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2021年安徽金安区六安中学高二上学期期末数学试卷
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这是一份2021年安徽金安区六安中学高二上学期期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共12小题；共60分）
1. 已知双曲线 x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的一条渐近线过点 2,3，且双曲线的一个焦点在抛物线 y2=47x 的准线上，则双曲线的方程为
A. x221−y228=1B. x228−y221=1C. x23−y24=1D. x24−y23=1
2. 设 l，m，n 为不同的直线，α，β 为不同的平面，有如下四个命题，其中正确命题的个数是
①若 α⊥β，l⊥α，则 l∥β；
②若 α⊥β，l⊂α，则 l⊥β；
③若 l⊥m，m⊥n，则 l∥n；
④若 m⊥α，n∥β 且 α∥β，则 m⊥n．
A. 4B. 3C. 2D. 1
3. 如果圆 x−a2+y−a2=8 上总存在两个点到原点的距离为 2，则实数 a 的取值范围是
A. −3,−1∪1,3B. −3,3
C. −1,1D. −3,−1∪1,3
4. 如图，在直三棱柱 A1B1C1−ABC 中，∠BAC=π2，AB=AC=A1A=1，已知 G 与 E 分别是棱 A1B1 和 CC1 的中点，D 与 F 分别是线段 AC 与 AB 上的动点（不包括端点）．若 GD⊥EF，则线段 DF 的长度的取值范围是
A. 15,1B. 15,2C. 1,2D. 15,2
5. 已知 A，B 是球 O 的球面上两点，∠AOB=60∘，C 为该球面上的动点，若三棱锥 O−ABC 体积的最大值为 1633，则球 O 的表面积为
A. 36πB. 64πC. 144πD. 256π
6. 椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的两焦点为 F1−c,0，F2c,0，P 为直线 x=a2c 上一点，F1P 的垂直平分线恰过 F2 点，则 e 的取值范围为
A. 0,33B. 0,33C. 33,1D. 33,1
7. 如图，已知 △ABC，D 是 AB 的中点，沿直线 CD 将 △ACD 折成 △A1CD，所成二面角 A1−CD−B 的平面角为 α，则
A. ∠A1CB≥αB. ∠A1DB≤αC. ∠A1DB≥αD. ∠A1CB≤α
8. 已知直线 a，b，平面 α，β，a⊂α，b⊂α，则 a∥β，b∥β 是 α∥β 的
A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A. 83+8πB. 163+8πC. 83+16πD. 163+16π
10. 若直线 ax+by+c=0 在第一、二、四象限，则有
A. ac>0,bc>0B. ac>0,bc<0C. ac<0,bc>0D. ac<0,bc<0
11. 中心为原点，一个焦点为 F0,52 的椭圆，截直线 y=3x−2 所得弦中点的横坐标为 12，则该椭圆方程为
A. 2x275+2y225=1B. x275+y225=1C. x225+y275=1D. 2x225+2y275=1
12. 已知点 M 是抛物线 x2=4y 上的一动点，F 为抛物线的焦点，A 是圆 C:x−12+y−42=1 上一动点，则 MA+MF 的最小值为
A. 3B. 4C. 5D. 6
二、填空题（共4小题；共20分）
13. 若命题“∃x∈R，使得 ax2+ax+1≤0”为假命题，则实数 a 的取值范围为 ．
14. 在平面直角坐标系内，已知 B−3,33，C3,−33，且 Hx,y 是曲线 x2+y2=1 上任意一点，则 BH⋅CH 的值为 ．
15. 已知正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为 1，以顶点 A 为球心，233 为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于 ．
16. 椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 上任意两点 P，Q，若 OP⊥OQ，则乘积 ∣OP∣⋅∣OQ∣ 的最小值为 ．
三、解答题（共6小题；共78分）
17. 如图所示，四棱锥 P−ABCD 的底面为直角梯形，∠ADC=∠DCB=90∘，AD=1，BC=3，PC=CD=2，PC⊥底面ABCD，E 为 AB 的中点．
（1）求证：平面PDE⊥平面PAC；
（2）求直线 PC 与平面 PDE 所成角的正弦值．
18. 已知圆 C:x2+y2+2x−4y+3=0．
（1）若不过原点的直线 l 与圆 C 相切，且在 x 轴，y 轴上的截距相等，求直线 l 的方程；
（2）从圆 C 外一点 Px,y 向圆引一条切线，切点为 M，O 为坐标原点，且有 ∣PM∣=∣PO∣，求点 P 的轨迹方程．
19. 椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 32，右焦点到直线 x+y+6=0 的距离为 23，过 M0,−1 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线 l 交 x 轴于 N，NA=−75NB，求直线 l 的方程
20. 在多面体 ABCDE 中，BC=BA，DE∥BC，AE⊥平面BCDE，BC=2DE，F 为 AB 的中点．
（1）求证：EF∥平面ACD；
（2）若 EA=EB=CD，求二面角 B−AD−E 的正切值的大小．
21. 如图，已知离心率为 32 的椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 过点 M2,1，O 为坐标原点，平行于 OM 的直线 l 交椭圆 C 于不同的两点 A，B．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）证明：直线 MA，MB 与 x 轴围成一个等腰三角形．
22. 已知 a≥12，y=−a2x2+ax+c，其中 a，c 均为实数．
证明：对于任意的 x∈x0≤x≤1，均有 y≤1 成立的充要条件是 c≤34．
答案
第一部分
1. D【解析】由题意，ba=32，因为抛物线 y2=47x 的准线方程为 x=−7，双曲线的一个焦点在抛物线 y2=47x 的准线上，所以 c=7，所以 a2+b2=c2=7，所以 a=2，b=3，所以双曲线的方程为 x24−y23=1．
2. D【解析】①若 α⊥β，l⊥α，则 l∥β 或 l⊂β，故①错误，
②若 α⊥β，l⊂α，则 l⊥β 或 l∥β，故②错误，
③若 l⊥m，m⊥n，则 l∥n 或 l 与 n 相交或 l 与 n 异面，故③错误，
④若 m⊥α，α∥β，则 m⊥β，若 n∥β，则 m⊥n．故④正确，
故正确的是④．
3. A【解析】问题可转化为圆 x−a2+y−a2=8 和圆 x2+y2=2 相交，
两圆圆心距 d=a−02+a−02=2a，
由 R−r解得：14. A【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，
则 A0,0,0，E0,1,12，G12,0,1，Fx,0,0，D0,y,0，
由于 GD⊥EF，所以 x+2y−1=0，DF=x2+y2=5y2−4y+1=5y−252+15，
因为 0当 y=25 时，线段 DF 长度的最小值是 15，当 y=0 时，线段 DF 长度的最大值是 1，而不包括端点，故 y=0 不能取 1．
5. B
【解析】如图所示，
当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时，三棱锥 O−ABC 的体积最大，设球 O 的半径为 R，此时 VO−ABC=VC−AOB=13×12R2×32×R=1633，
故 R=4，则球 O 的表面积为 4πR2=64π．
6. D【解析】由题意得 F1−c,0，F2c,0，设点 Pa2c,m，
则由中点公式可得线段 PF1 的中点 Ka2−c22c,m2，
所以线段 PF1 的斜率与 KF2 的斜率之积等于 −1，
所以 m−0a2c+c⋅m2−0a2−c22c−c=−1，
所以 m2=−a2c+c⋅a2c−3c≥0，
所以 a4−2a2c2−3c4≤0，
所以 3e4+2e2−1≥0，
所以 e2≥13 或 e2≤−1（舍去），
所以 e≥33．
又椭圆的离心率 07. C【解析】设 ∠ADC=θ，AB=2，则由题意知 AD=BD=A1D=1．
在空间图形中，连接 A1B，设 A1B=t．
在 △A1DB 中，cs∠A1DB=A1D2+DB2−A1B22A1D×DB=12+12−t22×1×1=2−t22．
过 A1 作 A1N⊥DC，过 B 作 BM⊥DC，垂足分别为 N，M．
过 N 作 NP∥MB，使四边形 BPNM 为平行四边形，则 NP⊥DC．
连接 A1P，BP，
则 ∠A1NP 就是二面角 A1−CD−B 的平面角，
所以 ∠A1NP=α．
在 Rt△A1ND 中，DN=A1Dcs∠A1DC=csθ，A1N=A1Dsin∠A1DC=sinθ．
同理，BM=PN=sinθ，DM=csθ，故 BP=MN=2csθ．
由题意 BP⊥平面A1NP，故 BP⊥A1P．
在 Rt△A1BP 中，A1P2=A1B2−BP2=t2−2csθ2=t2−4cs2θ．
在 △A1NP 中，
csα=cs∠A1NP=A1N2+NP2−A1P22A1N×NP=sin2θ+sin2θ−t2−4cs2θ2sinθ×sinθ=2+2cs2θ−t22sin2θ=2−t22sin2θ+cs2θsin2θ=1sin2θcs∠A1DB+cs2θsin2θ.
所以
csα−cs∠A1DB=1sin2θcs∠A1DB+cs2θsin2θ−cs∠A1DB=1−sin2θsin2θcs∠A1DB+cs2θsin2θ=cs2θsin2θ1+cs∠A1DB≥0,
所以 csα≥cs∠A1DB（当 θ=π2 时取等号），
因为 α,∠A1DB∈0,π，而 y=csx 在 0,π 上为递减函数，
所以 α≤∠A1DB．
8. B【解析】因为直线 a，b，平面 α，β，a⊂α，b⊂α，由 a∥β，b∥β，得 α 与 β 平行或相交，由 α∥β，得 a∥β，b∥β，所以 a∥β，b∥β 是 α∥β 的必要但不充分条件．
9. A
10. D
11. C【解析】由已知得 c=52，设椭圆的方程为 x2a2−50+y2a2=1，联立 x2a2−50+y2a2=1,y=3x−2, 消去 y 得 10a2−450x2−12a2−50x+4a2−50−a2a2−50=0，设直线 y=3x−2 与椭圆的交点坐标分别为 x1,y1，x2,y2，由根与系数关系得 x1+x2=12a2−5010a2−450，由题意知 x1+x2=1，即 12a2−5010a2−450=1，解得 a2=75，所以该椭圆方程为 y275+x225=1．
12. B【解析】连接 MF，MC，过点 M 作准线的垂线 MP，如图所示，
由抛物线的定义知 MP=MF．
当 M，A，P 三点共线时，MA+MF 的值最小，且最小值为 CP−1．
因为抛物线的准线方程为 y=−1，而 C1,4，
所以 CP=4+1=5．
所以 MA+MFmin=5−1=4．
第二部分
13. 0,4
【解析】因为命题“∃x∈R，使得 ax2+ax+1≤0”为假命题，
所以 ax2+ax+1>0 恒成立，
当 a=0 时，1>0 恒成立，满足条件，
当 a≠0 时，若 ax2+ax+1>0 恒成立，
则 a>0,Δ=a2−4a<0, 解得：a∈0,4，
综上所述：a∈0,4．
14. −35
【解析】BH=x+3,y−33，CH=x−3,y+33，
所以
BH⋅CH=x+3x−3+y−33y+33=x2−9+y2−27=1−36=−35.
15. 536π
【解析】如图，
球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点 A 所在的三个面上，即面 AA1B1B 、面 ABCD 和面 AA1D1D 上；另一类在不过顶点 A 的三个面上，即面 BB1C1C 、面 CC1D1D 和面 A1B1C1D1 上．
在面 AA1B1B 上，交线为弧 EF 且在过球心 A 的大圆上，
因为 AE=233，AA1=1，则 ∠A1AE=π6．
同理 ∠BAF=π6，所以 ∠EAF=π6，
故弧 EF 的长为 233×π6=39π，而这样的弧共有三条．
在面 BB1C1C 上，交线为弧 FG 且在距球心为 1 的平面与球面相交所得的小圆上，
此时，小圆的圆心为 B，半径为 33，∠FBG=π2，
所以弧 FG 的长为 33×π2=36π．这样的弧也有三条．
于是，所得的曲线长为 3×39π+3×36π=53π6．
16. 2a2b2a2+b2
【解析】题意可设点 P∣OP∣csθ,∣OP∣sinθ，Q∣OQ∣csθ±π2,∣OQ∣sinθ±π2，
由 P，Q 在椭圆上，得：
1∣OP∣2=cs2θa2+sin2θb2, ⋯⋯①
1∣OQ∣2=sin2θa2+cs2θb2, ⋯⋯②
①+②，得 1∣OP∣2+1∣OQ∣2=1a2+1b2，
所以当 ∣OP∣=∣OQ∣=2a2b2a2+b2 时，乘积 ∣OP∣⋅∣OQ∣ 最小值为 2a2b2a2+b2．
第三部分
17. （1） 以点 C 为坐标原点，以直线 CD，CB，CP 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 C−xyz，
则 C0,0,0，A2,1,0，B0,3,0，P0,0,2，D2,0,0，E1,2,0．
所以 DE=−1,2,0，CA=2,1,0，CP=0,0,2，
所以 DE⋅CA=−1,2,0⋅2,1,0=0，DE⋅CP=−1,2,0⋅0,0,2=0，
所以 DE⊥CA，DE⊥CP，
又 CP∩CA=C，AC⊂平面PAC，CP⊂平面PAC，
所以 DE⊥平面PAC，
因为 DE⊂平面PDE，
所以 平面PDE⊥平面PAC．
（2） DE=−1,2,0，PE=1,2,−2，
设 n=x,y,z 是平面 PDE 的一个法向量，则 n⋅DE=n⋅PE=0，
所以 −x+2y=0,x+2y−2z=0,
令 x=2，则 y=1，z=2，即 n=2,1,2，
所以 n⋅CP=4，n=3，CP=2，
所以 csn,CP=n⋅CPnCP=23．
所以直线 PC 与平面 PDE 所成角的正弦值为 23．
18. （1） 将圆 C 配方得 x+12+y−22=2．
由题意知直线在两坐标轴上的截距不为零，设直线方程为 x+y−a=0，
由 ∣−1+2−a∣2=2，得 ∣a−1∣=2，即 a=−1 或 a=3．
所以直线方程为 x+y+1=0 或 x+y−3=0．
（2） 由于 ∣PC∣2=∣PM∣2+∣CM∣2=∣PM∣2+r2，
所以 ∣PM∣2=∣PC∣2−r2．
又因为 ∣PM∣=∣PO∣，
所以 ∣PC∣2−r2=∣PO∣2，
所以 x+12+y−22−2=x2+y2．
所以 2x−4y+3=0 即为所求．
19. （1） 设右焦点为 c,0c>0，
因为右焦点到直线 x+y+6=0 的距离为 23，
所以 ∣c+6∣2=23，
所以 c=6，
又因为椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 32，
所以 ca=32，
所以 a=22，
所以 b=a2−c2=2，
所以椭圆的方程为 x28+y22=1；
（2） 设 Ax1,y1，Bx2,y2，Nx0,0，
因为 NA=−75NB，
所以 x1−x0,y1=−75x2−x0,y2，
所以 y1=−75y2, ⋯⋯①
易知直线斜率不存在时或斜率为 0 时 ① 不成立，
于是设直线 l 的方程为 y=kx−1k≠0．
与椭圆方程联立 y=kx−1,x28+y22=1 消去 x 可得 4k2+1y2+2y+1−8k2=0, ⋯⋯②
所以 y1+y2=−24k2+1, ⋯⋯③
y1y2=1−8k24k2+1, ⋯⋯④
由 ①③ 可得 y2=54k2+1，y1=−74k2+1 代入 ④ 整理可得：8k4+k2−9=0，
所以 k2=1，
此时 ② 为 5y2+2y−7=0，判别式大于 0，
所以直线 l 的方程为 y=±x−1．
20. （1） 取 AC 中点 G，连接 DG，FG．
因为 F 是 AB 的中点，
所以 FG 是 △ABC 的中位线，则 FG∥BC，FG=12BC，
所以 FG∥DE，FG=DE，
则四边形 DEFG 是平行四边形，
所以 EF∥DG，由于 DG⊂平面ACD，EF⊄平面ACD，
故 EF∥平面ACD．
（2） 过点 B 作 BM 垂直 DE 的延长线于点 M，
因为 AE⊥平面BCDE，
所以 AE⊥BM，则 BM⊥平面ADE，
过 M 作 MH⊥AD，垂足为 H，连接 BH，则 AD⊥平面BMH，
所以 AD⊥BH，则 ∠BHM 是二面角 B−AD−E 的平面角．
设 DE=a，则 BC=AB=2a，
在 △BEM 中，EM=a2，BE=2a，
所以 BM=72a．
又因为 △ADE∽△MDH，
所以 HM=62a，则 tan∠BHM=426．
21. （1） 设椭圆 C 的方程为：x2a2+y2b2=1a>b>0，
由题意得：ca=32,4a2+1b2=1,a2=b2+c2, 解得 a2=8，b2=2，
所以椭圆方程为 x28+y22=1．
（2） 由直线 l∥OM，设 l:y=12x+m，
将式子代入椭圆 C 得：x2+2mx+2m2−4=0，
设 Ax1,y1，Bx2,y2，则 x1+x2=−2m，x1x2=2m2−4，
设直线 MA，MB 的斜率分别为 k1，k2，则 k1=y1−1x1−2，k2=y2−1x2−2，
因为
k1+k2=12x1+m−1x1−2+12x2+m−1x2−2=1+m⋅x1+x2−4x1x2−2x1+x2+4=1+m⋅−2m−42m2−4−2−2m+4=0,
故直线 MA，MB 与 x 轴围成一个等腰三角形．
22. 因为 a≥12，所以函数 y=−a2x2+ax+c 的图象的对称轴方程为 x=a2a2=12a，且 0<12a≤1，
当 x=12a 时，y=14+c．
先证必要性：对于任意的 x∈x0≤x≤1，均有 y≤1，即 14+c≤1，
所以 c≤34．
再证充分性：
因为 c≤34，当 x=12a 时，y 的最大值为 14+c≤14+34=1，
所以对于任意 x∈x0≤x≤1，
y=−a2x2+ax+c≤1，即 y≤1．
即充分性成立．
一、选择题（共12小题；共60分）
1. 已知双曲线 x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的一条渐近线过点 2,3，且双曲线的一个焦点在抛物线 y2=47x 的准线上，则双曲线的方程为
A. x221−y228=1B. x228−y221=1C. x23−y24=1D. x24−y23=1
2. 设 l，m，n 为不同的直线，α，β 为不同的平面，有如下四个命题，其中正确命题的个数是
①若 α⊥β，l⊥α，则 l∥β；
②若 α⊥β，l⊂α，则 l⊥β；
③若 l⊥m，m⊥n，则 l∥n；
④若 m⊥α，n∥β 且 α∥β，则 m⊥n．
A. 4B. 3C. 2D. 1
3. 如果圆 x−a2+y−a2=8 上总存在两个点到原点的距离为 2，则实数 a 的取值范围是
A. −3,−1∪1,3B. −3,3
C. −1,1D. −3,−1∪1,3
4. 如图，在直三棱柱 A1B1C1−ABC 中，∠BAC=π2，AB=AC=A1A=1，已知 G 与 E 分别是棱 A1B1 和 CC1 的中点，D 与 F 分别是线段 AC 与 AB 上的动点（不包括端点）．若 GD⊥EF，则线段 DF 的长度的取值范围是
A. 15,1B. 15,2C. 1,2D. 15,2
5. 已知 A，B 是球 O 的球面上两点，∠AOB=60∘，C 为该球面上的动点，若三棱锥 O−ABC 体积的最大值为 1633，则球 O 的表面积为
A. 36πB. 64πC. 144πD. 256π
6. 椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的两焦点为 F1−c,0，F2c,0，P 为直线 x=a2c 上一点，F1P 的垂直平分线恰过 F2 点，则 e 的取值范围为
A. 0,33B. 0,33C. 33,1D. 33,1
7. 如图，已知 △ABC，D 是 AB 的中点，沿直线 CD 将 △ACD 折成 △A1CD，所成二面角 A1−CD−B 的平面角为 α，则
A. ∠A1CB≥αB. ∠A1DB≤αC. ∠A1DB≥αD. ∠A1CB≤α
8. 已知直线 a，b，平面 α，β，a⊂α，b⊂α，则 a∥β，b∥β 是 α∥β 的
A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A. 83+8πB. 163+8πC. 83+16πD. 163+16π
10. 若直线 ax+by+c=0 在第一、二、四象限，则有
A. ac>0,bc>0B. ac>0,bc<0C. ac<0,bc>0D. ac<0,bc<0
11. 中心为原点，一个焦点为 F0,52 的椭圆，截直线 y=3x−2 所得弦中点的横坐标为 12，则该椭圆方程为
A. 2x275+2y225=1B. x275+y225=1C. x225+y275=1D. 2x225+2y275=1
12. 已知点 M 是抛物线 x2=4y 上的一动点，F 为抛物线的焦点，A 是圆 C:x−12+y−42=1 上一动点，则 MA+MF 的最小值为
A. 3B. 4C. 5D. 6
二、填空题（共4小题；共20分）
13. 若命题“∃x∈R，使得 ax2+ax+1≤0”为假命题，则实数 a 的取值范围为 ．
14. 在平面直角坐标系内，已知 B−3,33，C3,−33，且 Hx,y 是曲线 x2+y2=1 上任意一点，则 BH⋅CH 的值为 ．
15. 已知正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为 1，以顶点 A 为球心，233 为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于 ．
16. 椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 上任意两点 P，Q，若 OP⊥OQ，则乘积 ∣OP∣⋅∣OQ∣ 的最小值为 ．
三、解答题（共6小题；共78分）
17. 如图所示，四棱锥 P−ABCD 的底面为直角梯形，∠ADC=∠DCB=90∘，AD=1，BC=3，PC=CD=2，PC⊥底面ABCD，E 为 AB 的中点．
（1）求证：平面PDE⊥平面PAC；
（2）求直线 PC 与平面 PDE 所成角的正弦值．
18. 已知圆 C:x2+y2+2x−4y+3=0．
（1）若不过原点的直线 l 与圆 C 相切，且在 x 轴，y 轴上的截距相等，求直线 l 的方程；
（2）从圆 C 外一点 Px,y 向圆引一条切线，切点为 M，O 为坐标原点，且有 ∣PM∣=∣PO∣，求点 P 的轨迹方程．
19. 椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 32，右焦点到直线 x+y+6=0 的距离为 23，过 M0,−1 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线 l 交 x 轴于 N，NA=−75NB，求直线 l 的方程
20. 在多面体 ABCDE 中，BC=BA，DE∥BC，AE⊥平面BCDE，BC=2DE，F 为 AB 的中点．
（1）求证：EF∥平面ACD；
（2）若 EA=EB=CD，求二面角 B−AD−E 的正切值的大小．
21. 如图，已知离心率为 32 的椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 过点 M2,1，O 为坐标原点，平行于 OM 的直线 l 交椭圆 C 于不同的两点 A，B．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）证明：直线 MA，MB 与 x 轴围成一个等腰三角形．
22. 已知 a≥12，y=−a2x2+ax+c，其中 a，c 均为实数．
证明：对于任意的 x∈x0≤x≤1，均有 y≤1 成立的充要条件是 c≤34．
答案
第一部分
1. D【解析】由题意，ba=32，因为抛物线 y2=47x 的准线方程为 x=−7，双曲线的一个焦点在抛物线 y2=47x 的准线上，所以 c=7，所以 a2+b2=c2=7，所以 a=2，b=3，所以双曲线的方程为 x24−y23=1．
2. D【解析】①若 α⊥β，l⊥α，则 l∥β 或 l⊂β，故①错误，
②若 α⊥β，l⊂α，则 l⊥β 或 l∥β，故②错误，
③若 l⊥m，m⊥n，则 l∥n 或 l 与 n 相交或 l 与 n 异面，故③错误，
④若 m⊥α，α∥β，则 m⊥β，若 n∥β，则 m⊥n．故④正确，
故正确的是④．
3. A【解析】问题可转化为圆 x−a2+y−a2=8 和圆 x2+y2=2 相交，
两圆圆心距 d=a−02+a−02=2a，
由 R−r
则 A0,0,0，E0,1,12，G12,0,1，Fx,0,0，D0,y,0，
由于 GD⊥EF，所以 x+2y−1=0，DF=x2+y2=5y2−4y+1=5y−252+15，
因为 0
5. B
【解析】如图所示，
当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时，三棱锥 O−ABC 的体积最大，设球 O 的半径为 R，此时 VO−ABC=VC−AOB=13×12R2×32×R=1633，
故 R=4，则球 O 的表面积为 4πR2=64π．
6. D【解析】由题意得 F1−c,0，F2c,0，设点 Pa2c,m，
则由中点公式可得线段 PF1 的中点 Ka2−c22c,m2，
所以线段 PF1 的斜率与 KF2 的斜率之积等于 −1，
所以 m−0a2c+c⋅m2−0a2−c22c−c=−1，
所以 m2=−a2c+c⋅a2c−3c≥0，
所以 a4−2a2c2−3c4≤0，
所以 3e4+2e2−1≥0，
所以 e2≥13 或 e2≤−1（舍去），
所以 e≥33．
又椭圆的离心率 0
在空间图形中，连接 A1B，设 A1B=t．
在 △A1DB 中，cs∠A1DB=A1D2+DB2−A1B22A1D×DB=12+12−t22×1×1=2−t22．
过 A1 作 A1N⊥DC，过 B 作 BM⊥DC，垂足分别为 N，M．
过 N 作 NP∥MB，使四边形 BPNM 为平行四边形，则 NP⊥DC．
连接 A1P，BP，
则 ∠A1NP 就是二面角 A1−CD−B 的平面角，
所以 ∠A1NP=α．
在 Rt△A1ND 中，DN=A1Dcs∠A1DC=csθ，A1N=A1Dsin∠A1DC=sinθ．
同理，BM=PN=sinθ，DM=csθ，故 BP=MN=2csθ．
由题意 BP⊥平面A1NP，故 BP⊥A1P．
在 Rt△A1BP 中，A1P2=A1B2−BP2=t2−2csθ2=t2−4cs2θ．
在 △A1NP 中，
csα=cs∠A1NP=A1N2+NP2−A1P22A1N×NP=sin2θ+sin2θ−t2−4cs2θ2sinθ×sinθ=2+2cs2θ−t22sin2θ=2−t22sin2θ+cs2θsin2θ=1sin2θcs∠A1DB+cs2θsin2θ.
所以
csα−cs∠A1DB=1sin2θcs∠A1DB+cs2θsin2θ−cs∠A1DB=1−sin2θsin2θcs∠A1DB+cs2θsin2θ=cs2θsin2θ1+cs∠A1DB≥0,
所以 csα≥cs∠A1DB（当 θ=π2 时取等号），
因为 α,∠A1DB∈0,π，而 y=csx 在 0,π 上为递减函数，
所以 α≤∠A1DB．
8. B【解析】因为直线 a，b，平面 α，β，a⊂α，b⊂α，由 a∥β，b∥β，得 α 与 β 平行或相交，由 α∥β，得 a∥β，b∥β，所以 a∥β，b∥β 是 α∥β 的必要但不充分条件．
9. A
10. D
11. C【解析】由已知得 c=52，设椭圆的方程为 x2a2−50+y2a2=1，联立 x2a2−50+y2a2=1,y=3x−2, 消去 y 得 10a2−450x2−12a2−50x+4a2−50−a2a2−50=0，设直线 y=3x−2 与椭圆的交点坐标分别为 x1,y1，x2,y2，由根与系数关系得 x1+x2=12a2−5010a2−450，由题意知 x1+x2=1，即 12a2−5010a2−450=1，解得 a2=75，所以该椭圆方程为 y275+x225=1．
12. B【解析】连接 MF，MC，过点 M 作准线的垂线 MP，如图所示，
由抛物线的定义知 MP=MF．
当 M，A，P 三点共线时，MA+MF 的值最小，且最小值为 CP−1．
因为抛物线的准线方程为 y=−1，而 C1,4，
所以 CP=4+1=5．
所以 MA+MFmin=5−1=4．
第二部分
13. 0,4
【解析】因为命题“∃x∈R，使得 ax2+ax+1≤0”为假命题，
所以 ax2+ax+1>0 恒成立，
当 a=0 时，1>0 恒成立，满足条件，
当 a≠0 时，若 ax2+ax+1>0 恒成立，
则 a>0,Δ=a2−4a<0, 解得：a∈0,4，
综上所述：a∈0,4．
14. −35
【解析】BH=x+3,y−33，CH=x−3,y+33，
所以
BH⋅CH=x+3x−3+y−33y+33=x2−9+y2−27=1−36=−35.
15. 536π
【解析】如图，
球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点 A 所在的三个面上，即面 AA1B1B 、面 ABCD 和面 AA1D1D 上；另一类在不过顶点 A 的三个面上，即面 BB1C1C 、面 CC1D1D 和面 A1B1C1D1 上．
在面 AA1B1B 上，交线为弧 EF 且在过球心 A 的大圆上，
因为 AE=233，AA1=1，则 ∠A1AE=π6．
同理 ∠BAF=π6，所以 ∠EAF=π6，
故弧 EF 的长为 233×π6=39π，而这样的弧共有三条．
在面 BB1C1C 上，交线为弧 FG 且在距球心为 1 的平面与球面相交所得的小圆上，
此时，小圆的圆心为 B，半径为 33，∠FBG=π2，
所以弧 FG 的长为 33×π2=36π．这样的弧也有三条．
于是，所得的曲线长为 3×39π+3×36π=53π6．
16. 2a2b2a2+b2
【解析】题意可设点 P∣OP∣csθ,∣OP∣sinθ，Q∣OQ∣csθ±π2,∣OQ∣sinθ±π2，
由 P，Q 在椭圆上，得：
1∣OP∣2=cs2θa2+sin2θb2, ⋯⋯①
1∣OQ∣2=sin2θa2+cs2θb2, ⋯⋯②
①+②，得 1∣OP∣2+1∣OQ∣2=1a2+1b2，
所以当 ∣OP∣=∣OQ∣=2a2b2a2+b2 时，乘积 ∣OP∣⋅∣OQ∣ 最小值为 2a2b2a2+b2．
第三部分
17. （1） 以点 C 为坐标原点，以直线 CD，CB，CP 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 C−xyz，
则 C0,0,0，A2,1,0，B0,3,0，P0,0,2，D2,0,0，E1,2,0．
所以 DE=−1,2,0，CA=2,1,0，CP=0,0,2，
所以 DE⋅CA=−1,2,0⋅2,1,0=0，DE⋅CP=−1,2,0⋅0,0,2=0，
所以 DE⊥CA，DE⊥CP，
又 CP∩CA=C，AC⊂平面PAC，CP⊂平面PAC，
所以 DE⊥平面PAC，
因为 DE⊂平面PDE，
所以 平面PDE⊥平面PAC．
（2） DE=−1,2,0，PE=1,2,−2，
设 n=x,y,z 是平面 PDE 的一个法向量，则 n⋅DE=n⋅PE=0，
所以 −x+2y=0,x+2y−2z=0,
令 x=2，则 y=1，z=2，即 n=2,1,2，
所以 n⋅CP=4，n=3，CP=2，
所以 csn,CP=n⋅CPnCP=23．
所以直线 PC 与平面 PDE 所成角的正弦值为 23．
18. （1） 将圆 C 配方得 x+12+y−22=2．
由题意知直线在两坐标轴上的截距不为零，设直线方程为 x+y−a=0，
由 ∣−1+2−a∣2=2，得 ∣a−1∣=2，即 a=−1 或 a=3．
所以直线方程为 x+y+1=0 或 x+y−3=0．
（2） 由于 ∣PC∣2=∣PM∣2+∣CM∣2=∣PM∣2+r2，
所以 ∣PM∣2=∣PC∣2−r2．
又因为 ∣PM∣=∣PO∣，
所以 ∣PC∣2−r2=∣PO∣2，
所以 x+12+y−22−2=x2+y2．
所以 2x−4y+3=0 即为所求．
19. （1） 设右焦点为 c,0c>0，
因为右焦点到直线 x+y+6=0 的距离为 23，
所以 ∣c+6∣2=23，
所以 c=6，
又因为椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 32，
所以 ca=32，
所以 a=22，
所以 b=a2−c2=2，
所以椭圆的方程为 x28+y22=1；
（2） 设 Ax1,y1，Bx2,y2，Nx0,0，
因为 NA=−75NB，
所以 x1−x0,y1=−75x2−x0,y2，
所以 y1=−75y2, ⋯⋯①
易知直线斜率不存在时或斜率为 0 时 ① 不成立，
于是设直线 l 的方程为 y=kx−1k≠0．
与椭圆方程联立 y=kx−1,x28+y22=1 消去 x 可得 4k2+1y2+2y+1−8k2=0, ⋯⋯②
所以 y1+y2=−24k2+1, ⋯⋯③
y1y2=1−8k24k2+1, ⋯⋯④
由 ①③ 可得 y2=54k2+1，y1=−74k2+1 代入 ④ 整理可得：8k4+k2−9=0，
所以 k2=1，
此时 ② 为 5y2+2y−7=0，判别式大于 0，
所以直线 l 的方程为 y=±x−1．
20. （1） 取 AC 中点 G，连接 DG，FG．
因为 F 是 AB 的中点，
所以 FG 是 △ABC 的中位线，则 FG∥BC，FG=12BC，
所以 FG∥DE，FG=DE，
则四边形 DEFG 是平行四边形，
所以 EF∥DG，由于 DG⊂平面ACD，EF⊄平面ACD，
故 EF∥平面ACD．
（2） 过点 B 作 BM 垂直 DE 的延长线于点 M，
因为 AE⊥平面BCDE，
所以 AE⊥BM，则 BM⊥平面ADE，
过 M 作 MH⊥AD，垂足为 H，连接 BH，则 AD⊥平面BMH，
所以 AD⊥BH，则 ∠BHM 是二面角 B−AD−E 的平面角．
设 DE=a，则 BC=AB=2a，
在 △BEM 中，EM=a2，BE=2a，
所以 BM=72a．
又因为 △ADE∽△MDH，
所以 HM=62a，则 tan∠BHM=426．
21. （1） 设椭圆 C 的方程为：x2a2+y2b2=1a>b>0，
由题意得：ca=32,4a2+1b2=1,a2=b2+c2, 解得 a2=8，b2=2，
所以椭圆方程为 x28+y22=1．
（2） 由直线 l∥OM，设 l:y=12x+m，
将式子代入椭圆 C 得：x2+2mx+2m2−4=0，
设 Ax1,y1，Bx2,y2，则 x1+x2=−2m，x1x2=2m2−4，
设直线 MA，MB 的斜率分别为 k1，k2，则 k1=y1−1x1−2，k2=y2−1x2−2，
因为
k1+k2=12x1+m−1x1−2+12x2+m−1x2−2=1+m⋅x1+x2−4x1x2−2x1+x2+4=1+m⋅−2m−42m2−4−2−2m+4=0,
故直线 MA，MB 与 x 轴围成一个等腰三角形．
22. 因为 a≥12，所以函数 y=−a2x2+ax+c 的图象的对称轴方程为 x=a2a2=12a，且 0<12a≤1，
当 x=12a 时，y=14+c．
先证必要性：对于任意的 x∈x0≤x≤1，均有 y≤1，即 14+c≤1，
所以 c≤34．
再证充分性：
因为 c≤34，当 x=12a 时，y 的最大值为 14+c≤14+34=1，
所以对于任意 x∈x0≤x≤1，
y=−a2x2+ax+c≤1，即 y≤1．
即充分性成立．
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