2022届高考数学二轮专题测练-椭圆的几何性质

这是一份2022届高考数学二轮专题测练-椭圆的几何性质，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共20小题；共100分）
1. 椭圆 x225+y29=1 与 x29−k+y225−k=10b>0，点 M，N 是椭圆上关于 y 轴对称的两点，A，B 是椭圆长轴的两个端点，若直线 MA，NB 的斜率分别为 k1，k2，且 k1k2=4，则椭圆 C 的离心率为
A. 12B. 22C. 32D. 5−12

9. 设 e 是椭圆 x2k+y24=1 的离心率，且 e∈12,1，则实数 k 的取值范围是
A. 0,3B. 3,163
C. 0,2D. 0,3∪163,+∞

10. 已知椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的左焦点为 F，右顶点为 A，点 B 在椭圆上，且 BF 与 x 轴垂直，直线 AB 交 y 轴于点 P．若 ∣AP∣∣PB∣=3，则椭圆的离心率是
A. 32B. 22C. 12D. 13

11. 如图，已知 F1，F2 分别是椭圆的左、右焦点，现以 F2 为圆心作一个圆恰好经过椭圆的中心并且交椭圆于点 M，N．若过点 F1 的直线 MF1 是圆 F2 的切线，则椭圆的离心率为
A. 3−1B. 2−3C. 22D. 32

12. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2 为直径的圆与直线 bx−ay+2ab=0 相切，则椭圆 C 的离心率为
A. 63B. 33C. 23D. 13

13. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的右焦点为 F，短轴的一个端点为 M，直线 l:3x−4y=0 交椭圆 C 于 A，B 两点．若 AF+BF=4，点 M 到直线 l 的距离不小于 45，则椭圆 C 的离心率的取值范围为
A. 0,32B. 32,1C. 0,34D. 34,1

14. 已知 F1，F2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且 ∠F1PF2=π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为 e1，e2，则 12e1e2 的最大值为
A. 32B. 33C. 233D. 1

15. 已知 F1，F2 分别是椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且 PF1⋅OF1+OP=0（O 为坐标原点）．若 ∣PF1∣=2∣PF2∣，则椭圆的离心率为
A. 6−3B. 6−32C. 6−5D. 6−52

16. 若双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 与直线 y=3x 无交点，则离心率 e 的取值范围是
A. 1,2B. 1,2C. 1,5D. 1,5

17. 设点 P 为有公共焦点 F1，F2 的椭圆 M 和双曲线 T 的一个交点，且 cs∠F1PF2=35，椭圆 M 的离心率为 e1，双曲线 T 的离心率为 e2，若 e2=2e1，则 e1=
A. 75B. 74C. 105D. 104

18. 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是
A. 13B. 45C. 25D. 35

19. 在平面直角坐标系中，记 d 为点 Pcsθ,sinθ 到直线 x−my−2=0 的距离．当 θ，m 变化时，d 的最大值为
A. 1B. 2C. 3D. 4

20. 已知中心在坐标原点的椭圆和双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为 F1，F2，这两条曲线在第一象限的交点为 P，△PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形．若 ∣PF1∣=10，记椭圆与双曲线的离心率分别为 e1，e2，则 e1e2 的取值范围是
A. 0,+∞B. 13,+∞C. 15,+∞D. 19,+∞

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 为椭圆 C 与 y 轴的交点，若以 F1，F2，P 三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，则椭圆 C 的离心率的取值范围是 ．

22. 直线 x−2y+2=0 过椭圆 x2a2+y2b2=1 的左焦点 F1 和一个顶点 B，则椭圆的方程为 ．

23. 已知椭圆 G：x26+y2b2=100，双曲线 N:x2m2−y2n2=1．若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离心率为 ；双曲线 N 的离心率为 ．

三、解答题（共5小题；共65分）
26. 已知椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 与直线 x+2y−2=0 交于 A，B 两点，AB=5，且 AB 的中点的坐标为 m,12，求此椭圆的方程．

27. 已知椭圆方程 C:x2m−2+y27−m=1．
（1）求实数 m 的取值范围；
（2）当 m=6 时，若椭圆的左右焦点分别为 F1，F2，直线 l 过椭圆的左焦点 F1 并且与椭圆 C 交于 A，B 两点，求 △ABF2 的周长．

28. 已知椭圆 C 的两个焦点为 F1−1,0，F21,0，且经过点 E3,32．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）过 F1 的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点（点 A 位于 x 轴上方），若 AF1=λF1B，且 2≤λb>0）的左焦点为 F，右顶点为 A，上顶点为 B．
（1）已知椭圆的离心率为 12，线段 AF 中点的横坐标为 22，求椭圆的标准方程．
（2）已知 △ABF 外接圆的圆心在直线 y=−x 上，求椭圆的离心率 e 的值．
答案
第一部分
1. B
2. A
3. A
4. C【解析】由于椭圆长轴长是短轴长的 2 倍，即有 a=2b，又椭圆经过点 2,0，若焦点在 x 轴上，则 a=2，b=1，椭圆方程为 x24+y2=1；若焦点在 y 轴上，则 a=4，b=2，椭圆方程为 y216+x24=1．
5. D
【解析】由题意得，a=b2+c2=4，
由焦点在 y 轴上，得椭圆的标准方程是 y216+x2=1．
6. C【解析】由椭圆 x211−m+y2m−3=1 的长轴在 y 轴上，焦距为 4，可得 m−3−11+m=2，解得 m=9．
7. B【解析】如图，
∣OB∣ 为椭圆中心到 l 的距离，则 ∣OA∣⋅∣OF∣=∣AF∣⋅∣OB∣，即 bc=a⋅b2，所以 e=ca=12．
8. C【解析】设 Mx0,y0，则 y02a2+x02b2=1，
所以 k1k2=y0−ax0⋅y0+a−x0=y02−a2−x02=a21−x02b2−a2−x02=a2b2=4，
令 b=1，则 a=2，c=3，所以 e=32．
9. D【解析】当椭圆焦点在 x 轴上，即 k>4 时，a2=k，b2=4，
所以 e=k−4k∈12,1，
所以 1452，
从而求得 e1e2>13．
第二部分
21. 0,22
【解析】因为点 P 为椭圆 C 与 y 轴的交点，
以 F1，F2，P 三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，
所以 ∠F1PF2≤90∘，
所以 tan∠OPF2≤1，
所以 cb≤1，c≤b，
c2≤a2−c2，2c2≤a2，c2a2≤12，即 ca≤22，又 00．
由 y=kx+1,x24+y23=1 得 3k2+4y2−6ky−9=0．
设 Ax1,y1，Bx2,y2，则 y1+y2=6k3+4k2，y1y2=−9k23+4k2．
又 y1=−λy2，所以 y1+y22y1y2=1−λ2−λ=−43+4k2，即 λ+1λ−2=43+4k2．
由于 2≤λ0．
设 Ax1,y1，Bx2,y2，
则由 AM=2MB，得 x1=−2x2．
又 x1+x2=−8k3+4k2,x1x2=−83+4k2,
所以 −x2=−8k3+4k2,−2x22=−83+4k2,
消去 x2，得 8k3+4k22=43+4k2，
解得 k2=14，k=±12．
所以直线 l 的方程为 y=±12x+1，
即 x−2y+2=0 或 x+2y−2=0．
30. （1） 因为椭圆 x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为 12，
所以 ca=12，则 a=2c．
因为线段 AF 中点的横坐标为 22，
所以 a−c2=22．
所以 c=2，则 a2=8，b2=a2−c2=6．
所以椭圆的标准方程为 x28+y26=1．
（2） 因为 Aa,0，F−c,0，
所以线段 AF 的中垂线方程为：x=a−c2．
又因为 △ABF 外接圆的圆心 C 在直线 y=−x 上，
所以 Ca−c2,−a−c2．
因为 Aa,0，B0,b，
所以线段 AB 的中垂线方程为：y−b2=abx−a2．
由 C 在线段 AB 的中垂线上，得 −a−c2−b2=aba−c2−a2，
整理得，ba−c+b2=ac，
即 b−ca+b=0．
因为 a+b>0，
所以 b=c．
所以椭圆的离心率 e=ca=cb2+c2=22．