2022届中考典型解答题专题练习：反比函数与四边形综合问题（六）

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一、解答题（共9小题；共117分）
1. 如图，在矩形 OABC 中，OA=5，OC=4，F 是 AB 上的一个动点（F 不与 A，B 重合），过点 F 的反比例函数 y=kxk>0 的图象与 BC 边交于点 E．
（1）当 F 为 AB 的中点时，求该函数的表达式；
（2）当 k 为何值时，△EFA 的面积最大，最大面积是多少?

2. 如图，矩形 ABCD 的两边 AD，AB 的长分别为 3 和 8，E 是 DC 的中点，反比例函数 y=mx 的图象经过点 E，与 AB 交于点 F．
（1）若点 B 坐标为 −6,0 时，求反比例函数表达式．
（2）若 AF−AE=2 时，求反比例函数表达式．

3. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 y=kx 经过平行四边形 ABCD 的顶点 B，D．点 D 的坐标为 2,1，点 A 在 y 轴上，且 AD∥x 轴，S平行四边形ABCD=6．
（1）填空：点 A 的坐标为 ．
（2）求双曲线和 AB 所在直线的解析式．

4. 如图所示，四边形 ABCD 是菱形，边 BC 在 x 轴上，点 A0,4，点 B3,0，双曲线 y=kx 与直线 BD 交于点 D 、点 E．
（1）求 k 的值；
（2）求直线 BD 的解析式；
（3）求 △CDE 的面积．

5. 如图，已知一次函数 y1=32x−3 的图象与反比例函数 y2=kx 第一象限内的图象相交于点 A4,n，与 x 轴相交于点 B．
（1）求 n 和 k 的值；
（2）观察反比例函数 y2=kx 的图象，当 x≥−2 时，请直接写出 y2 的取值范围；
（3）如图，以 AB 为边作菱形 ABCD，使点 C 在 x 轴正半轴上，点 D 在第一象限，双曲线交 CD 于点 E，连接 AE，BE，求 S△ABE．

6. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，BC⊥x 轴，垂足为 D，边 AB 所在直线分别交 x 轴、 y 轴于点 E，F，且 AF=EF，反比例函数 y=12x 的图象经过 A，C 两点，已知点 A2,n．
（1）求 AB 所在直线对应的函数表达式；
（2）求点 C 的坐标．

7. 如图，在直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 O 与原点重合，A，C 分别在坐标轴上，OA=2，OC=4，直线 y1=−12x+3 交 AB，BC 分别于点 M，N，反比例函数 y2=kx 的图象经过点 M，N．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）直接写出当 y10 总有公共点，求 b 的取值范围．

9. 如图，直线 y=−x+1 与 x，y 轴分别交于 A，B 两点，Pa,b 为双曲线 y=12xx>0 上的一动点，PM⊥x 轴与 M，交线段 AB 于 F，PN⊥y 轴于 N，交线段 AB 于 E．
（1）求 E，F 两点的坐标（用 a，b 的式子表示）．
（2）当 a=34 时，求 △EOF 的面积．
（3）当 P 运动且线段 PM，PN 均与线段 AB 有交点时，探究：
① BE，EF，FA 这三条线段是否能组成一个直角三角形?说明理由．
② ∠EOF 的大小是否会改变?若不变，求出 ∠EOF 的度数，若会改变，请说明理由．
答案
第一部分
1. （1） ∵ 在矩形 OABC 中，OA=5，OC=4，
∴B5,4，
∵F 为 AB 的中点，
∴F5,2，
∵ 点 F 在反比例函数 y=kx 的图象上，
∴k=10，
∴ 该函数的解析式为 y=10x．
（2） 由题意知 E，F 两点坐标分别为 Ek4,4，F5,k5，
∵S△EFA=12AF⋅BE=12×k55−k4=−140k2+k2=−140k−102+52，
∴ 当 k=10 时，S△EFA 有最大值，S最大值=52．
2. （1） ∵ 四边形 ABCD 是矩形，AD=3，AB=8，
∴∠ABC=∠DCB=∠D=90∘，BC=AD=3，CD=AB=8，
∵E 为 CD 的中点，
∴DE=CE=4，
∵ 点 B 坐标为 −6,0，
∴E−3,4，
把 E 点的坐标代入 y=mx 得：m=−12，
∴ 若点 B 坐标为 −6,0 时，反比例函数表达式是 y=−12x．
（2） 在 Rt△ADE 中，
由勾股定理得：AE=AD2+DE2=32+42=5，
∵AF−AE=2，
∴AF=5+2=7，
∴BF=8−7=1，
设 E 点的坐标为 x,4，F 点的坐标是 x−3,1，
代入 y=mx 得：m=4x=x−3⋅1，解得：x=−1，即 m=−4，
∴ 当 AF−AE=2 时反比例函数表达式是 y=−4x．
3. （1） 0,1
【解析】∵ 点 D 的坐标为 2,1，点 A 在 y 轴上，且 AD∥x 轴，
∴A0,1．
（2） ∵ 双曲线 y=kx 经过点 D2,1，
∴k=2×1=2，
∴ 双曲线为 y=2x，
∵D2,1，AD∥x 轴，
∴AD=2，
∵S平行四边形ABCD=6，
∴AE=3，
∴OE=2，
∴B 点纵坐标为 −2，
把 y=−2 代入 y=2x 得，−2=2x，解得 x=−1，
∴B−1,−2，
设直线 AB 的解析式为 y=ax+b，
代入 A0,1，B−1,−2 得 b=1,−a+b=−2, 解得 a=3,b=1,
∴AB 所在直线的解析式为 y=3x+1．
4. （1） ∵ 点 A0,4，点 B3,0，
∴OA=4，OB=3，
由勾股定理得：AB=5，
过 D 作 DF⊥x 轴于 F，
则 ∠AOB=∠DFC=90∘，
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AB=DC=CD=AD=5，AD∥BC，
∴AO=DF=4，
∵AD∥BC，AO⊥OB，DF⊥x 轴，
∴∠DAO=∠AOF=∠DFO=90∘，
∴ 四边形 AOFD 是矩形，
∴AD=OF=5，
∴D 点的坐标为 5,4，
代入 y=kx 得：k=5×4=20．
（2） 设直线 BD 的解析式为 y=ax+b，
把 B3,0，D5,4 代入得：3a+b=0,5a+b=4,
解得：a=2，b=−6，
∴ 直线 BD 的解析式是 y=2x−6．
（3） 由（1）知：k=20，
∴y=20x，
解方程组 y=20x,y=2x−6, 得：x1=5,y1=4, x2=−2,y2=−10,
∵D 点的坐标为 5,4，
∴E 点的坐标为 −2,−10，
∵BC=5，
∴△CDE 的面积 S=S△CDB+S△CBE=12×5×4+12×5×10=35．
5. （1） 把 A 点坐标代入一次函数解析式可得 n=32×4−3=3，
∴A4,3，
∵A 点在反比例函数图象上，
∴k=3×4=12．
（2） 由图象，得当 −2≤x0 时，y2>0．
（3） 过 A 点作 AH⊥BC 垂足为 H，连接 AC，
∵ 一次函数 y1=32x−3 的图象与 x 轴相交于点 B，
∴ 点 B 的坐标为 2,0，
∴AB=4−22+3−02=13，
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AB=BC=13，AB∥CD，
∴S△ABE=S△ABC=12BC⋅AH=12×13×3=3132．
6. （1） 把 A2,n 代入 y=12x，得到 n=6，
作 AH⊥OD 于 H．
∴OH=2，AH=6，
∵△EFO∽△EAH，
∴EFEA=FOAH=EOEH，
∵EF=AF，
∴EFEA=FOAH=EOEH=12，
∴EO=2，FO=3，
∴E−2,0，F0,3，
设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，
则有 −2k+b=0,b=3, 解得 k=32,b=3,
∴ 直线 AB 的解析式为 y=32x+3．
（2） 作 AG⊥BD 于 G，则四边形 AGDH 是矩形．
∴DG=AH=6，设 Ca,12a，则 Ba,32a+3，
∴CD=12a，BG=32a+3−6=32a−3，GC=6−12a，
∵AB=AC，AG⊥BC，
∴BG=CG，
∴32a−3=6−12a，整理得：a2−6a+8=0，
∴a=4 或 2（舍弃），
∴C4,3．
7. （1） ∵OA=2，OC=4，四边形 OABC 是矩形，
∴B4,2，
将 y=2 代入 y1=−12x+3 得：x=2，
∴M2,2，
把 M 的坐标代入 y2=kx 得：k=4，
∴ 反比例函数的解析式是 y=4x．
（2） 当 y10 上，
∴2ab=1，a>0，b>0．
∴EF2=2a2+b2+1+2ab−2a−2b=2a2+b2+1+1−2a−2b=2a2−2a+1+b2−2b+1=21−a2+21−b2=FA2+BE2.
∴BE，EF，FA 这三条线段总能组成一个直角三角形．
② ∠EOF 的大小不变．
证明：过点 E 作 EH⊥OM，垂足为 H，如图 2，
∵EN⊥ON，
∴OE2=ON2+EN2=b2+1−b2=2b2+1−2b．
∵EH⊥OM，EH=b，AH=1−1−b=b，
∴EA=b2+a2=2b．
同理可得：FA=21−a．
∴EF=EA−FA=2b−21−a=2b+a−1．
∵2ab=1，
∴EF⋅EA=2b+a−1⋅2b=2b2+ab−b=2b2+2ab−2b=2b2+1−2b.
∴OE2=EF⋅EA．
∴OEEF=EAOE．
∵∠OEF=∠AEO，
∴△OEF∽△AEO．
∴∠EOF=∠EAO．
∵OA=OB=1，∠AOB=90∘，
∴∠OAB=∠OBA=45∘．
∴∠EOF=45∘．
∴∠EOF 的大小不变，始终等于 45∘．