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2022届高考数学二轮专题测练-直线与椭圆的位置关系
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这是一份2022届高考数学二轮专题测练-直线与椭圆的位置关系，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共20小题；共100分）
1. 直线 y=a 与椭圆 x23+y24=1 恒有两个不同的交点，则实数 a 的取值范围是
A. −3,3B. −3,3C. −2,2D. −4,4
2. 已知抛物线 y2=2pxp>0 经过点 M2,y0，若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3，则 OM=
A. 2B. 22C. 4D. 23
3. 直线 y=kx+1k∈R 与椭圆 x25+y2m=1 恒有公共点，则 m 的取值范围是
A. 1,5∪5,+∞B. 0,5
C. 1,+∞D. 1,5
4. 直线 y=kx−k+1 与椭圆 x29+y24=1 的位置关系为
A. 相交B. 相切C. 相离D. 不确定
5. 已知对 k∈R，直线 y−kx−1=0 与椭圆 x25+y2m=1 恒有公共点，则实数 m 的取值范围是
A. 0,1B. 0,5
C. 1,5∪5,+∞D. 1,5
6. 不论 k 为何值，直线 y=kx+b 与椭圆 x29+y24=1 总有公共点，则 b 的取值范围是
A. −2,2B. −∞,−2∪2,+∞
C. 2,+∞D. −∞,−2
7. 已知点 F1，F2 分别是椭圆 x2a2+y2b2=1 的左、右焦点，过 F1 且垂直于 x 轴的直线与椭圆交于 A，B 两点，若 △ABF1 为正三角形，则该椭圆的离心率 e 为
A. 12B. 22C. 13D. 33
8. 直线 y=x+1 被椭圆 x2+2y2=4 所截得的弦的中点的坐标是
A. −13,23B. 13,23C. −23,13D. −2,1
9. 已知直线 l 过点 3,−1，且椭圆 C：x225+y236=1，则直线 l 与椭圆 C 的公共点的个数为
A. 1B. 1 或 2C. 2D. 0
10. 已知直线 y=−x+1 与椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 相交于 A，B 两点，若椭圆的离心率为 22，焦距为 2，则线段 AB 的长是
A. 223B. 423C. 2D. 2
11. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 与直线 y=x+3 只有一个公共点，且椭圆的离心率为 55，则椭圆 C 的方程为
A. x216+y29=1B. x25+y24=1C. x29+y25=1D. x225+y220=1
12. 椭圆 ax2+by2=1（a>0，b>0）与直线 y=1−x 交于 A，B 两点，过原点与线段 AB 中点的直线的斜率为 32，则 ba 的值为
A. 32B. 233C. 932D. 2327
13. 已知 F1，F2 是椭圆 x24+y23=1 的左、右焦点，点 A 的坐标为 −1,32，则 ∠F1AF2 的平分线所在直线的斜率为
A. −2B. −1C. −3D. −2
14. 已知椭圆 x236+y29=1 以及椭圆内一点 P4,2，则以 P 为中点的弦所在直线的斜率为
A. 12B. −12C. 2D. −2
15. 若椭圆 x29+y24=1 的弦 AB 被点 P1,1 平分，则 AB 所在直线的方程为
A. 9x+4y−13=0B. 4x+9y−13=0C. x+2y−3=0D. x+3y−3=0
16. 若直线 y=kx+1 与椭圆 x25+y2m=1 总有公共点，则 m 的取值范围是
A. m>1B. m>0
C. 0
17. 已知两个不相等的非零向量 a，b，两组向量 x1，x2，x3，x4，x5 和 y1，y2，y3，y4，y5 均由 2 个 a 和 3 个 b 排列而成，记 S=x1⋅y1+x2⋅y2+x3⋅y3+x4⋅y4+x5⋅y5，Smin 表示 S 所有可能取值中的最小值，Smax 表示 S 所有可能取值中的最大值，下列说法中正确的个数是
① S 有 5 个不同的值；
②若 a⊥b，且 a=b=1，则 Smax=5；
③若 b>4a，则 Smin>0；
④若 b=2a，Smin=8a2，则 a 与 b 的夹角为 π3．
A. 1B. 2C. 3D. 4
18. 若直线 y=x+2 与椭圆 mx2+y2=1 相切，则椭圆的离心率为
A. 13B. 53C. 63D. 73
19. 已知椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 左，右焦点分别为 F1−c,0，F2c,0，过点 F1 且斜率为 1 的直线 l 交椭圆于点 A，B，若 AF2⊥F1F2，则椭圆的离心率为
A. 2−12B. 2−1C. 22D. 12
20. 已知椭圆 C:x24+y2b2=10A. 1B. 2C. 3D. 62
二、填空题（共5小题；共25分）
21. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 为椭圆 C 与 y 轴的交点，若以 F1，F2，P 三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，则椭圆 C 的离心率的取值范围是 ．
22. 思考辨析，判断正误．
两点间不可通又不可视问题的测量方案实质是构造已知两边及夹角的三角形并求解．
23. 设椭圆 E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右顶点为 A，右焦点为 F，B 为椭圆 E 在第二象限上的点，直线 BO 交椭圆 E 于点 C．若直线 BF 平分线段 AC，则椭圆 E 的离心率是 ．
24. 已知椭圆 C ： x2a2+y2b2=1 的左焦点 F ，上顶点 A，直线 AF 与椭圆 C 交于
另一点 B（如图），且 AF=3FB ，则椭圆 C 的离心率为 .
25. 已知点 P0,2，椭圆 x216+y28=1 上两点 Ax1,y1，Bx2,y2 满足 AP=λPB（λ∈R），则 2x1+3y1−12+2x2+3y2−12 的最大值为 ．
三、解答题（共5小题；共65分）
26. 设椭圆 x2a2+y2b2a>b>0，已知椭圆的短轴长为 4，离心率为 55．求椭圆的方程．
27. 已知椭圆 x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为 12，左、右焦点分别为 F1，F2，且 F1F2=2c，⊙F2：x−c2+y2=1 与该椭圆有且只有一个公共点．
（1）求椭圆标准方程．
（2）过点 P4c,0 的直线 l 与 ⊙F1：x+12+y2=r2（r>1）相切，且与椭圆相交于 A，B 两点，试探究 kF2A，kF2B 的数量关系．
28. 已知椭圆 x2+4y2=4，直线 l:y=x+m．
（1）若 l 与椭圆有一个公共点，求 m 的值；
（2）若 l 与椭圆相交于 P，Q 两点，且 ∣PQ∣ 等于椭圆的短轴长，求 m 的值．
29. 设 F−1,0 是椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左焦点，椭圆 C 的离心率为 22．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）过焦点 F 的直线 l 分别交椭圆 C 于 M，N 两点，若线段 MN 的中垂线交 x 轴于点 P−16,0，求直线 l 的方程．
30. 如图，已知椭圆 C:x24+y2=1，F 为其右焦点，直线 l:y=kx+mkm<0 与椭圆交于 Px1,y1，Qx2,y2 两点，点 A，B 在 l 上，且满足 ∣PA∣=∣PF∣，∣QB∣=∣QF∣，∣OA∣=∣OB∣．（点 A，P，Q，B 从上到下依次排列）
（1）试用 x1 表示 ∣PF∣；
（2）证明：原点 O 到直线 l 的距离为定值．
答案
第一部分
1. C
2. D
3. A
4. A【解析】由于直线 y=kx−k+1=kx−1+1 过定点 1,1，又 1,1 在椭圆内，故直线与椭圆必相交．
5. C
【解析】直线 y=kx+1 过定点 0,1，于是只要点 0,1 不在椭圆 x25+y2m=1 的外部即可，故 m≥1．
又因为椭圆 x25+y2m=1 中 m≠5，所以 m 的取值范围是 1,5∪5,+∞．
6. A
7. D
8. C【解析】联立直线和椭圆的方程有 y=x+1,x2+2y2=4, 消去 y 得 3x2+4x−2=0．
设方程两根为 x1，x2，则弦的中点的横坐标为 x1+x22=−23，故所求中点坐标为 −23,13．
9. C【解析】因为直线过定点 3,−1 且 3225+−1236<1，所以点 3,−1 在椭圆的内部，故直线 l 与椭圆有 2 个公共点．
10. B
【解析】依题意得：c=1，e=ca=22，所以 a=2，b=1，所以 椭圆方程为 x22+y2=1．
椭圆方程和直线方程联立方程组，可以解得 A0,1，B43,−13，所以 AB=423．
11. B
12. B【解析】方法一：
设 Ax1,y1，Bx2,y2，
则 ax12+by12=1，ax22+by22=1，
即 ax12−ax22=−by12−by22，
则 by12−by22ax12−ax22=−1，by1−y2y1+y2ax1−x2x1+x2=−1，
由题意知，y1−y2x1−x2=−1，
过点 x1+x22,y1+y22 与原点的直线的斜率为 32，
即 y1+y2x1+x2=32，
所以 ba×−1×32=−1，
所以 ba=233，故选B．
方法二：
由 y=1−x,ax2+by2=1 消去 y，
得 a+bx2−2bx+b−1=0，
可得 AB 中点 P 的坐标为 ba+b,aa+b，
所以 kOP=ab=32，
所以 ba=233．
13. A【解析】如图所示，
A−1,32，F1，F2 是椭圆 x24+y23=1 的左、右焦点，F1−1,0，
所以 AF1⊥x 轴，
所以 AF1=32，AF2=52，
所以点 F21,0 关于 ∠F1AF2 的平分线对称的点 F 在线段 AF1 的延长线上，
又因为 ∣AF∣=AF2=52，
所以 ∣FF1∣=1，
所以 F−1,−1，线段 FF2 的中点坐标为 0,−12，则 ∠F1AF2 的平分线的斜率为 32−−12−1−0=−2．
14. B【解析】设弦所在直线的斜率为 k，弦的端点 Ax1,y1，Bx2,y2，
则 x1+x2=8，y1+y2=4，x1236+y129=1,x2236+y229=1,
两式相减，得：x1+x2x1−x236+y1+y2y1−y29=0．
所以 2x1−x29=−4y1−y29，所以 k=y1−y2x1−x2=−12，
经检验，k=−12 满足题意．故弦所在直线的斜率为 −12．
15. B
16. D【解析】方法一
由于直线 y=kx+1 恒过点 0,1，
所以点 0,1 必在椭圆内或椭圆上，则 0<1m≤1 且 m≠5，故 m≥1 且 m≠5．
方法二
由 y=kx+1,mx2+5y2−5m=0,
消去 y 整理得 5k2+mx2+10kx+51−m=0，
由题意知 Δ=100k2−201−m5k2+m≥0 对一切 k∈R 恒成立，
即 5mk2+m2−m≥0 对一切 k∈R 恒成立，
由于 m>0 且 m≠5，
所以 5k2+m−1≥0，
所以 m≥1 且 m≠5．
17. C【解析】因为 xi，yii=1,2,3,4,5 均由 2 个 a 和 3 个 b 排列而成，
所以 S=xiyi 可能情况有三种：
① S1=2a2+3b2；
② S2=a2+2a⋅b+2b2；
③ S3=4a⋅b+b2（记 θ=a,b），故①错误；
若 a⊥b，且 a=b=1，则 a⋅b=0，
所以 S≤2a2+3b2=5，
所以 Smax=5，故②正确；
若 b>4a，则 S1=2a2+3b2>50a2>0，
S2=a2+2ab⋅csθ+2b2>a2−8a2csθ+32a2=a233−8csθ>0,
S3=4ab⋅csθ+b2>−16a2csθ+16a2=16a21−csθ≥0,
所以 Smin=S3>0，故③正确；
若 b=2a，则 S1=2a2+12a2=14a2，
S2=4a2⋅csθ+9a2，
S3=8a2⋅csθ+4a2，
因为 S1−S3=10a2−8a2⋅csθ=2a25−4csθ>0，
S2−S3=5a2−4a2⋅csθ=a25−4csθ>0，
所以 Smin=S3=8a2⋅csθ+4a2=8a2，
解得 csθ=12，又 θ∈0,π，
所以 θ=π3，即 a 与 b 夹角为 π3，故④正确；
故正确的为②③④．
18. C
19. B【解析】如图，由 AF2⊥F1F2，设 Ac,yAyA>0．
则 c2a2+yA2b2=1，结合 c2=a2−b2，解得 yA=b2a．
所以 Ac,b2a，所以 kAF1=b2a−0c−−c=1，
化简得 2ac=b2=a2−c2，所以 e2+2e−1=0，
解得 e=−2+222=2−1 或 e=−2−222<0，舍去．
20. B
【解析】设 Ax1,y1，Bx2,y2，Mx0,y0，
则 x124+y12b2=1，x224+y22b2=1，
两式相减，得 x1−x2x1+x24+y1−y2y1+y2b2=0．
A，B 两点直线的倾斜角为 3π4，所以 y1−y2x1−x2=−1．
所以 x1+x24−y1+y2b2=0，即 x04−y0b2=0，
所以 y0x0=b24, ⋯⋯①
因为直线 OM 的斜率为 12，
所以 y0x0=12, ⋯⋯②
由 ①② 可得：所以 b2=2，得 b=2．
第二部分
21. 0,22
【解析】因为点 P 为椭圆 C 与 y 轴的交点，
以 F1，F2，P 三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，
所以 ∠F1PF2≤90∘，
所以 tan∠OPF2≤1，
所以 cb≤1，c≤b，
c2≤a2−c2，2c2≤a2，c2a2≤12，即 ca≤22，又 0所以 022. √
23. 13
24. 22
【解析】设点 F−c,0，A0,b，Bx,y . AF=−c,−b，FB=x+c,y .因为 AF=3FB，即 −c,−b=3x+c,y .所以 B−4c3,−b3 .代入椭圆方程解得 e=ca=22 .
25. 18+217
【解析】由 AP=λPB 知 A，B，P 三点共线．
当直线 AB 的斜率不存在时，A0,22，B0,−22，
此时 2x1+3y1−12+2x2+3y2−12=24．
当直线 AB 的斜率存在时，设 AB:y=kx+2，
联立 y=kx+2,x216+y28=1, 得 1+2k2x2+8kx−8=0，
x1+x2=−8k1+2k2，y1+y2=kx1+x2+4=41+2k2，
设 AB 的中点 Mx0,y0，则 x0=−4k1+2k2，y0=21+2k2，
消去参数 k 可得 x022+y0−12=1，其中 y0>0；
令 x0=2csθ,y0=1+sinθ, 其中 θ≠2kπ−π2，k∈Z，
则点 Mx0,y0 到直线 2x+3y−12=0 的距离为 d=22csθ+3sinθ−913=17csθ+φ−913，
所以 d≤9+1713；
因为由梯形的中位线性质可得 A，B 到直线 2x+3y−12=0 的距离之和为点 Mx0,y0 到直线 2x+3y−12=0 的距离的 2 倍．
所以 2x1+3y1−12+2x2+3y2−12=213d≤18+217．
综上可得 2x1+3y1−12+2x2+3y2−12 的最大值为 18+217．
第三部分
26. 设椭圆的半焦距为 c，依题意，2b=4，ca=55，
又 a2=b2+c2，可得 a=5，b=2，c=1．
所以，椭圆的方程为 x25+y24=1．
27. （1） ⊙F2 与椭圆有且只有一个公共点，所以公共点为 a,0 或 −a,0．
若公共点为 −a,0 时，则 a+c=1，又 ca=12，
解得 a=23<1，与 a>1 矛盾，故公共点为 a,0．
所以 a−c=r=1，又 e=ca=12，所以 a=2，c=1．
反之，当 c=1 时，联立 x−12+y2=1,x24+y23=1, 解得 x=2,y=0, 满足条件．
所以椭圆标准方程为 x24+y23=1．
（2） 猜：kF2A+kF2B=0．
证明如下：
由（1）得 kF2A+kF2B=y1x1−1+y2x2−1=2my1y2+3y1+y2m2y1y2+3my1+y2+9．
因为 2my1y2+3y1+y2=2m×364+3m2−72m4+3m2=0，
所以 kF2A+kF2B=0．
28. （1） 联立直线与椭圆的方程，得 x2+4y2=4,y=x+m,
即 5x2+8mx+4m2−4=0，
由于直线 l 与椭圆有一个公共点，则 Δ=80−16m2=0，
所以 m=±5．
（2） 设 Px1,y1，Qx2,y2，
由（1）知：x1+x2=−8m5，x1x2=4m2−45，
则 ∣PQ∣=1+k2x1−x2=4255−m2=2．
解得 m=±304．
29. （1） 因为椭圆 C 焦点 F 的坐标为 −1,0，
所以 c=1．
又因为离心率 e=ca=22，
所以 a=2，a2=2．
所以 b2=a2−c2=2−1=1．
所以椭圆 C 的方程为 x22+y2=1．
（2） 解法一：
设 Mx1,y1，Nx2,y2，MN 的中点为 Q，直线 l 的方程为 x=ty−1．
将 x=ty−1 代入椭圆方程，得 t2+2y2−2ty−1=0，
所以 y1+y2=2tt2+2，x1+x2=ty1+y2−2=−4t2+2．
所以 Q−2t2+2,tt2+2．
由题意，得 PQ⊥l，
所以 kPQ+kl=−1，
即 tt2+2−2t2+2−−16⋅1t=−1，
解得 t=±2．
所以直线 l 的方程为 x−2y+1=0 或 x+2y+1=0．
解法二：
设 Mx1,y1，Nx2,y2，MN 的中点为 Qx0,y0．
将 M，N 代入椭圆方程，得 x122+y12=1,x222+y22=1,
所以 x12−x22+2y12−y22=0．
所以 2⋅y1−y2x1−x2⋅y1+y2x1+x2+1=0，即 2kMN⋅y0x0+1=0. ⋯⋯①
又 kMN=y0x0+1=kQF, ⋯⋯②
kMN⋅kPQ=−1⇒kMN⋅y0x0+16=−1, ⋯⋯③
由 ①③ 得 2y0x0=y0x0+16，解得 x0=−13，
所以 y02=19，y0=±13．
所以 kMN=y0x0+1=±12．
由点斜式得直线 l 的方程为 x−2y+1=0 或 x+2y+1=0．
30. （1） 因为椭圆 C:x24+y2=1，
所以 a=2，c=3，
由椭圆的第二定义可知，∣PF∣a2c−x1=e=ca，即 ∣PF∣43−x1=32，
所以 ∣PF∣=2−32x1．
（2） 设 AB 的中点 M，PQ 的中点 Nx0,y0，则
∣MN∣=∣BM∣−BN∣=AP+PQ+BQ2−BQ−PQ2=∣AP−BQ∣2=∣PF−QF∣2=3x1−x24.
联立 y=kx+m,x24+y2=1 消去 y 可得，1+4k2x2+8kmx+4m2−4=0，
所以 x1+x2=−8km1+4k2,x1x2=4m2−41+4k2,
y1+y2=kx1+x2+2m=2m1+4k2，
所以 ∣ON∣2=x02+y02=14x1+x22+y1+y22=m216k2+11+4k22，
x1−x22=x1+x22−4x1x2=164k2−m2+11+4k22，
因为 ∣OA∣=∣OB∣，M 为 AB 中点，
所以原点 O 到直线 l 的距离 d2=∣OM∣2=∣ON∣2−∣MN∣2=11+4k22m216k2+4−34k2+1=4m2−34k2+1，
而由点到直线的距离公式可得，原点 O 到直线 l 的距离 d2=m2k2+1，
所以 4m2−34k2+1=m2k2+1 化简得，m2=k2+1，
故原点 O 到直线 l 的距离为 1，是定值．
一、选择题（共20小题；共100分）
1. 直线 y=a 与椭圆 x23+y24=1 恒有两个不同的交点，则实数 a 的取值范围是
A. −3,3B. −3,3C. −2,2D. −4,4
2. 已知抛物线 y2=2pxp>0 经过点 M2,y0，若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3，则 OM=
A. 2B. 22C. 4D. 23
3. 直线 y=kx+1k∈R 与椭圆 x25+y2m=1 恒有公共点，则 m 的取值范围是
A. 1,5∪5,+∞B. 0,5
C. 1,+∞D. 1,5
4. 直线 y=kx−k+1 与椭圆 x29+y24=1 的位置关系为
A. 相交B. 相切C. 相离D. 不确定
5. 已知对 k∈R，直线 y−kx−1=0 与椭圆 x25+y2m=1 恒有公共点，则实数 m 的取值范围是
A. 0,1B. 0,5
C. 1,5∪5,+∞D. 1,5
6. 不论 k 为何值，直线 y=kx+b 与椭圆 x29+y24=1 总有公共点，则 b 的取值范围是
A. −2,2B. −∞,−2∪2,+∞
C. 2,+∞D. −∞,−2
7. 已知点 F1，F2 分别是椭圆 x2a2+y2b2=1 的左、右焦点，过 F1 且垂直于 x 轴的直线与椭圆交于 A，B 两点，若 △ABF1 为正三角形，则该椭圆的离心率 e 为
A. 12B. 22C. 13D. 33
8. 直线 y=x+1 被椭圆 x2+2y2=4 所截得的弦的中点的坐标是
A. −13,23B. 13,23C. −23,13D. −2,1
9. 已知直线 l 过点 3,−1，且椭圆 C：x225+y236=1，则直线 l 与椭圆 C 的公共点的个数为
A. 1B. 1 或 2C. 2D. 0
10. 已知直线 y=−x+1 与椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 相交于 A，B 两点，若椭圆的离心率为 22，焦距为 2，则线段 AB 的长是
A. 223B. 423C. 2D. 2
11. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 与直线 y=x+3 只有一个公共点，且椭圆的离心率为 55，则椭圆 C 的方程为
A. x216+y29=1B. x25+y24=1C. x29+y25=1D. x225+y220=1
12. 椭圆 ax2+by2=1（a>0，b>0）与直线 y=1−x 交于 A，B 两点，过原点与线段 AB 中点的直线的斜率为 32，则 ba 的值为
A. 32B. 233C. 932D. 2327
13. 已知 F1，F2 是椭圆 x24+y23=1 的左、右焦点，点 A 的坐标为 −1,32，则 ∠F1AF2 的平分线所在直线的斜率为
A. −2B. −1C. −3D. −2
14. 已知椭圆 x236+y29=1 以及椭圆内一点 P4,2，则以 P 为中点的弦所在直线的斜率为
A. 12B. −12C. 2D. −2
15. 若椭圆 x29+y24=1 的弦 AB 被点 P1,1 平分，则 AB 所在直线的方程为
A. 9x+4y−13=0B. 4x+9y−13=0C. x+2y−3=0D. x+3y−3=0
16. 若直线 y=kx+1 与椭圆 x25+y2m=1 总有公共点，则 m 的取值范围是
A. m>1B. m>0
C. 0
17. 已知两个不相等的非零向量 a，b，两组向量 x1，x2，x3，x4，x5 和 y1，y2，y3，y4，y5 均由 2 个 a 和 3 个 b 排列而成，记 S=x1⋅y1+x2⋅y2+x3⋅y3+x4⋅y4+x5⋅y5，Smin 表示 S 所有可能取值中的最小值，Smax 表示 S 所有可能取值中的最大值，下列说法中正确的个数是
① S 有 5 个不同的值；
②若 a⊥b，且 a=b=1，则 Smax=5；
③若 b>4a，则 Smin>0；
④若 b=2a，Smin=8a2，则 a 与 b 的夹角为 π3．
A. 1B. 2C. 3D. 4
18. 若直线 y=x+2 与椭圆 mx2+y2=1 相切，则椭圆的离心率为
A. 13B. 53C. 63D. 73
19. 已知椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 左，右焦点分别为 F1−c,0，F2c,0，过点 F1 且斜率为 1 的直线 l 交椭圆于点 A，B，若 AF2⊥F1F2，则椭圆的离心率为
A. 2−12B. 2−1C. 22D. 12
20. 已知椭圆 C:x24+y2b2=10
二、填空题（共5小题；共25分）
21. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 为椭圆 C 与 y 轴的交点，若以 F1，F2，P 三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，则椭圆 C 的离心率的取值范围是 ．
22. 思考辨析，判断正误．
两点间不可通又不可视问题的测量方案实质是构造已知两边及夹角的三角形并求解．
23. 设椭圆 E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右顶点为 A，右焦点为 F，B 为椭圆 E 在第二象限上的点，直线 BO 交椭圆 E 于点 C．若直线 BF 平分线段 AC，则椭圆 E 的离心率是 ．
24. 已知椭圆 C ： x2a2+y2b2=1 的左焦点 F ，上顶点 A，直线 AF 与椭圆 C 交于
另一点 B（如图），且 AF=3FB ，则椭圆 C 的离心率为 .
25. 已知点 P0,2，椭圆 x216+y28=1 上两点 Ax1,y1，Bx2,y2 满足 AP=λPB（λ∈R），则 2x1+3y1−12+2x2+3y2−12 的最大值为 ．
三、解答题（共5小题；共65分）
26. 设椭圆 x2a2+y2b2a>b>0，已知椭圆的短轴长为 4，离心率为 55．求椭圆的方程．
27. 已知椭圆 x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为 12，左、右焦点分别为 F1，F2，且 F1F2=2c，⊙F2：x−c2+y2=1 与该椭圆有且只有一个公共点．
（1）求椭圆标准方程．
（2）过点 P4c,0 的直线 l 与 ⊙F1：x+12+y2=r2（r>1）相切，且与椭圆相交于 A，B 两点，试探究 kF2A，kF2B 的数量关系．
28. 已知椭圆 x2+4y2=4，直线 l:y=x+m．
（1）若 l 与椭圆有一个公共点，求 m 的值；
（2）若 l 与椭圆相交于 P，Q 两点，且 ∣PQ∣ 等于椭圆的短轴长，求 m 的值．
29. 设 F−1,0 是椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左焦点，椭圆 C 的离心率为 22．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）过焦点 F 的直线 l 分别交椭圆 C 于 M，N 两点，若线段 MN 的中垂线交 x 轴于点 P−16,0，求直线 l 的方程．
30. 如图，已知椭圆 C:x24+y2=1，F 为其右焦点，直线 l:y=kx+mkm<0 与椭圆交于 Px1,y1，Qx2,y2 两点，点 A，B 在 l 上，且满足 ∣PA∣=∣PF∣，∣QB∣=∣QF∣，∣OA∣=∣OB∣．（点 A，P，Q，B 从上到下依次排列）
（1）试用 x1 表示 ∣PF∣；
（2）证明：原点 O 到直线 l 的距离为定值．
答案
第一部分
1. C
2. D
3. A
4. A【解析】由于直线 y=kx−k+1=kx−1+1 过定点 1,1，又 1,1 在椭圆内，故直线与椭圆必相交．
5. C
【解析】直线 y=kx+1 过定点 0,1，于是只要点 0,1 不在椭圆 x25+y2m=1 的外部即可，故 m≥1．
又因为椭圆 x25+y2m=1 中 m≠5，所以 m 的取值范围是 1,5∪5,+∞．
6. A
7. D
8. C【解析】联立直线和椭圆的方程有 y=x+1,x2+2y2=4, 消去 y 得 3x2+4x−2=0．
设方程两根为 x1，x2，则弦的中点的横坐标为 x1+x22=−23，故所求中点坐标为 −23,13．
9. C【解析】因为直线过定点 3,−1 且 3225+−1236<1，所以点 3,−1 在椭圆的内部，故直线 l 与椭圆有 2 个公共点．
10. B
【解析】依题意得：c=1，e=ca=22，所以 a=2，b=1，所以 椭圆方程为 x22+y2=1．
椭圆方程和直线方程联立方程组，可以解得 A0,1，B43,−13，所以 AB=423．
11. B
12. B【解析】方法一：
设 Ax1,y1，Bx2,y2，
则 ax12+by12=1，ax22+by22=1，
即 ax12−ax22=−by12−by22，
则 by12−by22ax12−ax22=−1，by1−y2y1+y2ax1−x2x1+x2=−1，
由题意知，y1−y2x1−x2=−1，
过点 x1+x22,y1+y22 与原点的直线的斜率为 32，
即 y1+y2x1+x2=32，
所以 ba×−1×32=−1，
所以 ba=233，故选B．
方法二：
由 y=1−x,ax2+by2=1 消去 y，
得 a+bx2−2bx+b−1=0，
可得 AB 中点 P 的坐标为 ba+b,aa+b，
所以 kOP=ab=32，
所以 ba=233．
13. A【解析】如图所示，
A−1,32，F1，F2 是椭圆 x24+y23=1 的左、右焦点，F1−1,0，
所以 AF1⊥x 轴，
所以 AF1=32，AF2=52，
所以点 F21,0 关于 ∠F1AF2 的平分线对称的点 F 在线段 AF1 的延长线上，
又因为 ∣AF∣=AF2=52，
所以 ∣FF1∣=1，
所以 F−1,−1，线段 FF2 的中点坐标为 0,−12，则 ∠F1AF2 的平分线的斜率为 32−−12−1−0=−2．
14. B【解析】设弦所在直线的斜率为 k，弦的端点 Ax1,y1，Bx2,y2，
则 x1+x2=8，y1+y2=4，x1236+y129=1,x2236+y229=1,
两式相减，得：x1+x2x1−x236+y1+y2y1−y29=0．
所以 2x1−x29=−4y1−y29，所以 k=y1−y2x1−x2=−12，
经检验，k=−12 满足题意．故弦所在直线的斜率为 −12．
15. B
16. D【解析】方法一
由于直线 y=kx+1 恒过点 0,1，
所以点 0,1 必在椭圆内或椭圆上，则 0<1m≤1 且 m≠5，故 m≥1 且 m≠5．
方法二
由 y=kx+1,mx2+5y2−5m=0,
消去 y 整理得 5k2+mx2+10kx+51−m=0，
由题意知 Δ=100k2−201−m5k2+m≥0 对一切 k∈R 恒成立，
即 5mk2+m2−m≥0 对一切 k∈R 恒成立，
由于 m>0 且 m≠5，
所以 5k2+m−1≥0，
所以 m≥1 且 m≠5．
17. C【解析】因为 xi，yii=1,2,3,4,5 均由 2 个 a 和 3 个 b 排列而成，
所以 S=xiyi 可能情况有三种：
① S1=2a2+3b2；
② S2=a2+2a⋅b+2b2；
③ S3=4a⋅b+b2（记 θ=a,b），故①错误；
若 a⊥b，且 a=b=1，则 a⋅b=0，
所以 S≤2a2+3b2=5，
所以 Smax=5，故②正确；
若 b>4a，则 S1=2a2+3b2>50a2>0，
S2=a2+2ab⋅csθ+2b2>a2−8a2csθ+32a2=a233−8csθ>0,
S3=4ab⋅csθ+b2>−16a2csθ+16a2=16a21−csθ≥0,
所以 Smin=S3>0，故③正确；
若 b=2a，则 S1=2a2+12a2=14a2，
S2=4a2⋅csθ+9a2，
S3=8a2⋅csθ+4a2，
因为 S1−S3=10a2−8a2⋅csθ=2a25−4csθ>0，
S2−S3=5a2−4a2⋅csθ=a25−4csθ>0，
所以 Smin=S3=8a2⋅csθ+4a2=8a2，
解得 csθ=12，又 θ∈0,π，
所以 θ=π3，即 a 与 b 夹角为 π3，故④正确；
故正确的为②③④．
18. C
19. B【解析】如图，由 AF2⊥F1F2，设 Ac,yAyA>0．
则 c2a2+yA2b2=1，结合 c2=a2−b2，解得 yA=b2a．
所以 Ac,b2a，所以 kAF1=b2a−0c−−c=1，
化简得 2ac=b2=a2−c2，所以 e2+2e−1=0，
解得 e=−2+222=2−1 或 e=−2−222<0，舍去．
20. B
【解析】设 Ax1,y1，Bx2,y2，Mx0,y0，
则 x124+y12b2=1，x224+y22b2=1，
两式相减，得 x1−x2x1+x24+y1−y2y1+y2b2=0．
A，B 两点直线的倾斜角为 3π4，所以 y1−y2x1−x2=−1．
所以 x1+x24−y1+y2b2=0，即 x04−y0b2=0，
所以 y0x0=b24, ⋯⋯①
因为直线 OM 的斜率为 12，
所以 y0x0=12, ⋯⋯②
由 ①② 可得：所以 b2=2，得 b=2．
第二部分
21. 0,22
【解析】因为点 P 为椭圆 C 与 y 轴的交点，
以 F1，F2，P 三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，
所以 ∠F1PF2≤90∘，
所以 tan∠OPF2≤1，
所以 cb≤1，c≤b，
c2≤a2−c2，2c2≤a2，c2a2≤12，即 ca≤22，又 0
23. 13
24. 22
【解析】设点 F−c,0，A0,b，Bx,y . AF=−c,−b，FB=x+c,y .因为 AF=3FB，即 −c,−b=3x+c,y .所以 B−4c3,−b3 .代入椭圆方程解得 e=ca=22 .
25. 18+217
【解析】由 AP=λPB 知 A，B，P 三点共线．
当直线 AB 的斜率不存在时，A0,22，B0,−22，
此时 2x1+3y1−12+2x2+3y2−12=24．
当直线 AB 的斜率存在时，设 AB:y=kx+2，
联立 y=kx+2,x216+y28=1, 得 1+2k2x2+8kx−8=0，
x1+x2=−8k1+2k2，y1+y2=kx1+x2+4=41+2k2，
设 AB 的中点 Mx0,y0，则 x0=−4k1+2k2，y0=21+2k2，
消去参数 k 可得 x022+y0−12=1，其中 y0>0；
令 x0=2csθ,y0=1+sinθ, 其中 θ≠2kπ−π2，k∈Z，
则点 Mx0,y0 到直线 2x+3y−12=0 的距离为 d=22csθ+3sinθ−913=17csθ+φ−913，
所以 d≤9+1713；
因为由梯形的中位线性质可得 A，B 到直线 2x+3y−12=0 的距离之和为点 Mx0,y0 到直线 2x+3y−12=0 的距离的 2 倍．
所以 2x1+3y1−12+2x2+3y2−12=213d≤18+217．
综上可得 2x1+3y1−12+2x2+3y2−12 的最大值为 18+217．
第三部分
26. 设椭圆的半焦距为 c，依题意，2b=4，ca=55，
又 a2=b2+c2，可得 a=5，b=2，c=1．
所以，椭圆的方程为 x25+y24=1．
27. （1） ⊙F2 与椭圆有且只有一个公共点，所以公共点为 a,0 或 −a,0．
若公共点为 −a,0 时，则 a+c=1，又 ca=12，
解得 a=23<1，与 a>1 矛盾，故公共点为 a,0．
所以 a−c=r=1，又 e=ca=12，所以 a=2，c=1．
反之，当 c=1 时，联立 x−12+y2=1,x24+y23=1, 解得 x=2,y=0, 满足条件．
所以椭圆标准方程为 x24+y23=1．
（2） 猜：kF2A+kF2B=0．
证明如下：
由（1）得 kF2A+kF2B=y1x1−1+y2x2−1=2my1y2+3y1+y2m2y1y2+3my1+y2+9．
因为 2my1y2+3y1+y2=2m×364+3m2−72m4+3m2=0，
所以 kF2A+kF2B=0．
28. （1） 联立直线与椭圆的方程，得 x2+4y2=4,y=x+m,
即 5x2+8mx+4m2−4=0，
由于直线 l 与椭圆有一个公共点，则 Δ=80−16m2=0，
所以 m=±5．
（2） 设 Px1,y1，Qx2,y2，
由（1）知：x1+x2=−8m5，x1x2=4m2−45，
则 ∣PQ∣=1+k2x1−x2=4255−m2=2．
解得 m=±304．
29. （1） 因为椭圆 C 焦点 F 的坐标为 −1,0，
所以 c=1．
又因为离心率 e=ca=22，
所以 a=2，a2=2．
所以 b2=a2−c2=2−1=1．
所以椭圆 C 的方程为 x22+y2=1．
（2） 解法一：
设 Mx1,y1，Nx2,y2，MN 的中点为 Q，直线 l 的方程为 x=ty−1．
将 x=ty−1 代入椭圆方程，得 t2+2y2−2ty−1=0，
所以 y1+y2=2tt2+2，x1+x2=ty1+y2−2=−4t2+2．
所以 Q−2t2+2,tt2+2．
由题意，得 PQ⊥l，
所以 kPQ+kl=−1，
即 tt2+2−2t2+2−−16⋅1t=−1，
解得 t=±2．
所以直线 l 的方程为 x−2y+1=0 或 x+2y+1=0．
解法二：
设 Mx1,y1，Nx2,y2，MN 的中点为 Qx0,y0．
将 M，N 代入椭圆方程，得 x122+y12=1,x222+y22=1,
所以 x12−x22+2y12−y22=0．
所以 2⋅y1−y2x1−x2⋅y1+y2x1+x2+1=0，即 2kMN⋅y0x0+1=0. ⋯⋯①
又 kMN=y0x0+1=kQF, ⋯⋯②
kMN⋅kPQ=−1⇒kMN⋅y0x0+16=−1, ⋯⋯③
由 ①③ 得 2y0x0=y0x0+16，解得 x0=−13，
所以 y02=19，y0=±13．
所以 kMN=y0x0+1=±12．
由点斜式得直线 l 的方程为 x−2y+1=0 或 x+2y+1=0．
30. （1） 因为椭圆 C:x24+y2=1，
所以 a=2，c=3，
由椭圆的第二定义可知，∣PF∣a2c−x1=e=ca，即 ∣PF∣43−x1=32，
所以 ∣PF∣=2−32x1．
（2） 设 AB 的中点 M，PQ 的中点 Nx0,y0，则
∣MN∣=∣BM∣−BN∣=AP+PQ+BQ2−BQ−PQ2=∣AP−BQ∣2=∣PF−QF∣2=3x1−x24.
联立 y=kx+m,x24+y2=1 消去 y 可得，1+4k2x2+8kmx+4m2−4=0，
所以 x1+x2=−8km1+4k2,x1x2=4m2−41+4k2,
y1+y2=kx1+x2+2m=2m1+4k2，
所以 ∣ON∣2=x02+y02=14x1+x22+y1+y22=m216k2+11+4k22，
x1−x22=x1+x22−4x1x2=164k2−m2+11+4k22，
因为 ∣OA∣=∣OB∣，M 为 AB 中点，
所以原点 O 到直线 l 的距离 d2=∣OM∣2=∣ON∣2−∣MN∣2=11+4k22m216k2+4−34k2+1=4m2−34k2+1，
而由点到直线的距离公式可得，原点 O 到直线 l 的距离 d2=m2k2+1，
所以 4m2−34k2+1=m2k2+1 化简得，m2=k2+1，
故原点 O 到直线 l 的距离为 1，是定值．
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