人教版新课标A选修2-32.1离散型随机变量及其分布列达标测试

这是一份人教版新课标A选修2-32.1离散型随机变量及其分布列达标测试，共13页。试卷主要包含了1　离散型随机变量及其分布列，已知下列随机变量，已知随机变量X的分布列如下，1B，设随机变量X的分布列如下等内容，欢迎下载使用。

2.1.1 离散型随机变量
2.1.2 离散型随机变量的分布列
基础过关练
题组一 随机变量与离散型随机变量的概念
1.(2020广西桂林第二高级中学高二模拟)已知下列随机变量:
①10件产品中有2件次品,从中任选3件,取到次品的件数X;
②一位射击手对目标进行射击,击中目标得1分,未击中目标得0分,用X表示该射击手在一次射击中的得分;
③刘翔在一次110米跨栏比赛中的成绩X;
④在体育彩票的抽奖中,一次摇号产生的号码数X.
其中X是离散型随机变量的是( )

A.①②③B.②③④
C.①②④D.③④
2.(2020山东莱州一中高二月考)甲、乙两人下象棋,赢了得3分,平局得1分,输了得0分,共下三局.用ξ表示甲的得分,则{ξ=3}表示( )
A.甲赢三局
B.甲赢一局
C.甲、乙平局三次
D.甲赢一局或甲、乙平局三次
3.自新冠疫情发生以来,全球医用防护物资几度告急,缺口较大,为了提高产能,缓解供求压力,某地方政府响应国家号召积极采取有力措施激励生产,共度时艰,具体措施是:政府统一规划相应急缺物资订单,根据相应产能匹配企业接单制作,在保质保量的前提下,接单企业每超额完成一个订单,政府额外补贴2万元.假设接单企业均能按约完成任务,而且每月超额的订单数都不超过10个,从这批企业中随机抽出一家,记抽出的企业超额的订单数为X,获得的超额奖励为Y万元.
(1)当X=5时,Y的值是多少?写出X和Y之间的关系;
(2)根据生产实际分别写出X和Y的取值范围.
4.(2020福建泉州高二模拟)在一个盒子中放有标号分别为1,2,3的三张卡片,现从这个盒子中有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x,y,记ξ=|x-2|+|x-y|.写出随机变量ξ的所有可能取值,并说明随机变量ξ所表示的随机试验的结果.
题组二 离散型随机变量的分布列
5.(2020山西大同中学模考)一个口袋中装有黑、白两个球,从中随机取一球,记下它的颜色,然后放回,再取一球,又记下它的颜色,写出这两次取出白球数X的分布列.
6.(2019河北邯郸高二期中)设集合S是不等式x2-x-6≤0的解集,整数m,n∈S.
(1)设“使得m+n=0成立的有序数组(m,n)”为事件A,试列举事件A包含的基本事件;
(2)设ξ=m2,求ξ的分布列.
题组三 离散型随机变量的分布列的性质
7.已知随机变量X的分布列如下(其中m为常数):
则m的值为( )
A.115B.15C.215D.415
8.(2019河南信阳高一期末)已知随机变量X的分布列如下(其中a为常数):
则下列计算结果错误的是( )
A.a=0.1B.P(X≥2)=0.7
C.P(X≥3)=0.4D.P(X≤1)=0.3
9.(2020山东寿光现代中学高二模拟)设随机变量X的分布列如下(其中m为常数):
若随机变量Y=|X-2|,则P(Y=2)= .
10.(2020河北张家口第一中学高二下月考)设随机变量X的分布列为PX=k5=ak(k=1,2,3,4,5).
(1)求常数a的值;
(2)求PX≥35的值;
(3)求P110题组四 两点分布与超几何分布
11.下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是( )
A.将一枚质地均匀的硬币连抛3次,记正面向上的次数为X
B.从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部,记选出女生的人数为X
C.某射手射击的命中率为0.8,现对目标射击1次,记命中目标的次数为X
D.盒中有形状、大小均相同的4个白球和3个黑球,每次从中摸出1个球且不放回,记首次摸出黑球时的总次数为X
12.(2020安徽亳州二中高二期末)已知离散型随机变量X的分布列如下:
则常数c为( )
A.13B.23C.13或23D.14
13.(2019江苏启东中学高一期中)某县共管辖15个小镇,其中有9个小镇交通比较便利,有6个小镇交通不太便利.现从中任意选取10个小镇,若其中有X个小镇交通不太便利,则下列概率中等于C64C96C1510的是( )
A.P(X=4)B.P(X≤4)
C.P(X=6)D.P(X≤6)
14.若随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=0.8,P(X=1)=0.2.令Y=3X-2,则P(Y=-2)等于( )
A.0.8 B.0.2 C.0.4 D.0.1
15.(2019重庆第八中学高二期末)10名学生中有a名女生,若从中抽取2名作为学生代表,恰好抽到1名女生的概率为1645,则a等于( )
A.1 B.2或8 C.2 D.8
16.(2019福建厦门一中高二期中)某支教队有8名老师,现从中随机选出2名老师参加志愿者活动.
(1)若选出的老师中至少有1名女老师,则共有18种不同的选取方案,试求该支教队男、女老师的人数;
(2)在(1)的条件下,记X为选出的2名老师中女老师的人数,写出X的分布列.
能力提升练

一、选择题
1.(2020四川德阳高二模拟,)设离散型随机变量X的分布列为
则下列各式中成立的是( )

A.P(X=1.5)=0B.P(X>-1)=1
C.P(X<3)=1D.P(X<0)=0
2.(2020江苏南通高二期末,)一个班级共有30名学生,其中有10名女生,现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动,假设选出的3名代表中女生的人数为X,男生的人数为Y,则P(X=2)+P(Y=2)等于( )
A.C102C202C303B.C102+C202C303
C.C102C201+C101C202C303D.(C102+C201)(C101+C202)C303
3.(2019河北邢台一中高二月考,)已知随机变量X的分布列为
若P(X2A.4≤t≤9B.44.(2020江苏南京师范大学附属中学高二期末,)某地7个村中有3个村是贫困村,现从中任意选3个村,则下列事件中概率等于67的是( )
A.至少有1个贫困村B.有1个或2个贫困村
C.有2个或3个贫困村D.恰有2个贫困村
5.(2020湖北武汉二中高二期中,)袋子中装有大小相同的八个小球,其中五个白球,分别编号为1、2、3、4、5;三个红球,分别编号为1、2、3.现从袋子中任取三个小球,它们的最大编号为随机变量X,则P(X=3)=( )
A.528B.17C.1556D.27
6.(2019山西运城康杰中学高二下期末,)若离散型随机变量X的分布列为P(X=k)=m·2k(2k+1-1)(2k-1)(1≤k≤5,k∈Z),则P32A.631 B.6162 C.2531 D.6263
二、填空题
7.(2019福建福州实验中学高二下期末,)设ξ是一个离散型随机变量,其分布列为
其中q为常数,则P(ξ≤0)= .
8.(2020山东青岛中学高二期中,)若随机变量X的分布列如下:
则a2+b2的最小值为 .
9.(2020河南信阳二模,)如图所示,A,B两点由5条线并联,它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.记从中任取三条线且在单位时间内能通过的最大信息总量为ξ,则P(ξ≥8)= .
10.(2019江苏盐城模拟,)一个袋子中装有10个形状、大小均相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是79.若从袋中任意摸出3个球,记得到的白球个数为X,则P(X=2)= .
三、解答题
11.()已知随机变量ξ的分布列如下:
其中a,b,c成等差数列,公差为d.
(1)求P(|ξ|=1)的值;
(2)求公差d的取值范围;
(3)求函数f(x)=x2+ξ有且只有一个零点的概率.
12.(2020北京牛栏山一中高三模拟,)由于研究性学习的需要,中学生李华持续收集了手机“微信运动”团队中特定20名成员每天行走的步数,其中某一天的数据记录如下:
5860 6520 7326 6798 7325 8430 8215
7453 7446 6754 7638 6834 6460 6830
9860 8753 9450 9860 7290 7850
对这20个数据按组距为1000进行分组,并统计整理,绘制了如下尚不完整的统计表(设步数为x).
(1)写出m,n的值;
(2)从A,E两个组别的数据中任取2个数据,记这2个数据步数差的绝对值为X,求X的分布列.
13.(2020广西柳州高级中学高二月考,)某汽车美容公司为吸引顾客,推出优惠活动:对首次消费的顾客,按200元/次收费,并注册成为会员,对会员逐次消费给予相应优惠,标准如下:
该公司注册的会员中没有消费超过5次的,从注册的会员中随机抽取了100位进行统计,得到统计数据如下:
假设汽车美容一次,公司成本为150元,根据所给数据,解答下列问题:
(1)某会员仅消费2次,求这2次消费中,公司获得的平均利润;
(2)以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,设该公司为一位会员服务的平均利润为X元,求X的分布列.
第二章 随机变量及其分布
2.1 离散型随机变量及其分布列
2.1.1 离散型随机变量
2.1.2 离散型随机变量的分布列
基础过关练
1.C ③中X的值可在某一区间内取值,不能一一列出,故不是离散型随机变量.由离散型随机变量的概念知①②④符合.故选C.
2.D 由于赢了得3分,平局得1分,输了得0分,故ξ=3有两种情况,即3+0+0或1+1+1,亦即甲赢一局或甲、乙平局三次,故选D.
3.信息提取 ①X=5;②接单企业每超额完成一个订单,政府额外补贴2万元;③每月超额的订单数都不超过10个.
数学建模 以疫情急缺物资征订,政府额外补贴为情境,分析随机变量的关系,以及求解随机变量的取值范围.
解析 (1)X=5表示超额完成了5个订单,因此按照激励制度可知Y=2×5=10万元.由已知可得Y=2X.
(2)每月超额的订单数都不超过10个,所以X的取值范围是{0,1,2,3,…,10},Y的取值范围是{0,2,4,6,…,20}.
4.解析 因为x,y的可能取值为1,2,3,
所以0≤|x-2|≤1,0≤|x-y|≤2,所以0≤ξ≤3,所以ξ的所有可能取值为0,1,2,3.
用(x,y)表示第一次抽到卡片的号码为x,第二次抽到卡片的号码为y,则随机变量ξ所表示的随机试验的结果为
ξ=0表示(2,2);
ξ=1表示(1,1),(2,1),(2,3),(3,3);
ξ=2表示(1,2),(3,2);
ξ=3表示(1,3),(3,1).
5.解析 由题意可得,X的所有可能取值为0,1,2.
P(X=0)=C11C11C21C21=14,P(X=1)=2C11C11C21C21=12,
P(X=2)=C11C11C21C21=14.
∴X的分布列为
6.解析 (1)由x2-x-6≤0,得-2≤x≤3,即S={x|-2≤x≤3}.
由于m,n∈Z,m,n∈S且m+n=0,
所以事件A包含的基本事件为(-2,2),(2,-2),(-1,1),(1,-1),(0,0).
(2)由于m的所有可能取值为-2,-1,0,1,2,3,
所以ξ=m2的所有可能取值为0,1,4,9.
P(ξ=0)=16,P(ξ=1)=26=13,
P(ξ=4)=26=13,P(ξ=9)=16.
故ξ的分布列为
7.B 由离散型随机变量的分布列的性质得115+215+m+415+13=1,解得m=15,故选B.
8.C 易得a=0.1,则P(X≥3)=0.3,故选C.
9.答案 0.5
解析 由离散型随机变量的分布列的性质可得0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,∴m=0.3,
则P(Y=2)=P(X=0)+P(X=4)=0.2+0.3=0.5.
10.解析 (1)由分布列的性质可知,a+2a+3a+4a+5a=1,解得a=115.
(2)∵PX=k5=115k(k=1,2,3,4,5),
∴PX≥35=PX=35+PX=45+P(X=1)=315+415+515=45.
(3)当11011.B 由超几何分布的定义可知B正确.
12.A 由随机变量的分布列的性质得9c2-c≥0,3-8c≥0,9c2-c+3-8c=1,解得c=13.
13.A 由题意得X服从超几何分布,因为该县管辖的15个小镇中有6个小镇交通不太便利,
所以从这6个交通不太便利的小镇中选取4个,其概率P(X=4)=C64C96C1510,故选A.
14.A 因为Y=3X-2,所以X=13(Y+2).当Y=-2时,X=0,所以P(Y=-2)=P(X=0)=0.8.
15.B 由题意知,1645=Ca1C10-a1C102,解得a=2或a=8.
16.解析 (1)设男老师有x人,则女老师有(8-x)(1≤x≤8,x∈N*)人,
若选出的老师中至少有1名女老师,则不同的选取方案有C82-Cx2=28-x(x-1)2=18种,
即x(x-1)=20,解得x=5(x=-4舍去),所以该支教队有男老师5人,女老师3人.
(2)易知X的所有可能取值为0,1,2,
则P(X=0)=C52C82=514,
P(X=1)=C31C51C82=1528,
P(X=2)=C32C82=328.
故X的分布列为
能力提升练
一、选择题
1.A 由分布列可得P(X=1.5)=0,A正确;P(X>-1)=15+110+15+25=910,B错误;P(X<3)=110+15+110+15=35,C错误;P(X<0)=P(X=-1)=110,D错误.故选A.
2.C 由题意得P(X=2)=C102C201C303,P(Y=2)=C101C202C303,所以P(X=2)+P(Y=2)=C102C201+C101C202C303.故选C.
3.B 由随机变量X的分布列知,X2的所有可能取值为0,1,4,9,且P(X2=0)=13,
P(X2=1)=14+112=13,
P(X2=4)=112+16=14,
P(X2=9)=112,
∵P(X24.B 用X表示这3个村庄中的贫困村数,X服从超几何分布,故P(X=k)=C3kC43-kC73,k=0,1,2,3,所以P(X=0)=C30C43C73=435,
P(X=1)=C31C42C73=1835,P(X=2)=C32C41C73=1235,P(X=3)=C33C40C73=135,
易知P(X=1)+P(X=2)=67.故选B.
5.D X=3有两种情况,第一种:取到一个编号为3的小球,此时P1=C21C42C83=314;第二种:取到两个编号为3的小球,此时 P2=C22C41C83=114,所以P(X=3)=P1+P2=314+114=27,故选D.
6.A 由题意得P(X=k)=m12k-1-12k+1-1(1≤k≤5,k∈Z),则由离散型随机变量的分布列的性质可得P(X=1)+P(X=2)+…+P(X=5)=m121-1-122-1+122-1-123-1+…+125-1-126-1=m1-126-1=1,∴m=6362,故P32二、填空题
7.答案 2-12
解析 由离散型随机变量的分布列的性质,得1-2q≥0,12+(1-2q)+q2=1,
解得q=1-22或q=1+22(舍去).
所以P(ξ≤0)=P(ξ=-1)+P(ξ=0)=12+1-2×1-22=2-12.
8.答案 29
解析 由随机变量X的分布列的性质得a≥0,b≥0,a+b=1-13=23,
∴a2+b22≥a+b2=13,即a2+b2≥29,
当且仅当a=b=13时取等号,此时a2+b2的最小值为29.
9.答案 45
解析 解法一(直接法):由已知得,ξ的所有可能取值为7,8,9,10.
P(ξ=7)=C22C21C53=15,
P(ξ=8)=C22C11+C21C22C53=310,
P(ξ=9)=C21C21C11C53=25,
P(ξ=10)=C22C11C53=110.
∴P(ξ≥8)=P(ξ=8)+P(ξ=9)+P(ξ=10)=310+25+110=45.
解法二(间接法):由已知得,ξ的所有可能取值为7,8,9,10,故P(ξ≥8)与P(ξ=7)是对立事件,
∴P(ξ≥8)=1-P(ξ=7)=1-C22C21C53=45.
10.答案 512
解析 设10个球中有m个白球,则C10-m2C102=1-79,解得m=5或m=14(舍去).
所以P(X=2)=C52C51C103=512.
三、解答题
11.解析 (1)因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,又a+b+c=1,所以b=13,则P(|ξ|=1)=P(ξ=-1)+P(ξ=1)=a+c=23.
(2)由(1)可知,a=13-d,c=13+d,由分布列的性质,得0≤13-d≤23且0≤13+d≤23,所以-13≤d≤13.
(3)因为函数f(x)=x2+ξ有且只有一个零点,
所以ξ=0,又P(ξ=0)=13,故函数f(x)有且只有一个零点的概率为13.
12.解析 (1)根据20个数据可得步数在[7500,8500)范围的有4个,所以m=4,步数在[9500,10500)范围的有2个,所以n=2.
(2)A,E两个组别共有4个数据:5860,6460,9860,9860.从中任取两个数据有6种取法,X的所有可能取值为 0,600,3400,4000,
P(X=0)=16,P(X=600)=16,
P(X=3400)=26=13,
P(X=4000)=26=13.
可得X的分布列为
13.信息提取 ①按200元/次收费;②会员逐次消费相应优惠比率表,抽取100位统计消费表格;③求平均利润及分布列.
数学建模 以汽车美容为情境构建概率模型,通过分析随机变量求出相应概率,进而列出分布列.
解析 (1)∵第1次消费为200元,利润为50元;第2次消费为190元,利润为40元,
∴2次消费的平均利润为45元.
(2)由题意得消费1次的利润为50元,
消费2次的平均利润为50+402=45元,
消费3次的平均利润为50+40+303=40元,
消费4次的平均利润为50+40+30+204=35元,
消费5次的平均利润为50+40+30+20+105=30元,
∴P(X=50)=0.6,P(X=45)=0.2,P(X=40)=0.1,P(X=35)=0.05,P(X=30)=0.05.
故X的分布列为
X
1
2
3
4
5
P
115
215
m
415
13
X
0
1
2
3
4
P
0.1
0.2
0.4
0.2
a
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
X
0
1
P
9c2-c
3-8c
X
-1
0
1
2
3
P
110
15
110
15
25
X
-2
-1
0
1
2
3
P
112
14
13
112
16
112
ξ
-1
0
1
P
12
1-2q
q2
X
0
1
2
P
13
a
b
ξ
-1
0
1
P
a
b
c
组别
步数分组
频数
A
5500≤x<6500
2
B
6500≤x<7500
10
C
7500≤x<8500
m
D
8500≤x<9500
2
E
9500≤x<10500
n
消费次第
第1次
第2次
第3次
第4次
≥5次
收费比率
1
0.95
0.90
0.85
0.80
消费次数
1次
2次
3次
4次
5次
人数
60
20
10
5
5
1.C
2.D
7.B
8.C
11.B
12.A
13.A
14.A
15.B
X
0
1
2
P
14
12
14
ξ
0
1
4
9
P
16
13
13
16
X
0
1
2
P
514
1528
328
1.A
2.C
3.B
4.B
5.D
6.A
X
0
600
3400
4000
P
16
16
13
13
X
50
45
40
35
30
P
0.6
0.2
0.1
0.05
0.05