2022届高考数学二轮专题测练-直线与直线的位置关系

这是一份2022届高考数学二轮专题测练-直线与直线的位置关系，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；共100分）
1. 已知过点 A−2,m 和点 Bm,4 的直线为 l1，直线 2x+y−1=0 为 l2，直线 x+ny+1=0 为 l3．若 l1∥l2，l2⊥l3，则实数 m+n 的值为
A. −10B. −2C. 0D. 8

2. 若直线 ax+2y−1=0 与直线 2x−3y−1=0 垂直，则 a 的值为
A. −3B. −43C. 2D. 3

3. 若直线 kx+1−ky−3=0 和直线 k−1x+2k+3y−2=0 互相垂直，则 k=
A. −3 或 −1B. 3 或 1C. −3 或 1D. −1 或 3

4. 若直线 2x+m+1y+4=0 与直线 mx+3y−2=0 平行，则实数 m 的值为
A. 2B. −3C. 2 或 −3D. −2 或 −3

5. 已知直线 x+my+6=0 和 m−2x+3y+2m=0 互相平行，则实数 m 的值为
A. −1 或 3B. −1C. −3D. 1 或 −3

6. 若直线 mx+4y−2=0 与直线 2x−5y+n=0 垂直，垂足为 1,p，则实数 n 的值为
A. −12B. −2C. 0D. 10

7. 若点 Pa,b 与 Qb−1,a+1 关于直线 l 对称，则直线 l 的倾斜角为
A. 135∘B. 45∘C. 30∘D. 60∘

8. a=14 是“直线 a+1x+3ay+1=0 与直线 a−1x+a+1y−3=0 相互垂直”的
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件

9. 已知 P1a1,b1 与 P2a2,b2 是直线 y=kx（k 为常数）上异于坐标原点的两个不同的点，则关于 x 和 y 的方程组 a1x+b1y=1,a2x+b2y=1 的解的情况是
A. 无论 k，P1，P2 如何，总是无解B. 无论 k，P1，P2 如何，总有唯一解
C. 存在 k，P1，P2 使之恰有两解D. 存在 k，P1，P2 使之有无穷多解

10. 若直线 l1：x+my+1=0 与 l2：m−2x+2my+2=0 平行，则实数 m 等于
A. 0B. 1C. 4D. 0 或 4

11. 已知三条直线 2x−3y+1=0，4x+3y+5=0，mx−y−1=0 不能构成三角形，则实数 m 的取值集合为
A. −43,23B. 43,−23
C. −43,23,43D. −43,−23,23

12. 已知直线 l1 和 l2 不重合，d1，d2 分别是 l1，l2 的方向向量，则 d1=d2 是 l1∥l2 的
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件

13. 方程 9x2−y2+3x+y=0 表示的曲线由
A. 一个点构成B. 两条互相平行的直线构成
C. 两条互相垂直的直线构成D. 两条相交但不垂直的直线构成

14. a=3 是直线 ax+2y+3a=0 与直线 3x+a−1y=a−7 平行的
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件

15. 设 F1，F2 分别为双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点 P 满足 PF2=F1F2，且 ∠PF2F1=90∘，则双曲线的离心率为
A. 2−1B. 2C. 2+1D. 22+1

16. 等腰直角三角形 ABC 中，∠C=90∘，若点 A,C 的坐标分别为 0,4，3,3，则点 B 的坐标可能是
A. 2,0 或 4,6B. 2,0 或 6,4
C. 4,6D. 0,2

17. 已知点 A5,−1，Bm,m，C2,3，若 △ABC 为直角三角形且 AC 边最长，则整数 m 的值为
A. 4B. 3C. 2D. 1

18. 若圆 C1：x2+y2=1 与圆 C2：x2+y2−6x−8y+m=0 外切，则 m 等于
A. 21B. 19C. 9D. −11

19. 两直线 2x+3y­−m=0 和 x−­my+12=0 的交点在 ｙ 轴上，则 m 的值
A. −24B. 6C. ±6D. 以上都不对

20. 已知四边形 MNPQ 的顶点 M1,1，N3,−1，P4,0，Q2,2，则四边形 MNPQ 的形状为
A. 平行四边形B. 菱形C. 梯形D. 矩形

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 若直线 x−2y+5=0 与直线 2x+my−6=0 互相平行，则实数 m= ．

22. 若直线 x−y=1 与直线 m+3x+my−8=0 平行，则 m= .

23. 已知直线 l1:ax−y+2a=0 与直线 l2:2a−1x+ay+a=0 互相垂直，则 a 的值为 ．

24. 已知 A0,1，点 B 在直线 l1:x+y=0 上运动，当线段 AB 最短时，直线 AB 的一般式方程为 ．

25. 直线 2+λx+λ−1y−2λ−1=0 经过的定点坐标为 ，经过此定点且与 3x−2y=0 垂直的直线方程是 ．

三、解答题（共5小题；共65分）
26. 是否存在实数 k, 使直线 l1:k−3x+4−ky+1=0 与直线 l2:2k−3x−2y+2−k=0 平行?若存在，求 k 的值；若不存在，请说明理由．

27. 已知四边形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A−1,2，B3,4，C3,2，D1,1．求证：四边形 ABCD 是梯形．

28. △ABC 的顶点 A4,3，AC 边上的中线所在的直线为 4x+13y−10=0，∠ABC 的平分线所在直线方程为 x+2y−5=0，求 AC 边所在直线的方程．

29. 已知直线 l1:ax+3y+1=0，l2:x+a−2y+a=0．
（1）若 l1⊥l2，求实数 a 的值；
（2）当 l1∥l2 时，求直线 l1 与 l2 之间的距离．

30. 已知直线 l 过点 1,3，且与 x 轴、 y 轴都交于正半轴，当直线 l 与坐标轴围成的三角形面积取得最小值时，求：
（1）直线 l 的方程；
（2）直线 l 关于直线 m:y=2x−1 对称的直线方程．
答案
第一部分
1. A【解析】因为 l1∥l2，
所以 4−mm+2=−2（m≠−2），
解得 m=−8（经检验，l1 与 l2 不重合）．
因为 l2⊥l3，
所以 2×1+1×n=0，即 n=−2．
所以 m+n=−10．
2. D【解析】直线 ax+2y−1=0 的斜率 k1=−a2，直线 2x−3y−1=0 的斜率 k2=23．因为两直线垂直，所以 −a2×23=−1，即 a=3 .
3. C【解析】因为直线 kx+1−ky−3=0 和直线 k−1x+2k+3y−2=0 互相垂直，
所以 kk−1+1−k2k+3=0，
解得 k=1 或 k=−3．
4. C【解析】直线 2x+m+1y+4=0 与直线 mx+3y−2=0 平行，则有 2m=m+13≠4−2，故 m=2 或 m=−3．
故选C．
5. B
【解析】因为两条直线 x+my+6=0 和 m−2x+3y+2m=0 互相平行，
所以 1×3−mm−2=0,2m−6m−2≠0,
解得 m=−1，故选B．
6. A【解析】由 2m−20=0，得 m=10．
由垂足 1,p 在直线 mx+4y−2=0 上，得 p=−2，
所以垂足坐标为 1,−2．
又垂足在直线 2x−5y+n=0 上，得 n=−12．
7. B【解析】由题意知，PQ⊥l．
因为 kPQ=a+1−bb−1−a=−1，
所以 kl=1，即直线 l 的倾斜角为 45∘．
8. A【解析】对于：直线 a+1x+3ay+1=0 与直线 a−1x+a+1y−3=0，
当 a=0 时，分别化为：x+1=0，−x+y−3=0，此时两条直线不垂直，舍去；
当 a=−1 时，分别化为：−3y+1=0，−2x−3=0，此时两条直线相互垂直，因此 a=−1 满足条件；
当 a≠−1,0 时，两条直线的斜率分别为：−a+13a，1−aa+1，由于两条直线垂直，可得 −a+13a×1−aa+1=−1，解得 a=14或−1（舍去）．
综上可得：两条直线相互垂直的充要条件为：a=14或−1．
所以 a=14 是“直线 a+1x+3ay+1=0 与直线 a−1x+a+1y−3=0 相互垂直”的充分而不必要条件．
故选：A．
9. A【解析】P1a1,b1 与 P2a2,b2 是直线 y=kx（k 为常数）上异于坐标原点的两个不同的点，直线 y=kx 的斜率存在，
当 k=0 时，b1=b2=0，
方程 a1x+b1y=1,a2x+b2y=1, 化为 a1x=1,a2x=1,
因为 a1≠a2，
所以此方程无解；
当 k≠0 时，k=b2−b1a2−a1，a1≠a2，且 b1=ka1，b2=ka2，
所以 a2b1−a1b2=ka1a2−ka1a2=0，
a1x+b1y=1, ⋯⋯①a2x+b2y=1, ⋯⋯②
① ×b2− ② ×b1 得：a1b2−a2b1x=b2−b1，
因为 a1b2−a2b1=0，b2−b1≠0，
所以方程组无解，
综上，无论 k，P1，P2 如何，总是无解．
10. A
【解析】因为直线 l1∥l2，
所以 1⋅2m=m⋅m−2，
即 2m=m2−2m，
所以 m2=4m，
即 m=0 或 m=4，
①若 m=0，
则 l1=x+1=0，l2：x−1=0，
所以 l1∥l2，
②若 m=4，则 l1：x+4y+1=0，
l2：x+4y+1=0，
则 l1 与 l2 重合．
综上所述，m=0．
故选A．
11. D
12. A
13. D
14. C
15. C
【解析】因为 PF2=F1F2=2c，且 ∠PF2F1=90∘，
所以 PF1=22c，
由双曲线的定义，得 22c−2c=2a，
所以 ca=2+1．
16. A【解析】设 Bx,y，根据题意可得 kAC⋅kBC=−1∣BC∣=∣AC∣，即 3−43−0⋅y−3x−3=−1x−32+y−32=0−32+4−32，解得 x=2,y=0, 或 x=4,y=6, 所以 B2,0 或 B4,6．
17. D
18. C【解析】圆 C2 的标准方程为 x−32+y−42=25−m．
又圆 C1：x2+y2=1，
所以 C1C2=5．
又因为两圆外切，
所以 5=1+25−m，解得 m=9．
19. C
20. D
【解析】因为 kMN=−1，kPQ=−1，
所以 MN∥PQ．
又因为 kMQ=1，kNP=1，
所以 MQ∥NP，
所以四边形 MNPQ 为平行四边形，
又因为 kMN⋅kMQ=−1，
所以 MN⊥MQ．
所以四边形 MNPQ 为矩形．
第二部分
21. −4
22. −32
23. 0 或 1
24. x−y+1=0
【解析】AB⊥l1 时，AB 最短，所以 AB 斜率为 k=1，方程为 y−1=x，即 x−y+1=0．
25. 1,1，2x+3y−5=0
【解析】直线 2+λx+λ−1y−2λ−1=0，即直线 2x−y−1+λx+y−2=0，它一定经过 2x−y−1=0 和 x+y−2=0 的交点．
由 2x−y−1=0,x+y−2=0, 求得 x=1,y=1, 可得直线 2+λx+λ−1y−2λ−1=0 经过的定点坐标为 1,1，设直线方程为 2x+3y+c=0，代入 1,1，可得 c=−5，
所以经过此定点且与 3x−2y=0 垂直的直线方程是 2x+3y−5=0．
第三部分
26. k=3或5．
27. 略．
28. 由 x+2y−5=0,4x+13y−10=0, 得点 B 的坐标为 9,−2．
点 A 关于 ∠ABC 的平分线的对称点 Aʹ2,−1，
该点在 BC 上，得 lBC:x+7y+5=0．
设点 C 的坐标为 x0,y0，则点 M 的坐标为 x0+42,y0+32．
所以 x0+7y0+5=0,2x0+4+132y0+3−10=0.
解方程组，得点 C 的坐标为 −12,1，则 kAC=18．
所以 AC 边所在直线的方程为 x−8y+20=0．
29. （1） 由 l1⊥l2 知 a+3a−2=0，解得 a=32．
（2） 当 l1∥l2 时，有 aa−2−3=0,3a−a−2≠0,
解得 a=3．
l1:3x+3y+1=0，l2:x+y+3=0，即 3x+3y+9=0，则直线 l1 与 l2 之间的距离 d=9−132+32=423．
30. （1） 由已知，直线 l 的斜率存在，且小于 0，
设直线 y−3=kx−1，其中 k<0，
与 x 轴交于点 1−3k,0，与 y 轴交于点 0,3−k，
故 s=121−3k3−k=126+−k+9−k≥6，等号成立的条件是 k=−3，
相应地，l:3x+y−6=0．
（2） 显然所求直线的斜率存在，设为 k，
则 −3−21+−3×2=k−21+2k 得 k=13，
又由 3x+y−6=0,y=2x−1 得 l 与 m 的交点为 75,95，该点也在所求直线上，
故所求直线为 x−3y+4=0．