2022届高考数学二轮专题测练-几何证明与计算

这是一份2022届高考数学二轮专题测练-几何证明与计算，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共20小题；共100分）
1. 如图，已知 ⊙O 的直径 AB 与弦 AC 的夹角为 30∘，过 C 点的切线 PC 与 AB 的延长线交于 P，PC=5，则 ⊙O 的半径为
A. 533B. 536C. 10D. 5

2. 已知在半径为 2 的圆 O 上有 A 、 B 、 C 、 D 四点，若 AB=CD=2，AB 、 CD 的中点分别为 O1 、 O2，则 △O2AB 的面积最大值为
A. 23B. 22C. 3D. 33

3. 只用下列图形不能镶嵌的是
A. 三角形B. 四边形C. 正五边形D. 正六边形

4. 如图所示，已知 AB:BD=2:3，且 BC∥DE，则 S△ABC:S梯形BDEC 等于
A. 4:21B. 4:25C. 2:5D. 2:3

5. 一个直角三角形两条直角边的比为 1:5，则它们在斜边上的射影比为
A. 1:2B. 1:3C. 1:5D. 1:5

6. 在 △ABC 中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，CD⊥AB 于 D，设 AB=a，则 DB 等于
A. a4B. a3C. a2D. 3a4

7. 如图所示，已知有平行四边形 ABCD，点 N 是 AB 延长线上一点，DN 交 BC 于点 M，则 BCBM−ABBN 为
A. 12B. 1C. 32D. 23

8. 如图所示，在梯形 ABCD 中，BC∥AD，E 是 DC 延长线上一点，AE 交 BD 于点 G，交 BC 于点 F，下列结论：① ECCD=EFAF；② FGAG=BGGD；③ AEAG=BDDG；④ AFCD=AEDE．其中正确的个数是
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

9. 设 P1，P2，⋯，Pn 为平面 α 内的 n 个点，在平面 α 内的所有点中，若点 P 到 P1，P2，⋯，Pn 的距离之和最小，则称点 P 为 P1，P2，⋯，Pn 的一个“中位点”．例如，线段 AB 上的任意点都是端点 A，B 的中位点，则有下列命题：
①若 A，B，C 三个点共线，C 在线段 AB 上，则 C 是线段 AB 上 A，B，C 的中位点；
②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个点的中位点；
③若四个点 A，B，C，D 共线，则它们的中位点存在且唯一；
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．
其中的真命题是
A. ①③B. ②④C. ①④D. ①③④

10. 在 △ABC 中，CD⊥AB 于点 D，下列不能判定 △ABC 为直角三角形的是
A. AC=2，AB=22，CD=2B. AC=3，AD=2，BD=3
C. AC=3，BC=4，CD=125D. AC=21，BD=4，CD=23

11. 已知 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AB=5，BC=4，以 BC 为直径的圆交 AB 于点 D，则 BD 的长为
A. 4B. 95C. 125D. 165

12. 如图所示，AD 是 △ABC 的中线，点 E 是 CA 边的三等分点，BE 交 AD 于点 F，则 AF∶FD 为
A. 2∶1B. 3∶1C. 4∶1D. 5∶1

13. 如图所示，PA 为 ⊙O 直径，PC 为 ⊙O 的弦，过 AC 的中点 H 作 PC 的垂线交 PC 的延长线于点 B．若 HB=6，BC=4，则 ⊙O 的直径为
A. 10B. 13C. 15D. 20

14. 如图，PC 与圆 O 相切于点C，直线 PO 交圆 O 于 A，B 两点，弦 CD 垂直 AB 于 E．则下面结论中，错误的结论是
A. △BEC∽△DEAB. ∠ACE=∠ACP
C. DE2=OE⋅EPD. PC2=PA⋅AB

15. 在 ⊙O 中，直径 AB，CD 互相 垂直，BE 切 ⊙O 于 B，且 BE=BC，CE 交 AB 于 F，交 ⊙O 于 M，连接 MO 并延长，交 ⊙O 于 N，则下列结论中，正确的是
A. CF=FMB. OF=FB
C. BM 的度数是 22.5∘D. BC∥MN

16. 如图，D，E 分别是 AB，AC 上两点，CD 与 BE 相交于点 O，下列条件中不能使 △ABE 和 △ACD 相似的是
A. ∠B=∠CB. ∠ADC=∠AEB
C. BE=CD，AB=ACD. AD∶AC=AE∶AB

17. 如图，AB 切 ⊙O 于点 B，AB=3，AC=1，则 AO 的长为
A. 1B. 32C. 2D. 2

18. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，点 C 在 ⊙O 上，延长 BC 到 D 使 BC=CD，过 C 作 ⊙O 的切线交 AD 于 E．若 AB=6，ED=2，则 BC=
A. 2B. 22C. 3D. 23

19. 下列正方体或正四面体中，P，Q，R，S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是
A. B.
C. D.

20. 若椭圆上存在点P，使得点P到两个焦点的距离之比为2：1，则此椭圆离心率的取值范围是
A. [14,13]B. [13,12]C. (13,1)D. [13,1)

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 如图，在直角梯形 ABCD 中， DC∥AB ， CB⊥AB ， AB=AD=a ， CD=a2 ，点 E ， F 分别为线段 AB ， AD 的中点，则 EF= ．

22. 如图，B，C 为圆 O 上的两个点，P 为 CB 延长线上一点，PA 为圆 O 的切线，A 为切点．若 PA=2，BC=3，则 PB= ；ACAB= ．

23. 若向量 a，b，c 满足 a+b+c=0，且 a=3，b=1，c=4，则 a⋅b+b⋅c+c⋅a= ．

24. 如图所示，∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90∘，且 AB=6，AC=4，AD=12，则 AE= ．

25. 如图，以 △ABC 的边 AB 为直径的半圆交 AC 于点 D，交 BC 于点 E，EF⊥AB 于点 F，AF=3BF，BE=2EC=2，那么 ∠CDE= ，CD= ．

三、解答题（共5小题；共65分）
26. 如图，在 △ABC 中，∠ABC=90∘，BD⊥AC，D 为垂足，E 是 BC 的中点．求证：∠EDC=∠ABD．

27. 【作业1（习题5.2A组）】根据下列条件，确定角 θ 所在的象限：
（1）sinθ0；
（2）sinθtanθ>0．

28. 如图所示，在矩形 ABCD 中，AB=a，BC=b，点 M 是 BC 的中点，DE⊥AM，点 E 是垂足．求证：DE=2ab4a2+b2．

29. 如图，△ABC 中，AB=AC，AD 是中线，P 为 AD 上一点，CF∥AB，BP 延长线交 AC 、 CF 于 E 、 F，求证：PB2=PE⋅PF．

30. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD 与 AB 垂直，并与 AB 相交于点 E，点 F 为弦 CD 上异于点 E 的任意一点，连接 BF，AF 并延长交 ⊙O 于点 M，N．
（1）求证：B，E，F，N 四点共圆；
（2）求证：AC2+BF⋅BM=AB2．
答案
第一部分
1. A
2. A【解析】因为 AB=2 为定值，以 AB 为三角形的底边，以 O2 到 AB 的距离为高，当 AB 与 CD 平行时，O2 到直线 AB 的距离最大，此时面积最大，面积的最大值为 23．
3. C
4. A【解析】因为 AB:BD=2:3 且 BC∥DE，所以 AB:AD=2:5，所以 S△ABCS△ADE=425，所以 S△ABCS梯形BDEC=421．
5. D
【解析】如图，在 Rt△ABC 中，BC:AC=1:5，作 CD⊥AB 于 D．所以 BC2=AB⋅BD，AC2=AB⋅AD，所以 BC2AC2=AB⋅BDAB⋅AD，所以 BDAD=15．因此它们在斜边上的射影比为 1:5．
6. A
7. B
8. C【解析】提示：①②④正确，③错误．
9. C
10. B
11. D
12. C【解析】提示：过 D 作 AC 的平行线交 BE 于一点 G．
13. B【解析】连 PH 及 CH，
由圆内接四边形的性质定理有 ∠BCH=∠A，
则 △PAH∽△HCB，
PACH=HABC，
又 CH=HA，则 PA=13．
14. D
15. D
16. C
17. D
18. D
19. D【解析】由平行公理可得A中 PR∥QS，B中 PS∥QR，C中 PQ∥RS，
因此选项A，B，C中四点 P，Q，R，S 均共面．
D中过 Q，R，S 三点有唯一的一个平面，且 P 不在此平面内，
因此 P，Q，R，S 不共面．
20. D
【解析】【分析】设P点的横坐标为x，根据∣PF1∣=2∣PF2∣所以P在椭圆上确定x的范围，进而利用焦半径求得2a−2ex=a+ex
，求得x关于e的表达式，进而根据x的范围确定e的范围．
【解析】解：设P点的横坐标为x
∵∣PF1∣=2∣PF2∣所以P在椭圆上(x≤a)
由焦半径公式有2a−2ex=a+ex
得到3ex=a，x=13ea
因为x≤a，即13ea≤a
∴e≥13
∴e的范围为[13,1)
故选：D．
【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了椭圆的第二定义的灵活运用．
第二部分
21. a2
【解析】在直角梯形中，连结 DE ，易知 △ADE 为直角三角形，而 F 为中点，则 EF 为斜边 AD 的一半，故 EF=a2 ．
22. 1，2
【解析】由切割线定理知 PA2=PB⋅PC，
则 PB⋅PB+3=4，
所以 PB=1．
因为 ∠BAP=∠ACP，∠P=∠P，
所以 △PAB∽△PCA，
所以 ACAB=PAPB=2．
23. −13
【解析】因为 a+b+c2=a2+b2+c2+2a⋅b+b⋅c+c⋅a，
所以 a⋅b+b⋅c+c⋅a=a+b+c2−a2+b2+c22=0−32+12+422=−13.
24. 2
25. 60∘，31313
【解析】提示：连接 AE，由已知可得 AE⊥BC，由 BE2=BF⋅AB，AF=3BF，可得 BF=1，AF=3，AE=23，AC=13，所以 ∠CDE=∠B=60∘，又 CD⋅CA=CE⋅CB，可得 CD=31313．
第三部分
26. 在 △ADB 和 △ABC 中，
因为 ∠ABC=90∘，BD⊥AC，∠A 为公共角，
所以 △ADB∽△ABC，于是 ∠ABD=∠C．
在 Rt△BDC 中，
因为 E 是 BC 的中点，
所以 ED=EC，从而 ∠EDC=∠C，
所以 ∠EDC=∠ABD．
27. （1） θ 在第四象限．
（2） θ 在第一或第四象限．
28. 证明：在 Rt△AMB 和 Rt△ADE 中，
∠AMB=∠DAE，
∠ABM=∠AED=90∘，
∴△ABM∽△DEA．
∴ABDE=AMAD．
∵AB=a，BC=b，
∴DE=AB⋅ADAM=a⋅ba2+b24=2ab4a2+b2．
29. 连接 PC，
易证 PC=PB，∠ABP=∠ACP，
因为 CF∥AB，
所以 ∠F=∠ABP，
从而 ∠F=∠ACP，
又 ∠EPC 为 △CPE 与 △FPC 的公共角，
从而 △CPE∽△FPC，所以 CPFP=PEPC．
所以 PC2=PE⋅PF，又 PC=PB，
所以 PB2=PE⋅PF，命题得证．
30. （1） 连接 BN，
则 AN⊥BN，
又 CD⊥AB，则 ∠BEF=∠BNF=90∘，
即 ∠BEF+∠BNF=180∘，则 B，E，F，N 四点共圆．
（2） 由直角三角形的射影定理可知 AC2=AE⋅AB，
相似可知：BFBA=BEBM，BF⋅BM=BA⋅BE=BA⋅BA−EA，BF⋅BM=AB2−AB⋅AE，
所以 BF⋅BM=AB2−AC2，即 AC2+BF⋅BM=AB2．