高中数学人教版新课标A选修2-3第二章 随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列练习

学业分层测评

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．某一随机变量ξ的概率分布列如下表，且m＋2n＝1.2，则m－的值为(　　)

A.－0.2　　　　　　 B．0.2

C．0.1   D．－0.1

【解析】　由离散型随机变量分布列的性质可得m＋n＋0.2＝1，又m＋2n＝1.2，解得m＝n＝0.4，可得m－＝0.2.

【答案】　B

2．下列问题中的随机变量不服从两点分布的是(　　)

A．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X

B．某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量X

C．从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X＝

D．某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X

【解析】　A中随机变量X的取值有6个，不服从两点分布，故选A.

【答案】　A

3．在15个村庄中，有7个村庄交通不太方便，现从中任意选10个村庄，用ξ表示10个村庄中交通不太方便的村庄数，下列概率中等于的是(　　)

A．P(ξ＝2)   B．P(ξ≤2)

C．P(ξ＝4)   D．P(ξ≤4)

【解析】　A项，P(ξ＝2)＝；

B项，P(ξ≤2)＝P(ξ＝2)≠；

C项，P(ξ＝4)＝；

D项，P(ξ≤4)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)>.

【答案】　C

4．抛掷两颗骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X≤4)等于(　　)

A.　　　 B.　　　

C.　　　 D.

【解析】　根据题意，有P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)．抛掷两颗骰子，按所得的点数共36个基本事件，而X＝2对应(1,1)，X＝3对应(1,2)，(2,1)，X＝4对应(1,3)，(3,1)，(2,2)，

故P(X＝2)＝，P(X＝3)＝＝，

P(X＝4)＝＝，所以P(X≤4)＝＋＋＝.

【答案】　A

5．随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝n)＝，n＝1,2,3,4，其中a是常数，则P的值为(　　)

A.   B. 

C.   D.

【解析】　＋＋＋＝

a

＝a＝1.

∴a＝.

∴P＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)

＝×＝.

【答案】　D

二、填空题

6．若随机变量X服从两点分布，则P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2.令Y＝3X－2，则P(Y＝－2)＝________.

【解析】　由Y＝－2，且Y＝3X－2，得X＝0，

∴P(Y＝－2)＝0.8.

【答案】　0.8

7．设离散型随机变量X的概率分布列为：

则P(X≤2)＝________.

【解析】　P(X≤2)＝1－＝.

【答案】　

8．某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X的分布列如下表，其中a，b，c成等差数列，且c＝ab，

则这名运动员得3分的概率是________．

【解析】　由题中条件，知2b＝a＋c，c＝ab，再由分布列的性质，知a＋b＋c＝1，且a，b，c都是非负数，由三个方程联立成方程组，可解得a＝，b＝，c＝，所以得3分的概率是.

【答案】　

三、解答题

9．一个袋中有形状、大小完全相同的3个白球和4个红球．

(1)从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，即X＝求X的分布列；

(2)从中任意摸出两个球，用“X＝0”表示两个球全是白球，用“X＝1”表示两个球不全是白球，求X的分布列．

【解】　(1)X的分布列如下表：

(2)X的分布列如下表：

10.(2016·大庆高二模拟)某校组织一次冬令营活动，有8名同学参加，其中有5名男同学，3名女同学，为了活动的需要，要从这8名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务，记其中有X名男同学．

(1)求X的分布列；

(2)求去执行任务的同学中有男有女的概率．

【解】　(1)X的可能取值为0,1,2,3.根据公式P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}算出其相应的概率．

即X的分布列为

(2)去执行任务的同学中有男有女的概率为P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝.

[能力提升]

1．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：

①X表示取出的最大号码；

②X表示取出的最小号码；

③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分；

④X表示取出的黑球个数．

这四种变量中服从超几何分布的是(　　)

A．①②   B．③④ 

C．①②④   D．①②③④

【解析】　由超几何分布的概念知③④符合，故选B.

【答案】　B

2．(2016·周口中英文学校月考)设X是一个离散型随机变量，其分布列为：

则q为(　　) 【导学号：97270035】

A．1  B．1±

C．1＋   D．1－

【解析】　由分布列性质(2)知＋1－2q＋q2＝1，

解得q＝1±，又由性质(1)知1－2q≥0，

∴q≤，∴q＝1－，故选 D.

【答案】　D

3．以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图2­1­1中以X表示．

图2­1­1

如果X＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的植树总棵数Y的分布列．

【解析】　当X＝9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数分别是9,9,11,11；乙组同学的植树棵数分别是9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4＝16种可能的结果，这两名同学植树总棵树Y的可能取值为17,18,19,20,21.事件“Y＝17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P(Y＝17)＝＝.

同理可得P(Y＝18)＝；P(Y＝19)＝；

P(Y＝20)＝；P(Y＝21)＝.

所以随机变量Y的分布列为

【答案】　

4.(2016·西安高二检测)袋中有4个红球、3个黑球，随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．

(1)求得分X的分布列；

(2)求得分大于6分的概率．

【解】　(1)从袋中随机摸4个球的情况为

1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红．

分别得分为5分，6分，7分，8分．

故X的可能取值为5,6,7,8.

P(X＝5)＝＝，

P(X＝6)＝＝，

P(X＝7)＝＝，

P(X＝8)＝＝.

故所求分布列为

(2)根据随机变量X的分布列，可以得到得分大于6分的概率为P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝＋＝.