第5章 微专题进阶课5　平面向量与“四心”教案

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在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系．应用向量相关知识，可以巧妙地解决三角形四心所具备的一些特定的性质．
重心问题
已知O是△ABC所在平面上的一点，若eq \(PO,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→)))(其中P为平面上任意一点), 则点O是△ABC的( )
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
C 解析：由已知得
3eq \(PO,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OP,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OP,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OP,\s\up6(→))，
所以3eq \(PO,\s\up6(→))＋3eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))，
即eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0，
所以点O是△ABC的重心.
如图，△ABC的重心为G，O为坐标原点，eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，试用a，b，c表示eq \(OG,\s\up6(→)).
解：设AG交BC于点M，则M是BC的中点．
因为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－\(OG,\s\up6(→))＝\(GA,\s\up6(→))，,b－\(OG,\s\up6(→))＝\(GB,\s\up6(→))，,c－\(OG,\s\up6(→))＝\(GC,\s\up6(→))，))
所以a＋b＋c－3eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \(GA,\s\up6(→))＋eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→)).
而eq \(GA,\s\up6(→))＋eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝0，
所以a＋b＋c－3eq \(OG,\s\up6(→))＝0，
所以eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(a＋b＋c,3).
垂心问题
已知点O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|cs B)＋\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|cs C)))，λ∈[0，＋∞), 则动点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
B 解析：由已知得eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|cs B)＋\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|cs C)))，
所以eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|cs B)＋\f(\(AC,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|cs C)))
＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|\(AB,\s\up6(→))||\(BC,\s\up6(→))|csπ－B,|\(AB,\s\up6(→))|cs B)＋\f(|\(AC,\s\up6(→))||\(BC,\s\up6(→))|cs C,|\(AC,\s\up6(→))|cs C)))
＝λ(－|eq \(BC,\s\up6(→))|＋|eq \(BC,\s\up6(→))|)＝0，
所以eq \(AP,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→))，即AP⊥BC，所以动点P的轨迹通过△ABC的垂心．
已知点O为△ABC所在平面内一点，且eq \(OA,\s\up6(→))2＋eq \(BC,\s\up6(→))2＝eq \(OB,\s\up6(→))2＋eq \(CA,\s\up6(→))2＝eq \(OC,\s\up6(→))2＋eq \(AB,\s\up6(→))2，则点O一定为△ABC的( )
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
D 解析：因为eq \(OA,\s\up6(→))2＋eq \(BC,\s\up6(→))2＝eq \(OB,\s\up6(→))2＋eq \(CA,\s\up6(→))2，
所以eq \(OA,\s\up6(→))2－eq \(OB,\s\up6(→))2＝eq \(CA,\s\up6(→))2－eq \(BC,\s\up6(→))2，
所以(eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))·(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))＝(eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))·(eq \(CA,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→)))，
所以eq \(BA,\s\up6(→))·(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))＝eq \(BA,\s\up6(→))·(eq \(CA,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→)))，
所以eq \(BA,\s\up6(→))·(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))＝0，
所以eq \(BA,\s\up6(→))·(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))＝0，
所以eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝0，
所以eq \(BA,\s\up6(→))⊥eq \(OC,\s\up6(→)).
同理可得eq \(CA,\s\up6(→))⊥eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(CB,\s\up6(→))⊥eq \(OA,\s\up6(→)).
所以O为△ABC的垂心．故选D．
外心问题
已知点O是△ABC所在平面上的一点．若(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))·eq \(AB,\s\up6(→))＝(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))·eq \(BC,\s\up6(→))＝(eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→)))·eq \(CA,\s\up6(→))＝0，则点O是△ABC的( )
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
A 解析：由已知得
(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))·(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＝(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))·(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))＝(eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→)))·(eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→)))＝0
⇔eq \(OB,\s\up6(→))2－eq \(OA,\s\up6(→))2＝eq \(OC,\s\up6(→))2－eq \(OB,\s\up6(→))2＝eq \(OA,\s\up6(→))2－eq \(OC,\s\up6(→))2＝0
⇔|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|＝|eq \(OC,\s\up6(→))|. 所以点O是△ABC的外心．
在△ABC中，AB＝AC，点D是AB的中点，E为△ACD的重心，点F为△ABC的外心．
求证：EF⊥CD．
证明：建立如图所示的坐标系，设A(0，b)，B(－a,0)，C(a,0)，则Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)，\f(b,2)))，eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)a，\f(b,2)))，易知△ABC的外心F在y轴上，设为F(0，y)．
由|eq \(AF,\s\up6(→))|＝|eq \(CF,\s\up6(→))|可得(y－b)2＝(－a)2＋y2，
所以y＝eq \f(b2－a2,2b)，即Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(b2－a2,2b))).
连接AE，CE，DE，又由重心公式，
得eq \(EA,\s\up6(→))＋eq \(ED,\s\up6(→))＋eq \(EC,\s\up6(→))＝0，
则Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,6)，\f(b,2)))，所以eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,6)，－\f(a2,2b)))，
所以eq \(CD,\s\up6(→))·eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)a))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,6)))＋eq \f(b,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a2,2b)))＝0，
所以eq \(CD,\s\up6(→))⊥eq \(EF,\s\up6(→))，即EF⊥CD．
内心问题
已知点O是△ABC所在平面上的一点，若eq \(PO,\s\up6(→))＝eq \f(a\(PA,\s\up6(→))＋b\(PB,\s\up6(→))＋c\(PC,\s\up6(→)),a＋b＋c)(其中P是△ABC所在平面内任意一点)，则点O是△ABC的( )
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
B 解析：因为eq \(PO,\s\up6(→))＝eq \f(a\(PA,\s\up6(→))＋b\(PB,\s\up6(→))＋c\(PC,\s\up6(→)),a＋b＋c)，所以(a＋b＋c)eq \(PO,\s\up6(→))＝aeq \(PA,\s\up6(→))＋beq \(PB,\s\up6(→))＋ceq \(PC,\s\up6(→))，即aeq \(PO,\s\up6(→))＋bPO＋ceq \(PO,\s\up6(→))＝aeq \(PA,\s\up6(→))＋beq \(PB,\s\up6(→))＋ceq \(PC,\s\up6(→))，移项并整理可得a(eq \(PA,\s\up6(→))－eq \(PO,\s\up6(→)))＋b(eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(PO,\s\up6(→)))＋c(eq \(PC,\s\up6(→))－eq \(PO,\s\up6(→)))＝0，则aeq \(OA,\s\up6(→))＋beq \(OB,\s\up6(→))＋ceq \(OC,\s\up6(→))＝0，所以点O是△ABC的内心．
已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，满足eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)))，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的________.
内心 解析：如图所示，eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AP,\s\up6(→))，
由已知，eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|))).
所以eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)))，λ∈[0，＋∞)．
设λeq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＝eq \(AD,\s\up6(→))，λeq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \(AE,\s\up6(→))，
所以D，E在射线AB和AC上，所以eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→))，
所以AP是平行四边形ADPE的对角线．
又|eq \(AD,\s\up6(→))|＝|eq \(AE,\s\up6(→))|，所以四边形ADPE是菱形，
所以点P在∠EAD即∠CAB的平分线上．
故点P的轨迹一定通过△ABC的内心．