2,t,-25,
所以5=λ·(-2),3=λ·t,1=λ·-25,解得t=-65.
故t的取值范围为-∞,-65∪-65,5215.
易错警示
本题易忽略a·b<0时包含a与b的夹角为180°的情况,所以需注意排除该情况下变量的值.
7.B 如图,建立空间直角坐标系,
设正方体的棱长为1,则A(0,0,0),B(1,0,0),C1(1,1,1),A1(0,0,1),
∴AB=(1,0,0),C1A1=(-1,-1,0),
∴cs=AB·C1A1|AB||C1A1|=-12=-22,
∴向量AB与向量C1A1的夹角是135°.
8.解析 (1)如图,建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(1,1,1),
所以BE=(0,1,1),PB=(1,0,-2),PD=(0,2,-2).设平面PBD的法向量为m=(x,y,z),则由m⊥PB,m⊥PD,
得m·PB=x-2z=0,m·PD=2y-2z=0,
令z=1,得x=2,y=1,即m=(2,1,1),
所以cs=BE·m|BE||m|=22×6=33.
设直线BE与平面PBD所成角为α,则sin α=|cs|=33,即直线BE与平面PBD所成角的正弦值为33.
(2)由(1)得PC=(2,2,-2),PB=(1,0,-2),AC=(2,2,0).
设PF=λPC(0≤λ≤1),则BF=PF-PB=λPC-PB=(2λ,2λ,-2λ)-(1,0,-2)=
(2λ-1,2λ,2-2λ).
由题意得BF·AC=4λ-2+4λ=0,解得λ=14,
所以F12,12,32,
显然,AD=(0,2,0)是平面PAB的一个法向量.设n=(x1,y1,z1)是平面FAB的法向量,因为AF=12,12,32,BF=-12,12,32,
所以n·AF=12x1+12y1+32z1=0,n·BF=-12x1+12y1+32z1=0,
令z1=1,则y1=-3,x1=0,所以n=(0,-3,1).
所以cs=-62×10=-31010.
设平面FAB与平面PAB的夹角为β,
则cs β=|cs|=31010,
即平面FAB与平面PAB的夹角的余弦值为31010.
总结反思
1.利用空间向量求线线角、线面角、二面角的关键是转化为直线的方向向量、平面的法向量之间的角.
2.cs=a·b|a||b|是计算空间各种角的基础,但应注意所求角与两向量夹角之间的关系及所求角的取值范围.
9.解析取DC的中点O,连接PO,
∵△PDC为正三角形,∴PO⊥DC.
又∵平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=DC,PO⊂平面PDC,
∴PO⊥平面ABCD.
建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,
则P0,0,32a,Aa,-a2,0,C0,a2,0,D0,-a2,0.
(1)设异面直线PA与DE所成的角为θ.
∵E为PC的中点,∴E0,a4,34a,
∴DE=0,34a,34a,
易知PA=a,-a2,-32a,
∴PA·DE=34a×-a2+34a×-32a=-34a2,|PA|=2a,|DE|=32a,
∴cs=PA·DE|PA||DE|=-34a22a×32a=-64.
∵cs θ=|cs|,
∴异面直线PA与DE所成角的余弦值为64.
(2)设直线AP与平面ABCD所成的角为α,
易知平面ABCD的一个法向量n=0,0,32a,
∴cs=PA·n|PA||n|=-34a22a×32a=-64.
∵sin α=|cs|=64,
∴直线AP与平面ABCD所成角的正弦值为64.
易错警示
运用“坐标法”解答空间几何问题时,正确地建立空间直角坐标系是解题的关键.解题时,要依据空间几何体的结构特征,充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系建立空间直角坐标系.
思想方法练
1.B ∵点B是平面xOy内的直线x+y=1上的动点,∴设B(m,1-m,0).
由空间两点间的距离公式,
得|AB|=(-1-m)2+[-1-(1-m)]2+(2-0)2=2m2-2m+9.
令t=2m2-2m+9=2m-122+172,
将求两点间距离的最小值问题转化为求二次函数的最小值问题,体现了函数与方程思想.
∴当m=12时,t取最小值172.
∴A,B两点的最短距离是172=342.故选B.
2.解析 (1)证明:因为四棱锥P-ABCD的底面是正方形,且PA⊥平面ABCD,所以AB,AD,AP两两垂直.
以点A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(2,0,0),P(0,0,2),
E(2,1,0),F(1,1,1),G(1,2,0),
所以BG=(-1,2,0),AP=(0,0,2),AE=(2,1,0).
因为BG·AP=0,BG·AE=0,所以BG⊥AP,BG⊥AE,
又AE∩AP=A,
所以BG⊥平面PAE.
(2)假设在线段BG上存在点H,使得FH∥平面PAE.由(1)易得FB=(1,-1,-1),
BG=(-1,2,0).
设BH=λBG(0≤λ≤1),则FH=FB+BH=(1-λ,2λ-1,-1).
因为FH∥平面PAE,BG⊥平面PAE,
所以FH·GB=-1×(1-λ)+2(2λ-1)+0×(-1)=5λ-3=0.所以λ=35.
通过设元,寻找已知与未知间的等量关系,构造方程,运用了函数与方程思想.
所以在线段BG上存在点H,使得FH∥平面PAE,其中BHBG=35.
思想方法
在解决立体几何有关问题时,有时可通过设元,寻找已知与未知之间的等量关系,构造方程(组)或函数,然后解方程(组)或求函数最值完成未知向已知的转化.
3.解析 (1)证明:∵DE⊥EC,DE⊥AE,AE∩EC=E,∴DE⊥平面ABCE,
又∵BC⊂平面ABCE,∴DE⊥BC,
又∵BC⊥EC,DE∩EC=E,∴BC⊥平面DEC.
(2)如图,以E为坐标原点,EA,EC,ED的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系Exyz,∴E(0,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),F(1,0,1). ∴EF=(1,0,1),EB=(2,2,0),CF=(1,-2,1),CB=(2,0,0).
设平面EFB的法向量为n1=(x1,y1,z1),
则n1·EF=0,n1·EB=0,即x1+z1=0,2x1+2y1=0,
令x1=1,得平面EFB的一个法向量为n1=(1,-1,-1).
设平面BCF的法向量为n2=(x2,y2,z2),
则n2·CF=0,n2·CB=0,即x2-2y2+z2=0,2x2=0,
令y2=1,得平面BCF的一个法向量为n2=(0,1,2).
设二面角C-BF-E的大小为α,由图知α为锐角,
∴cs α=|n1·n2||n1||n2|=|-1-2|5×3=155.
解题过程中要把握两个转化,一是平面向立体的转化;二是立体几何问题向空间向量问题的转化.体现了转化与化归的数学思想.
思想方法
空间向量的坐标及其运算为解决立体几何中的夹角、距离、垂直、平行等问题提供了方法,因此我们要善于把这些问题转化为向量的夹角、距离、垂直、平行等问题,利用向量的方法加以解决.一般地,先将几何问题转化为向量问题,然后利用性质进行运算和论证,最后将结果转化为几何问题,这种“从几何到向量,再从向量到几何”的转化与化归思想在本章尤为重要.
4.解析 (1)证明:∵底面ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,∵BC⊂平面PBC,AD⊄平面PBC,∴AD∥平面PBC.
(2)过D作平行于AC的直线Dx.
∵AB⊥AC,AB∥DC,∴Dx⊥DC,又PD⊥平面ABCD,
∴以D为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系Dxyz.建立空间直角坐标系,将几何中“形”的问题转化为空间向量中“数”的问题.
则C(0,1,0),P(0,0,1),B(1,2,0),
∴CB=(1,1,0),CP=(0,-1,1).
设平面PCB的一个法向量为n=(x,y,z),
则n·CB=x+y=0,n·CP=-y+z=0,取y=1,得n=(-1,1,1).
易知平面PCD的一个法向量m=(1,0,0).∴cs=m·n|m||n|=-11×3=-33.
由图可知,二面角D-PC-B为钝角,
∴二面角D-PC-B的余弦值为-33.
思想方法
数形结合思想最常见的是从“形”到“数”,有时也可以从“数”到“形”或“数”“形”互化.本章中主要是将立体几何中的“形”的问题,通过空间向量转化为“数”的问题,然后通过计算解决有关问题.