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2021年北京延庆区太平庄中学八年级下期末数学试卷
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2021年北京延庆区太平庄中学八年级下期末数学试卷 一、填空题（共18小题；共93分）1. 定义新运算：对于任意实数 m，n 都有 m⋇n=m2+n2．已知，在 △ABC 中，锐角 ∠A，∠B 满足 2sinA−2⋇tanB−3=0，则 ∠C 的度数为 ． 2. 若圆内接正六边形的两条对角线长为 m，n（m0），则 x−46=5x，解得 x=2+34（2−34 已舍）．所以 BC=2+34．7. 25π8. 16k0．因为 AC2+BC2=AB2，所以 3x2+4x2=52，所以 x=1，所以 AC=3，BC=4．因为 BD=1，所以 CD=3，所以 AD=CD2+AC2=32． （2） 过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，如图所示，因为 tanB=34，所以可设 DE=3y，BE=4y，y>0，因为 BE2+DE2=BD2，所以 3y2+4y2=12，所以 y=15，所以 DE=35，所以 sinα=DEAD=210．20. （1） 令 y=0，则 2x−6=0，可得 x=3， ∴ 直线 y=2x−6 与 x 轴交点 B 的坐标为 3,0，将 Am,2 代入 y=2x−6，得 m=4，将 A4,2 代入 y=kx，得 k=8． （2） 过点 A 作 AM⊥x 轴于点 M， ∵A4,2，C0,−6， ∴OC=6，AM=2， ∵S△APC=S△APB+S△CPB=12×PB×2+12×PB×6=4PB，且 S△APC=16， ∴PB=4，又 ∵B3,0， ∴P1−1,0，P27,0，故 P 点坐标为 −1,0，7,0．21. （1） ∵AB 为 ⊙O 的直径， ∴∠ACB=90∘， ∴∠A+∠B=90∘， ∵CD 为 △ABC 的高， ∴∠ADC=90∘， ∴∠A+∠ACD=90∘， ∴∠ACD=∠B， ∵∠ADC=∠ACB=90∘， ∴△ACD∽△ABC， ∴ACAB=ADAC， ∴AC2=AD⋅AB． （2） ∵AD=4，BD=2， ∴AB=AD+BD=4+2=6， ∴AC2=4×6=24， ∵AC>0， ∴AC=26，即 AC 的长为 26．22. （1） ∵ 一元二次方程 ax2+bx+c=0b2−4ac≥0 的根分别为 x1，x2， ∴ax−x1x−x2=0， ∴x2−x1+x2x+x1x2=0．（1） ax2+bx+c=0 两边同时除以 a，得 x2+bax+ca=0，（2）比较（1）（2）可得，x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca． （2） ∵ 抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点坐标为 1,−9， ∴y=ax−12−9=ax2−2ax+a−9．令 ax2−2ax+a−9=0，则由（1）得 x1+x2=2，x1⋅x2=a−9a． ∵x12+x22=20， ∴x1+x22−2x1x2=20． ∴4−2×a−9a=20，解得 a=1．经检验，a=1 是上述分式方程的解． ∵−b2a=1， ∴b=−2． ∵4ac−b24a=−9， ∴c=−8．23. （1） 设点 Pm,14m2，点 P 到直线 l:y=−1 的距离为 d=14m2+1，则 PA=m−02+14m2−12=14m2+1，d=14m2−−1=14m2+1， ∴PA=d， ∴ 以点 P 为圆心，PA 为半径的圆与直线 l:y=−1 相切． （2） 如图：过点 P 作 PH⊥直线l 于 H，作 PA⊥y 轴于 M，过点 Q 作 QG⊥l 于 G，QN⊥y 轴于 N，则：∠QGB=∠QNA=∠QNB=∠GBN=∠HBM=∠PMA=∠PHB=90∘， ∴ 四边形 BGQV，BHPM 均为矩形， ∴BN=QG，BM=PH，由（1）知：PA=PH，QA=QG， ∴QA=BN，PA=BM， ∵∠PAM=∠QAN， ∴△PAM∽△QAN， ∴PMPA=QNQA， ∴PMBM=QNBN， ∵∠BMP=∠BNQ=90∘， ∴△BMP∽△BNQ， ∴PBM=∠QBN， ∴ 直线 BQ 和直线 BP 关于 y 轴对称． （3） ∵Pm,14m2，m,−1，A0,1，设直线 AH 解析式为 y=kx+b，则 mkʹ+bʹ=−1,bʹ=1, 解得 kʹ=−2m,bʹ=1, ∴ 直线 AH 解析式为 y=2mx+1，令 y=0，得 x=m2， Em2,0，设直线 PE 解析式为 y=12mx−14m2，联立方程组：y=12mx−14m2,y=14x2, 得 14x2=12mx−14m2， ∴x2−2mx+m2=0， ∵Δ=−2m2−4m2=0， ∴ 直线 PE 与抛物线 y=14x2 有且只有一个交点，即除点 P 之外无别的交点．24. 过点 A 作 AE⊥BC 干点 E，如图所示， ∵AD=AC，AE⊥BC， ∴∠AEB=90∘，DE=CE， ∵∠ABC=45∘， ∴∠BAE=45∘， ∴AE=BE，在 Rt△ABE 中，AB=42， ∴AE2+BE2=AB2，即 BE2+BE2=422， ∴BE=4， ∴BD+12DC=4，又 ∵BD−DC=1， ∴DC+1+12DC=4， ∴DC=2．
2021年北京延庆区太平庄中学八年级下期末数学试卷 一、填空题（共18小题；共93分）1. 定义新运算：对于任意实数 m，n 都有 m⋇n=m2+n2．已知，在 △ABC 中，锐角 ∠A，∠B 满足 2sinA−2⋇tanB−3=0，则 ∠C 的度数为 ． 2. 若圆内接正六边形的两条对角线长为 m，n（m
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