2022届中考典型解答题专题练习：反比函数与四边形综合问题（四）

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一、解答题（共10小题；共130分）
1. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y=kx+1 的图象交 y 轴于点 D，与反比例函数 y=16x 的图象在第一象限相交于点 A，过点 A 分别作 x 轴、 y 轴的垂线，垂足为点 B，C．
（1）点 D 的坐标为 ．
（2）当四边形 OBAC 是正方形时，求 k 值．

2. 如图，已知一次函数 y1=kx+b 与反比例函数 y2=mx 的图象在第一、三象限分别交于 A6,1，Ba,−3 两点，连接 OA，OB．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）△AOB 的面积为 ；
（3）直接写出 y1>y2 时 x 的取值范围．

3. 如图，等腰 △ABC 中，AB=AC=52，BC=4，点 B 在 y 轴上，BC∥x 轴，反比例函数 y=kxx>0 的图象经过点 A，交 BC 于点 D．
（1）若 OB=3，求 k 的值；
（2）连接 CO，若 AB=BD，求四边形 ABOC 的周长．

4. 已知：如图，矩形 OABC 的顶点 Bm,2 在正比例函数 y=12x 的图象上，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，反比例函数的图象过 BC 边上的点 M，与 AB 边交于点 N，且 BM=3CM．求此反比例函数的解析式及点 N 的坐标．

5. 如图，平面直角坐标系 xOy 中，平行四边形 OABC 的边 OC 在 x 轴上，对角线 AC，OB 交于点 M，函数 y=kxx>0 的图象经过点 A3,4 和点 M．
（1）求 k 的值和点 M 的坐标；
（2）求平行四边形 OABC 的周长．

6. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 的两条对角线相交于点 P1,2，AB⊥x 轴，垂足为点 E，正比例函数 y=mxm≠0 的图象与反比例函数 y=nxn≠0 的图象相交于 A，P 两点．
（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；
（2）求点 B 的坐标．

7. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A，C 分别在 x，y 轴的正半轴上，顶点 B 的坐标为 4,2．点 M 是边 BC 上的一个动点（不与 B，C 重合），反比例函数 y=kxk>0,x>0 的图象经过点 M 且与边 AB 交于点 N，连接 MN．
（1）当点 M 是边 BC 的中点时．
①求反比例函数的表达式；
②求 △OMN 的面积；
（2）在点 M 的运动过程中，试证明：MBNB 是一个定值．

8. 如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC⊥x 轴，垂足为 A．反比例函数 y=kxx>0 的图象经过点 B，交 AC 于点 E．已知菱形的边长为 52，AC=4．
（1）若 OA=4，求 k 的值；
（2）连接 OD，若 AE=AB，求 OD 的长．

9. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的顶点 O 与坐标原点重合，点 C 的坐标为 0,3，点 A 在 x 轴的负半轴上，点 D，M 分别在边 AB，OA 上，且 AD=2DB，AM=2MO，一次函数 y=kx+b 的图象过点 D 和 M，反比例函数 y=mx 的图象经过点 D，与 BC 的交点为 N．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式．
（2）若点 P 在直线 DM 上，且使 △OPM 的面积与四边形 OMNC 的面积相等，直接写出点 P 的坐标： ．

10. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 是平行四边形，点 A，B 在 x 轴上，点 C，D 在第二象限，点 M 是 BC 中点．已知 AB=6，AD=8，∠DAB=60∘，点 B 的坐标为 −6,0．
（1）求点 D 和点 M 的坐标．
（2）如图①，将平行四边形 ABCD 沿着 x 轴向右平移 a 个单位长度，点 D 的对应点 Dʹ 和点 M 的对应点 Mʹ 恰好在反比例函数 y=kxx>0 的图象上，请求出 a 的值以及这个反比例函数的表达式．
（3）如图②，在（2）的条件下，过点 M，Mʹ 作直线 l，点 P 是直线 l 上的动点，点 Q 是平面内任意一点，若以 Bʹ，Cʹ，P，Q 为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点 Q 的坐标．
答案
第一部分
1. （1） 0,1
【解析】∵ 一次函数 y=kx+1 与 y 轴交于点 D，
∴D 点坐标为 0,1．
（2） 正方形 OBAC 中，OB=AB，
设 OB=AB=a，则点 Aa,a，
代入反比例函数解析式，得 a=16a，
∴a2=16，
∴x=4 或 x=−4（不合题意，舍去），
即 A 的坐标为 A4,4，
代入一次函数 y=kx+1 中，4=4k+1，
解得 k=34．
2. （1） 把 A6,1 代入反比例函数 y2=mx 得：m=6，
∴ 反比例函数的解析式为 y2=6x，
∵Ba,−3 点在反比例函数 y2=mx 图象上，
∴−3a=6，解得 a=−2，
∴B−2,−3，
∵ 一次函数 y1=kx+b 的图象经过 A 和 B，
∴1=6k+b,−3=−2k+b, 解得：k=12,b=−2,
∴ 一次函数的解析式为 y1=12x−2．
（2） 8
【解析】∵A6,1，B−2,−3，一次函数的解析式为 y1=12x−2，
令 y=0，解得：x=4，即一次函数图象与 x 轴交点为 4,0，
∴S△AOB=12×4×1+3=8．
（3） 由图象可知：y1>y2 时，即一次函数图象在反比例函数图象上方，x 的取值范围是：−20 的图象经过点 A，
∴k=2×92=9；
（2） 设 OB=a．
∵BD=AB=52，
∴A2,32+a，D52,a，
∵ 反比例函数 y=kxx>0 的图象经过点 A，交 BC 于点 D，
∴232+a=52a，解得：a=6，
∴OB=6，
∴OC=OB2+BC2=62+42=213，
∴ 四边形 ABOC 的周长 =AB+OB+OC+AC=11+213．
4. y=2x；N4,12．
5. （1） 将点 A3,4 代入 y=kx 中，得 k=3×4=12，
∵ 四边形 OABC 是平行四边形，
∴MA=MC，
作 AD⊥x 轴于点 D，ME⊥x 轴于点 E，
∴ME∥AD，
∴△MEC∽△ADC，
∴MEAD=MCCA=12，
∴ME=2，
将 y=2 代入 y=12x 中，得 x=6，
∴ 点 M 的坐标为 6,2．
（2） ∵A3,4，
∴OD=3，AD=4，
∴OA=OD2+AD2=5，
∵A3,4，M6,2，
∴DE=6−3=3，
∴CD=2DE=6，
∴OC=3+6=9，
∴ 平行四边形 OABC 的周长 =2OA+OC=28．
6. （1） ∵y=mx 和 y=nx 经过 P1,2，
∴ 分别代入得：m=2，n=2，
∴ 正比例函数：y=2x，反比例函数：y=2x．
（2） 联立 y=2x,y=2x, 解得 x=1,y=2 或 x=−1,y=−2,
∴A 点坐标为 −1,−2，
设 B 点坐标为 −1,a，
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BPA=∠OEA=90∘，
∵∠OAE=∠BAP，
∴△OAE∽△BAP，
∴OABA=AEAP，即 5a+2=225，解得 a=3，
∴B 点坐标为 −1,3．
7. （1） ① ∵ 点 B4,2，且四边形 OABC 是矩形，
∴OC=AB=2，BC=OA=4，
∵ 点 M 是 BC 中点，
∴CM=2，则点 M2,2，
∴ 反比例函数解析式为 y=4x；
②当 x=4 时，y=4x=1，
∴N4,1，则 CM=BM=2，AN=BN=1，
∴S△OMN=S矩形OABC−S△OAN−S△COM−S△BMN=4×2−12×4×1−12×2×2−12×2×1=3.
（2） 设 Ma,2，则 k=2a，
∴ 反比例函数解析式为 y=2ax，
当 x=4 时，y=a2，
∴N4,a2，则 BM=4−a，BN=2−a2，
∴MBNB=4−a2−a2=4−a4−a2=2．
8. （1） 连接 BD 交 AC 于点 H，
∵ 四边形 ABCD 是菱形，AC=4，
∴BD⊥AC，AH=2，
∵ 对角线 AC⊥x 轴，
∴BD∥x 轴，
∴B，D 的纵坐标均为 2，
在 Rt△ABH 中，AH=2，AB=52，
∴BH=32，
∵OA=4，
∴B 点的坐标为：112,2，
∵ 点 B 在反比例函数 y=kxx>0 的图象上，
∴k=11．
（2） 设 A 点的坐标为 m,0，
∵AE=AB=52，CE=32，
∴B，E 两点的坐标分别为：m+32,2，m,52，
∵ 点 B，E 都在反比例函数 y=kxx>0 的图象上，
∴m+32×2=52m，
∴m=6，
作 DF⊥x 轴，垂足为 F，
∴OF=92，DF=2，
D 点的坐标为 92,2，
在 Rt△OFD 中，OD2=OF2+DF2，
∴OD=972．
9. （1） ∵ 点 C 坐标为 0,3，
∴OC=3，
∵ 四边形 OABC 为正方形，
∴OA=AB=BC=OC=3，
又 ∵AD=2DB，AM=2MO，
∴AD=AM=2，DB=OM=1，
∴ 点 D 坐标为 −3,2，点 M 坐标为 −1,0，
∵ 点 D 坐标为 −3,2 在反比例函数 y=mx 上，
∴m=−6，
∴ 反比例函数为 y=−6x，
∵ 点 D 坐标为 −3,2，点 M 坐标为 −1,0 在一次函数 y=kx+b 上，
∴2=−3k+b,0=−k+b, 解得：k=−1,b=−1,
∴ 一次函数为：y=−x−1．
（2） −10,9 或 8,−9
【解析】设 P 点坐标为 xP,yP，
则 S四边形OMNC=121+2×3=12×OM×∣yP∣=92，
∴∣yP∣=9，
∴yP=−9或9，
则其坐标为 −10,9 或 8,−9．
10. （1） ∵AB=6，点 B 的坐标为 −6,0，
∴ 点 A−12,0，
如图 1，过点 D 作 DE⊥x 轴于点 D，
则 ED=ADsin∠DAB=8×32=43，同理 AE=4，
故点 D−8,43，则点 C−2,43，
由中点公式得，点 M−4,23．
（2） 图象向右平移了 a 个单位，则点 Dʹa−8,43，点 Mʹa−4,23，
∵ 点 Dʹ，Mʹ 都在函数上，
∴a−8×43=a−4×23，
解得：a=12，
则 k=12−8×43=163，
故反比例函数的表达式为 y=163x．
（3） 由（2）知，点 Mʹ 的坐标为 8,23，点 Bʹ，Cʹ 的坐标分别为 6,0，10,43，
设点 Pm,23，点 Qs,t，
①当 BʹCʹ 是矩形的边时，如图 2，求解的矩形为矩形 BʹCʹPQ 和矩形 BʹCʹQʹPʹ，
过点 Cʹ 作 CʹH⊥l 交于点 H，CH=43−23=23，
直线 BʹCʹ 的倾斜角为 60∘，则 ∠MʹPCʹ=30∘，PH=CʹH÷tan∠MʹPCʹ=23⋅3=6，
故点 P 的坐标为 16,23，
由题意得：点 P，Q 关于点 Cʹ 对称，由中点公式得，点 Q 的坐标为 4,63；
同理点 Q，Qʹ 关于点 Mʹ 对称，由中点公式得，点 Q12,−63；
故点 Q 的坐标为：12,−63 或 4,63；
②当 BʹCʹ 是矩形的对角线时，
∵BʹCʹ 的中点即为 PQ 的中点，且 PQ=BʹCʹ，
∴m+s=10+6,t+23=43,m−s2+t−232=42+432, 解得：m1=12,s1=4,t1=23, m2=4,s2=12,t2=23,
故点 Q 的坐标为 4,23 或 12,23；
综上，点 Q 的坐标为：12,−23 或 4,63 或 4,23 或 12,23．