高中数学人教版新课标A必修51.2 应用举例随堂练习题

这是一份高中数学人教版新课标A必修51.2 应用举例随堂练习题，共70页。试卷主要包含了2　应用举例，6)等内容，欢迎下载使用。
第一章　解三角形
1.2　应用举例
第1课时　求距离、高度、角度的问题
基础过关练
题组一　测量距离问题
1. (2020安徽合肥高一期末)如图,某船在A处看见灯塔P在南偏东15°方向,后来船沿南偏东45°的方向航行30 km后,到达B处,看见灯塔P在船的西偏北15°方向,则这时船与灯塔的距离是 (　　)
A.10 km　　B.20 km　　C.103 km　　D.53 km

2. (2020河南名校联盟高二月考)小赵开车从A处出发,以每小时40千米的速度沿南偏东40°的方向直线行驶,30分钟后到达B处,此时,小王发来微信定位,显示他自己在A的南偏东70°方向的C处,且A与C的距离为153千米,若此时,小赵以每小时52千米的速度开车直线到达C处接小王,则小赵到达C处所用的时间大约
(7≈2.6) (　　)
A.10分钟　　B.15分钟　　
C.20分钟　　D.25分钟

3.一只蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫,然后向右转105°,爬行10 cm捕捉到另一只小虫,这时它再向右转135°爬行可回到出发点,则x=　　　　.
4.湖中有一小岛,沿湖有一条南北方向的公路,在这条公路上的一辆汽车上测得小岛在南偏西15°方向,汽车向南行驶1 km后,又测得小岛在南偏西75°方向,则小岛到公路的距离是　　　　km.
题组二　测量高度问题
5.(2020四川绵阳南山中学实验学校)在山脚A处测得该山峰的仰角为θ,对着山峰在平行地面上前进600 m后到达B处,在B处测得山峰的仰角为原来的2倍,继续在平行地面上前进2003 m后到达C处,在C处测得山峰的仰角为原来的4倍,则该山峰的高度为 (　　)
A.200 m　　B.300 m　　C.400 m　　D.1003 m
6. 如图所示,在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB=45°,沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1 000 m到达S点,又测得山顶仰角∠DSB=75°,则山高BC为 (　　)



A.5002 m　　B.200 m　　
C.1 0002 m　　D.1 000 m
7.(2020广西钦州高一期末)如图,某测绘员为了测量一座垂直于地面的建筑物AB的高度,设计测量方案为先在地面选定距离为180米的C,D两点,然后在C处测得∠ACB=30°,∠BCD=75°,在D处测得∠BDC=45°,则此建筑物AB的高度为　　　　米.

8.如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m,则山高MN=　　　　m.

题组三　测量角度问题
9.如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等,灯塔A在观察站C的北偏东40°方向,灯塔B在观察站C的南偏东60°方向,则灯塔A在灯塔B的 (　　)


A.北偏东5°方向　　B.北偏西10°方向
C.南偏东5°方向　　D.南偏西10°方向
10.如图所示,两座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分别为20 m,50 m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的视角∠CAD等于 (　　)


A.30°　　 B.45°　　C.60° 　　D.75°
11.(2020黑龙江大庆四中高一月考)如图,AD是某防汛抗洪大坝的坡面,大坝上有一高为20米的监测塔BD,若某科研小组在坝底A点测得∠BAD=15°,沿着坡面前进40米到达E点,测得∠BED=45°,则大坝的坡角(∠DAC)的余弦值为 (　　)


A.3-1　　B.3-12　　C.2-1　　D.2-12
12.学校里有一棵树,甲同学在A地测得树尖的仰角为45°,乙同学在B地测得树尖的仰角为30°,量得AB=AC=10 m,树根部为C(A、B、C在同一水平面内),则
∠ACB=　　　　.
能力提升练
一、选择题
1.(2020山东滕州第一中学高一期末,★★☆)如图所示,为了测量A,B岛屿的距离,小明在D处观测,A,B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向,再往正东方向行驶40海里至C处,观测B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60°方向,则A,B两岛屿之间的距离为 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.206千米　　　　B.406千米
C.20(1+3)千米　　D.40千米
2.(2021北京市中关村中学高三月考,★★☆)如图所示,为了测量某一隧道两侧A、B两地间的距离,某同学首先选定了不在直线AB上的一点C(△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c),然后确定测量方案并测出相关数据,进行计算.现给出如下四种测量方案:①测量∠A,∠C,b;②测量∠A,∠B,∠C;③测量a,b,∠C;④测量∠A,∠B,a.则一定能确定A、B间距离的所有方案的序号为 (　　)

A.①③　　　B.①③④
C.②③④　　D.①②④
3.(2020吉林重点高中高三二模,★★★)一艘巡逻舰从海岛A出发,沿南偏东70°的方向航行40海里后到达海岛B,再从海岛B出发,沿北偏东35°的方向航行402海里到达海岛C.若巡逻舰从海岛A出发沿直线到达海岛C,则航行的方向和路程(单位:海里)分别为 (　　)
A.北偏东80°,20(6+2)
B.北偏东65°,20(3+2)
C.北偏东65°,20(6+2)
D.北偏东80°,20(3+2)
4.(2020黑龙江齐齐哈尔实验中学高二期末,★★★)如图所示,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°,相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援,则cos θ等于 (　　)

A.217　　B.2114　　C.32114　　D.2128
二、填空题
5.(★★☆)如图,某中学举行升旗仪式,在坡角为15°的看台顶端E点和看台的坡脚A点分别测得旗杆顶部的仰角为30°和60°,量得看台坡脚A点到E点在水平线上的射影B点的距离为10 m,则旗杆CD的高度是　　　　m.

6.(★★☆)某海域A处的甲船获悉,在其正东方向相距503海里的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援,同时把信息通知在A的南偏东30°,且与A处相距253海里的C处的乙船.那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线(由观测点看目标的视线)的方向是北偏东　　　　度.

7.(2020河北衡水中学高二期末,★★★)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,我国拥有世界上最深的海洋蓝洞,若要测量如图所示的蓝洞的口径A,B两点间的距离,现在珊瑚群岛上取两点C,D,测得CD=80,∠ADB=135°,∠BDC=∠DCA=15°,∠ACB=120°,则A,B两点间的距离为　　　　.


三、解答题
8.(2020北京首都师范大学附属中学高二期末,★★☆)如图所示,近日我渔船编队在岛A周围海域作业,在岛A的南偏西20°方向有一个海面观测站B,某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近,现测得与B相距31海里的C处有一艘海警船巡航,上级指示海警船沿北偏西40°方向,以40海里/小时的速度向岛A直线航行以保护我渔船编队,30分钟后到达D处,此时观测站测得B,D间的距离为21海里.

(1)求sin∠BDC的值;
(2)试问海警船再向前航行多少分钟方可到达岛A?











9.(★★☆)已知海岛B在海岛A的北偏东45°方向上,A、B相距10 n mile,小船甲从海岛B以2 n mile/h的速度沿直线向海岛A移动,同时小船乙从海岛A出发沿北偏西15°的方向也以2 n mile/h的速度移动.

(1)经过1 h后,甲、乙两小船相距多少海里?
(2)在航行过程中,小船甲是否可能处于小船乙的正东方向?若可能,请求出所需的时间;若不可能,请说明理由.








第2课时　三角形的面积
基础过关练
题组一　三角形面积的计算
1.(2020安徽黄山屯溪第一中学高一期中)在△ABC中,已知A=30°,C=45°,a=2,则△ABC的面积S= (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.2　　　B.22
C.3+1　　D.12(3+1)
2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=7,b=3,c=8,则△ABC的面积为 (　　)
A.12　　B.63
C.28　　D.212
3.(2020福建厦门双十中学高一期中)在△ABC中,AB=3,AC=1,B=π6,则△ABC的面积是 (　　)
A.32　　　　B.34
C.32或34　　D.32或3
4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知cos 2A=-13,c=3,sin A=6sin C,若角A为锐角,则△ABC的面积为　　　　.
5.(2021山东师范大学附属中学高三月考)在△ABC中,已知a,b,c分别为内角A,B,C的对边,若△ABC同时满足下列四个条件中的三个:
①cos B=63;②cos2A+2cos2A2=1;③a=6;④b=22.
(1)满足有解三角形的序号组合有哪些?
(2)在(1)所有组合中任选一组,并求对应△ABC的面积.




题组二　与三角形面积有关的综合问题
6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,若4S=a2+b2-c2,则角C的度数为 (　　)
A.135°　　B.45°　　C.60°　　D.120°
7.(2020皖西南名校高二期末联考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若bccos A=83S△ABC,则2cos2B+C2+sinA-12sinA-cosA= (　　)
A.-2　　B.2　　C.-12　　D.12
8.在△ABC中,B=60°,a=4,其面积S=203,则c= (　　)
A.15　　B.16　　C.421　　D.20
9.△ABC的三边长分别为a,b,c,且a=1,B=45°,S△ABC=2,则△ABC的外接圆的直径为 (　　)
A.43　　B.5
C.52　　D.62
10.(2021河南鹤壁高二阶段性检测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为315,b-c=2,cos A=-14,则a的值为　　　　.
11.(2020湖北高一期末联考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且
cos 2C+3cos C-1=0.
(1)求角C的大小;
(2)若b=3a,△ABC的面积为3sin Asin B,求c的值.










能力提升练
一、选择题
1.(2020安徽师大附中高三模拟,★★☆)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,a=2,2csin A=3cos C,△ABC的面积为3,则c= (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.22　　B.35　　C.13　　D.32
2.(2021湖南长郡中学、雅礼中学、河南南阳一中、信阳高中等湘豫名校联考,★★☆)在直角△ABC中,∠BAC=π2,点D在边BC上,AD=4,AC=5,且△ADC的面积为8,则cos B= (　　)

A.131785　　　B.161785
C.25881881　　　D.45
3.(2020山东省实验中学高三联考,★★★)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若△ABC的面积为S,且43S=(a+b)2-c2,则sinC+π4= (　　)
A.1　　B.22
C.6-24　　D.6+24
二、填空题
4.(2020安徽合肥一中、合肥六中高一期末,★★☆)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=13,b=23c,且△ABC的面积是2,则a=　　　　.
5.(2020辽宁沈阳第二中学高一期末,★★☆)已知△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,且S△ABD=2S△ADC,AD=1,DC=12,则AC=　　　　.
6.(2020湖南天心长郡中学高三月考,★★★)《易经》中记载着一种几何图形——八封图,图中正八边形代表八卦,中间的圆代表阴阳太极图,如图,图中八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.某中学开展劳动实习,去测量当地八卦田的面积.现测得正八边形的边长为8 m,代表阴阳太极图的圆的半径为2 m,则每块八卦田的面积为　　　　m2.

三、解答题
7.(2021皖北名校高二第二次联考,★★☆)在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知acos (B-C)=cos A(23bsin C-a).
(1)求角A;
(2)若△ABC的周长为8,外接圆半径R=3,求△ABC的面积.








8.(2020湖南长沙长郡中学高二期末,★★☆)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且ccos B+bcos C=3acos B.
(1)求cos B的值;
(2)若c=2,△ABC的面积为22,求边长b的值.




1.2综合拔高练
五年高考练
考点1　正、余弦定理在实际问题中的应用
1.(2019江苏,18,16分,★★★)如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA,规划要求:线段PB,QA上的所有点到点O的距离均不小于···圆O的半径.已知点A,B到直线l的距离分别为AC和BD(C,D为垂足),测得AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长;
(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由;
(3)在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米),求当d最小时,P,Q两点间的距离.






考点2　三角形面积公式的应用
2.(2019课标全国Ⅱ,15,5分,★★☆)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=π3,则△ABC的面积为　　　　.
3.(2020全国Ⅰ,18,12分,★★☆)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知B=150°.
(1)若a=3c,b=27,求△ABC的面积;
(2)若sin A+3sin C=22,求C.



4.(2020北京,17,13分,★★☆)在△ABC中,a+b=11,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求:
(1)a的值;
(2)sin C和△ABC的面积.
条件①:c=7,cos A=-17;条件②:cos A=18,cos B=916.
注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.





5.(2017课标全国Ⅰ,17,12分,★★☆)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为a23sinA.
(1)求sin Bsin C;
(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求△ABC的周长.





三年模拟练
应用实践
1.(2020山东济南高一期末,★★☆)如图,A,B两点分别在河的两侧,为了测量A,B两点之间的距离,在点A的同侧选取点C,测得∠ACB=45°,∠BAC=105°,AC=100米,则A,B两点之间的距离为 (　　)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1002米　　　　B.1003米
C.50(6+2)米　　D.200米
2.(2020江苏启东中学高一期末,★★☆)一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱高度,某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°,沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B,在B点测得水柱顶端的仰角为30°,则水柱的高度是　 (　　)
A.50 m　　B.100 m　　C.120 m　　D.150 m

3.(★★☆)如图所示,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100 m到达B处,又测得C对于山坡的斜度为45°,若CD=50 m,山坡对于地平面的坡角为θ,则cos θ= (　　)
A.32　　　B.2-3
C.3-1　　D.22
4.(2020河南洛阳高二期末,★★☆)如图,嵩山上原有一条笔直的山路BC,现在又新架设了一条索道AC,某人在山脚B处看索道AC,发现张角∠ABC=120°;从B处攀登4千米到达D处,回头看索道AC,发现张角∠ADC=150°;从D处再攀登8千米方到达C处,索道AC的长为　　　　千米.

5. (2020天津六校高一期末联考,★★☆)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,sin A+sin B-4sin C=0,且△ABC的周长为5,面积S=165-15(a2+b2),则
sin C=　　　　.
6.(2020上海建平中学高一期末,★★☆)“我将来要当一名麦田里的守望者,有那么一群孩子在一块麦田里玩,几千万的小孩子,附近没有一个大人,我是说……除了我”.《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块成凸四边形ABCD的麦田里成为守望者,如图所示,为了分割麦田,他将BD连接,△ABD中边BD所对的角为A,△BCD中边BD所对的角为C,经测量,AB=BC=CD=2,AD=23.
(1)霍尔顿发现:无论BD多长,3cos A-cos C均为一个定值,请你验证霍尔顿的结论,并求出这个定值;
(2)霍尔顿发现:麦田的生长与土地面积的平方成正比例关系,记△ABD与△BCD的面积分别为S1和S2,为了更好地规划麦田,请你帮助霍尔顿求出S12+S22的最大值.







迁移创新
7.(2021河南信阳高三第一次质量检测,★★☆)在①a=2,②B=π4,③c=3b这三个条件中任选两个,补充在下面的问题中,并解决该问题.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且满足(b-a)(sin B+sin A)=c(3·sin B-sin C).
(1)求A的大小;
(2)已知　　　　,　　　　,若△ABC存在,求△ABC的面积;若△ABC不存在,说明理由.










本章复习提升
易混易错练
易错点1　忽略了三角形中边角关系的隐含条件
1.(2020河北唐山滦南一中高一期末,★★☆)在△ABC中,若A=60°,BC=3,AC=2,则角B的大小为 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.30°　　　B.45°
C.135°　　D.45°或135°
2.(2020广西南宁高二期末,★★★)在锐角△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2sinCtanB=2a-bb,则ba的取值范围为 (　　)
A.12,+∞　　B.(0,2)
C.12,2　　　　D.(0,+∞)
3.(2020广东佛山一中、石门中学、顺德一中高一期末联考,★★☆)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcos C+3csin B.
(1)求B;
(2)若△ABC为锐角三角形,且c=3,求△ABC面积的取值范围.









易错点2　忽略了三角形解的个数问题
4.(2021山东济南历城二中高二开学考试,★★☆)在△ABC中,若b=3,c=3,B=30°,则a=　　　　.
5.(★★☆)已知在△ABC中,a=3,b=2,B=45°,求角A,C和边c.



易错点3　错把空间问题看成平面问题
6.(★★☆)如图,某景区欲在两山顶A,C之间建缆车,需要测量两山顶间的距离.已知山高AB=1 km,CD=3 km,在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°,山顶C的仰角为60°,∠AEC=150°,则两山顶A,C之间的距离为 (　　)

A.27 km　　B.33 km
C.42 km　　D.35 km
7.(★★☆)如图所示,在地面上共线的三点A,B,C处测得一建筑物的仰角分别为30°,45°,60°,且AB=BC=60 m,求建筑物的高度.










思想方法练
一、数形结合思想在解三角形中的应用
1.(2020山东德州高二期中,★★☆)某校周一举行升旗仪式,旗杆正好处在坡度是15°的看台的某一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°,第一排和最后一排的距离为102米(如图所示),旗杆底部与第一排在同一个水平面上.国歌演奏一遍的时长为46秒,要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部,升旗手升旗的速度应为 (　　)

A.3323米/秒　　B.5323米/秒
C.7323米/秒　　D.8323米/秒
2.(2020重庆第一中学高一月考,★★★)在△ABC中,AB=2AC,AD是角A的平分线,且AD=kAC,则k的取值范围为　　　　.
3.(★★☆)海上某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°,距离为126 n mile;在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°,距离为83 n mile;货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B的方位角为120°.求:
(1)A处与D处的距离;
(2)灯塔C与D处之间的距离.










二、函数与方程思想在解三角形中的应用
4.(2021豫南九校高二联考,★★☆)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2asin C=3c,a=1,则△ABC的周长取得最大值时,△ABC的面积为 (　　)
A.34　　B.2　　C.3　　D.4
5.(2020河南商丘一中高一期末,★★☆)在△ABC中,AB=2,AC=4,BC边上的中线AD=2,则S△ABC=　　　　.
6.(2020黑龙江东南联合体高一期末,★★☆)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知acos Bcos C+bcos Acos C=c2.
(1)求角C;
(2)若c=7,a+b=5,求△ABC的面积.



7.(2020四川开江中学高二期末,★★☆)已知△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(2a-c)cos B-bcos C=0.
(1)求角B的大小;
(2)若b=2,求a+c的取值范围.










本章达标检测
(满分:150分;时间:120分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若满足b=2,A=30°的三角形有两个,则边长a的取值范围是 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.0