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初中数学第一章 整式的乘除综合与测试达标测试
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这是一份初中数学第一章 整式的乘除综合与测试达标测试，共24页。
A．0.77×10﹣5倍B．77×10﹣4倍
C．7.7×10﹣6倍D．7.7×10﹣5倍
2．（2021•宜昌）从前，古希腊一位庄园主把一块边长为a米（a＞6）的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（ ）
A．没有变化B．变大了C．变小了D．无法确定
3．（2021•广安）下列运算中，正确的是（ ）
A．a2•a5＝a10B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．（﹣3a3）2＝6a6D．﹣3a2b+2a2b＝﹣a2b
4．（2021春•中原区校级期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为am•an＝am+n（其中a≠0，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：h（m+n）＝h（m）•h（n）；比如h（2）＝3，则h（4）＝h（2+2）＝3×3＝9，若h（2）＝k（k≠0），那么h（2n）•h（2020）的结果是（ ）
A．2k+2021B．2k+2022C．kn+1010D．2022k
5．（2021春•西湖区校级月考）若x满足（2021﹣x）2+（x﹣2020）2＝2019，则（2021﹣x）（x﹣2020）的值是（ ）
A．﹣1006B．﹣1007C．﹣1008D．﹣1009
6．（2021•嘉兴二模）下列计算中，结果正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4B．a2•a3＝a6C．（a3）2＝a5D．a3÷a2＝a
7．（2021•开封二模）纳米（nm）是长度的单位，1nm＝10﹣3um，1um＝10﹣3mm，如果将在2022年底攻克20nm工艺芯片技术的难关，其中20nm等于（ ）
A．2.0×10﹣5mmB．2.0×10﹣6mmC．2.0×10﹣7mmD．20×10﹣5mm
8．（2019春•芮城县期末）“已知：am＝2，an＝3，求am+n的值”，解决这个问题需要逆用幂的运算性质中的哪一个？（ ）
A．同底数幂的乘法B．积的乘方
C．幂的乘方D．同底数幂的除法
9．（2020秋•鼓楼区校级期中）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（ ）
A．255024B．255054C．255064D．250554
10．（2015•黄冈中学自主招生）已知实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，则（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是（ ）
A．12B．20C．28D．36
二．填空题（共10小题）
11．（2021春•郑州期末）2020年9月22日，习近平主席在第七十五届联合国大会一般性辩论上发表重要讲话时指出，中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和．二氧化碳是一种碳氧化合物，分子直径约为0.35～0.51nm，用科学记数法表示0.35nm＝ m．（1nm＝10﹣9m）
12．（2021•河北）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．
（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为 ；
（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片 块．
13．（2021春•高邮市校级期末）已知（2021﹣a）2+（a﹣2019）2＝7，则代数式（2021﹣a）（a﹣2019）的值为 ．
14．（2021•广安）若x、y满足，则代数式x2﹣4y2的值为 ．
15．（2021•姜堰区二模）“KN95”口罩能过滤空气中95%的直径约为0.0000003m的非油性颗粒，数据0.0000003用科学记数法表示为 ．
16．（2021春•西湖区校级月考）下列结论中：①已知2x＝a，2y＝b，则2x+y＝ab；②若a2•a4＝56，则a＝5；③若x2﹣（k+2）x+4是完全平方式，则k＝2；④关于x，y的方程组的自然数解有2对，正确的结论是 ．（填正确的序号）
17．（2020秋•丛台区期末）如图，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积是 ．
18．（2021春•镇海区期中）已知，则（a+3b﹣1）3的值为 ．
19．（2021春•高新区校级月考）计算：已知10x＝20，10y＝50﹣1，求4x÷22y＝ ．
20．（2021春•台儿庄区月考）已知10m＝2，10n＝3，则103m﹣2n＝ ．
三．解答题（共10小题）
21．（2021春•宁德期末）计算：
（1）（a2）3•（a2）4÷（a2）5．
（2）．
22．（2021•北京）已知a2+2b2﹣1＝0，求代数式（a﹣b）2+b（2a+b）的值．
23．（2021春•宁德期末）计算：
（1）．
（2）利用乘法公式计算：198×202．
24．（2021春•尤溪县月考）回答下列问题：
（1）计算：①（x+2）（x+3）＝ ；
②（x+7）（x﹣10）＝ ；
③（x﹣5）（x﹣6）＝ ．
（2）由（1）的结果，直核写出下列计算的结果：
①（x+1）（x+3）＝ ；
②（x﹣2）（x﹣3）＝ ；
③（x+2）（x﹣5）＝ ．
（3）总结公式：（x+a）（x+b）＝ ．
（4）已知a，b，m均为整数，且（x+a）（x+b）＝x2+mx+6，求m的所有可能值： ．
25．（2021春•凤凰县月考）马同学与虎同学两人共同计算一道题：（x+m）（2x+n）．由于马同学抄错了m的符号，得到的结果是2x2﹣7x+3，虎同学漏抄第二个多项式中x的系数，得到的结果是x2+2x﹣3．请你求出m、n的值．
26．乘法公式的探究及应用．
（1）如图1，是将图2阴影部分裁剪下来，重新拼成的一个长方形，面积是 ；如图2，阴影部分的面积是 ；比较图1，图2阴影部分的面积，可以得到公式 ；
（2）运用你所得到的公式，计算下列各题：
①10.2×9.8；
②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）．
27．（2021春•盐都区月考）（1）已知a＝2﹣44444，b＝3﹣33333，c＝5﹣22222，请用“＜”把它们按从小到大的顺序连接起来，说明理由．
（2）请探索使得等式（2x+3）x+2020＝1成立的x的值．
28．（2021春•龙口市期中）如图，点M是AB的中点，点P在MB上．分别以AP，PB为边，作正方形APCD和正方形PBEF，连接MD和ME．设AP＝a，BP＝b，且a+b＝10，ab＝15．
（1）求（a﹣b）2的值；
（2）求图中阴影部分的面积．
29．（2021春•下城区校级期中）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．
例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝3，ab＝1，
∴（a+b）2＝9，2ab＝2．
∴a2+b2+2ab＝9，
∴a2+b2＝7．
根据上面的解题思路与方法解决下列问题：
（1）若（9﹣x）（x﹣6）＝1，求（9﹣x）2+（6﹣x）2的值
（2）如图，C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和为16，求△AFC的面积．
30．（2021春•玄武区期中）观察下列各式：
（x﹣1）÷（x﹣1）＝1；
（x2﹣1）÷（x﹣1）＝x+1；
（x3﹣1）÷（x﹣1）＝x2+x+1；
（x4﹣1）÷（x﹣1）＝x3+x2+x+1．
根据上面各式的规律可得（ ）÷（x﹣1）＝xn+xn﹣1+…+x+1；利用规律完成下列问题：
（1）52021+52020+52019+…+51+1＝ ；
（2）求（﹣3）20+（﹣3）19+（﹣3）18+…+（﹣3）的值．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．（2021•聊城）已知一个水分子的直径约为3.85×10﹣9米，某花粉的直径约为5×10﹣4米，用科学记数法表示一个水分子的直径是这种花粉直径的（ ）
A．0.77×10﹣5倍B．77×10﹣4倍
C．7.7×10﹣6倍D．7.7×10﹣5倍
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【专题】实数；应用意识．
【分析】根据题意列出算式进行计算，一定注意1≤|a|＜10．
【解答】解：根据题意得，
（3.85×10﹣9）÷（5×10﹣4）
＝（3.85÷5）×（10﹣9÷10﹣4）
＝0.77×10﹣5
＝7.7×10﹣6，
故选：C．
【点评】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，准确确定a与n值是关键．
2．（2021•宜昌）从前，古希腊一位庄园主把一块边长为a米（a＞6）的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（ ）
A．没有变化B．变大了C．变小了D．无法确定
【考点】平方差公式的几何背景．
【专题】整式；运算能力．
【分析】矩形的长为（a+6）米，矩形的宽为（a﹣6）米，矩形的面积为（a+6）（a﹣6），根据平方差公式即可得出答案．
【解答】解：矩形的面积为（a+6）（a﹣6）＝a2﹣36，
∴矩形的面积比正方形的面积a2小了36平方米，
故选：C．
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，列出矩形的面积的代数式，根据平方差公式计算是解题的关键．
3．（2021•广安）下列运算中，正确的是（ ）
A．a2•a5＝a10B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．（﹣3a3）2＝6a6D．﹣3a2b+2a2b＝﹣a2b
【考点】合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方和积的乘方，完全平方公式分别判断即可．
【解答】解：A、a2•a5＝a7，故选项错误；
B、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选项错误；
C、（﹣3a3）2＝9a6，故选项错误；
D、﹣3a2b+2a2b＝﹣a2b，故选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方和积的乘方，完全平方公式，解题的关键是掌握各自的运算法则．
4．（2021春•中原区校级期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为am•an＝am+n（其中a≠0，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：h（m+n）＝h（m）•h（n）；比如h（2）＝3，则h（4）＝h（2+2）＝3×3＝9，若h（2）＝k（k≠0），那么h（2n）•h（2020）的结果是（ ）
A．2k+2021B．2k+2022C．kn+1010D．2022k
【考点】有理数的混合运算；同底数幂的乘法．
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据h（m+n）＝h（m）•h（n），通过对所求式子变形，然后根据同底数幂的乘法计算即可解答本题．
【解答】解：∵h（2）＝k（k≠0），h（m+n）＝h（m）•h（n），
∴h（2n）•h（2020）
＝h••h
＝•
＝kn•k1010
＝kn+1010，
故选：C．
【点评】本题考查整式的混合运算﹣化简求值、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新运算求出所求式子的值．
5．（2021春•西湖区校级月考）若x满足（2021﹣x）2+（x﹣2020）2＝2019，则（2021﹣x）（x﹣2020）的值是（ ）
A．﹣1006B．﹣1007C．﹣1008D．﹣1009
【考点】多项式乘多项式；完全平方公式．
【专题】整式；推理能力．
【分析】设2021﹣x＝a，x﹣2020＝b，根据题意可得，a2+b2＝2020，a+b＝（2021﹣x）+（x﹣2018）＝3，将ab化成[（a+b）2﹣（a2+b2）]的形式，代入求值即可．
【解答】解：设2021﹣x＝a，x﹣2020＝b，则（2021﹣x）2+（x﹣2020）2＝a2+b2＝2019，a+b＝（2021﹣x）+（x﹣2020）＝1，
所以，（2021﹣x）（x﹣2020）＝ab＝[（a+b）2﹣（a2+b2）]＝×（12﹣2019）＝﹣1009；
故选：D．
【点评】本题考查完全平方公式的应用，熟记完全平方公式是解题的关键．
6．（2021•嘉兴二模）下列计算中，结果正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4B．a2•a3＝a6C．（a3）2＝a5D．a3÷a2＝a
【考点】合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．
【专题】实数；运算能力．
【分析】根据积的乘方等于把每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘和幂的乘方：底数不变，指数相加计算即可．
【解答】解：A．a2+a2＝2a2，故本选项不合题意；
B．a2•a3＝a2+3＝a5，故本选项不合题意；
C．（a3）2＝a3×2＝a6，故本选项不合题意；
D．a3÷a2＝a3﹣2＝a，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是同底数幂的除法、积的乘方和幂的乘方，掌握它们的运算法则是解题的关键．
7．（2021•开封二模）纳米（nm）是长度的单位，1nm＝10﹣3um，1um＝10﹣3mm，如果将在2022年底攻克20nm工艺芯片技术的难关，其中20nm等于（ ）
A．2.0×10﹣5mmB．2.0×10﹣6mmC．2.0×10﹣7mmD．20×10﹣5mm
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【专题】实数；运算能力．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：因为1nm＝10﹣3um，1um＝10﹣3mm，
所以20nm＝20×10﹣3×10﹣3＝2.0×10﹣5nm．
故选：A．
【点评】本题考查了科学记数法．解题的关键是掌握科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
8．（2019春•芮城县期末）“已知：am＝2，an＝3，求am+n的值”，解决这个问题需要逆用幂的运算性质中的哪一个？（ ）
A．同底数幂的乘法B．积的乘方
C．幂的乘方D．同底数幂的除法
【考点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此解答即可．
【解答】解：am+n＝am•an，
∴解决这个问题需要逆用同底数幂的乘法．
故选：A．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟记幂的运算性质是解答本题的关键．
9．（2020秋•鼓楼区校级期中）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（ ）
A．255024B．255054C．255064D．250554
【考点】平方差公式．
【专题】整式；运算能力．
【分析】设相邻的两奇数分别为2n+1，2n﹣1（n≥1，且n为正整数），求出和谐数的表达式，根据和谐数不超过2017，列出不等式，求得n的范围，进而可以知道最大的n，求出此时的相邻两个奇数，然后把这些和谐数加起来计算即可．
【解答】解：设相邻的两奇数分别为2n+1，2n﹣1（n≥1，且n为正整数），
（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，
根据题意得：8n≤2017，
∴n≤252，
∴n最大为252，此时2n+1＝505，2n﹣1＝503，
∴32﹣12+52﹣32+...+5032﹣5012+5052﹣5032
＝5052﹣12
＝255024．
故选：A．
【点评】本题考查了平方差公式的应用，求出和谐数的表达式是解题的关键．
10．（2015•黄冈中学自主招生）已知实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，则（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是（ ）
A．12B．20C．28D．36
【考点】代数式求值；完全平方公式．
【专题】计算题．
【分析】由题意实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，可以将（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2，用x2+y2+z2和（xy+yz+xz）表示出来，然后根据完全平方式的基本性质进行求解．
【解答】解：∵实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，
∴（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2＝5（x2+y2+z2）﹣4（xy+yz+xz）＝20﹣2[（x+y+z）2﹣（x2+y2+z2）]＝28﹣2（x+y+z）2≤28
∴当x+y+z＝0时（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是28．
故选：C．
【点评】此题主要考查完全平方式的性质及代数式的求值，要学会拼凑多项式．
二．填空题（共10小题）
11．（2021春•郑州期末）2020年9月22日，习近平主席在第七十五届联合国大会一般性辩论上发表重要讲话时指出，中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和．二氧化碳是一种碳氧化合物，分子直径约为0.35～0.51nm，用科学记数法表示0.35nm＝ 3.5×10﹣10 m．（1nm＝10﹣9m）
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【专题】实数；数感．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.35nm＝0.35×10﹣9m＝3.5×10﹣10，
故答案为：3.5×10﹣10．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．（2021•河北）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．
（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为 a2+b2 ；
（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片 4 块．
【考点】完全平方公式的几何背景；完全平方式．
【专题】整式；运算能力．
【分析】（1）由图可知：一块甲种纸片面积为a2，一块乙种纸片的面积为b2，一块丙种纸片面积为ab，即可求解；
（2）利用完全平方公式可求解．
【解答】解：（1）由图可知：一块甲种纸片面积为a2，一块乙种纸片的面积为b2，一块丙种纸片面积为ab，
∴取甲、乙纸片各1块，其面积和为a2+b2，
故答案为：a2+b2；
（2）设取丙种纸片x块才能用它们拼成一个新的正方形，
∴a2+4b2+xab是一个完全平方式，
∴x为4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了完全平方式，掌握完全平方公式是解题的关键．
13．（2021春•高邮市校级期末）已知（2021﹣a）2+（a﹣2019）2＝7，则代数式（2021﹣a）（a﹣2019）的值为 ﹣ ．
【考点】多项式乘多项式；完全平方公式．
【专题】整式；运算能力．
【分析】先根据完全平方公式得出（2021﹣a）2+（a﹣2019）2＝[(2021﹣a)+(a﹣2019)]2﹣2(2021﹣a)(a﹣2019)＝7，再求出答案即可．
【解答】解：∵（2021﹣a）2+（a﹣2019）2＝7，
∴[(2021﹣a)+(a﹣2019)]2﹣2(2021﹣a)(a﹣2019)＝7，
∴22﹣2（2021﹣a）（a﹣2019）＝7，
∴2（2021﹣a）（a﹣2019）＝﹣3，
∴（2021﹣a）（a﹣2019）＝﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了完全平方公式，能正确根据完全平方公式进行变形是解此题的关键，注意：（x+y）2＝x2+2xy+y2．
14．（2021•广安）若x、y满足，则代数式x2﹣4y2的值为 ﹣6 ．
【考点】平方差公式．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】根据方程组中x+2y和x﹣2y的值，将代数式利用平方差公式分解，再代入计算即可．
【解答】解：∵x﹣2y＝﹣2，x+2y＝3，
∴x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）＝3×（﹣2）＝﹣6，
故答案为：﹣6．
【点评】本题主要考查方程组的解及代数式的求值，观察待求代数式的特点与方程组中两方程的联系是解题关键．
15．（2021•姜堰区二模）“KN95”口罩能过滤空气中95%的直径约为0.0000003m的非油性颗粒，数据0.0000003用科学记数法表示为 3×10﹣7 ．
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【专题】实数；数感．
【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000003＝3×10﹣7．
故答案为：3×10﹣7．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
16．（2021春•西湖区校级月考）下列结论中：①已知2x＝a，2y＝b，则2x+y＝ab；②若a2•a4＝56，则a＝5；③若x2﹣（k+2）x+4是完全平方式，则k＝2；④关于x，y的方程组的自然数解有2对，正确的结论是 ① ．（填正确的序号）
【考点】同底数幂的乘法；单项式乘多项式；完全平方式．
【专题】整式；一次方程（组）及应用；一元一次不等式(组)及应用；运算能力．
【分析】先根据同底数幂的乘法，完全平方公式，解方程组进行计算，再求出答案即可．
【解答】解：∵2x＝a，2y＝b，
∴2x+y＝2x×2y＝ab，故①正确；
∵a2•a4＝a6＝56，
∴a＝±5，故②错误；
∵x2﹣（k+2）x+4是完全平方式，
∴﹣（k+2）x＝±2•x•2，
∴k＝2或﹣6，故③错误；
解方程组得：，
∵方程组的解是自然数，
∴，
解得：3≤k≤5，
∴自然数为3，4，5，
即关于x，y的方程组的自然数解有3对，故④错误；
即正确的有①，
故答案为：①．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，完全平方公式，解二元一次方程组，解一元一次不等式组等知识点，能正确根据知识点进行计算是解此题的关键．
17．（2020秋•丛台区期末）如图，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积是 20 ．
【考点】平方差公式的几何背景．
【专题】整式；运算能力．
【分析】设大正方形的边长为a，小正方形的面积为b，根据题意得a2﹣b2＝40，∴（a+b）（a﹣b）＝40；根据S阴＝S△ACD﹣S△CDE计算即可．
【解答】解：设大正方形的边长为a，小正方形的面积为b，
根据题意得a2﹣b2＝40，
∴（a+b）（a﹣b）＝40；
∵S阴＝S△ACD﹣S△CDE，
∴S阴＝×CD×AB﹣×CD×BE
＝（a+b）a﹣（a+b）b
＝（a+b）（a﹣b）
∵（a+b）（a﹣b）＝40，
∴S阴＝×40
＝20．
故答案为：20．
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，考核学生的计算能力，设出未知数表示出阴影部分的面积是解题的关键．
18．（2021春•镇海区期中）已知，则（a+3b﹣1）3的值为 ﹣8 ．
【考点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【分析】把8写成23，然后计算出2a+3b＝2﹣1，所以a+3b＝﹣1，整体代入求值即可．
【解答】解：∵8b＝（23）b＝23b＝，2a＝5，
∴2a+3b＝2a•23b＝5×＝＝2﹣1，
∴a+3b＝﹣1，
∴原式＝（﹣1﹣1）3＝（﹣2）3＝﹣8．
故答案为：﹣8．
【点评】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，负指数幂，会逆用这些法则是解题的关键．
19．（2021春•高新区校级月考）计算：已知10x＝20，10y＝50﹣1，求4x÷22y＝ 64 ．
【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法；负整数指数幂．
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据10x＝20，10y＝50﹣1，可求出x﹣y＝3，再将4x÷22y转化为4x﹣y代入计算即可．
【解答】解：∵10x＝20，10y＝50﹣1，
∴10x÷10y＝20÷50﹣1，
即10x﹣y＝1000＝103，
∴x﹣y＝3，
∴4x÷22y＝4x﹣y＝43＝64，
故答案为：64．
【点评】本题考查同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方以及负整数指数幂，掌握同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方以及负整数指数幂的运算法则是正确计算的前提．，
20．（2021春•台儿庄区月考）已知10m＝2，10n＝3，则103m﹣2n＝ ．
【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．
【专题】计算题；运算能力．
【分析】利用同底数幂的除法和幂的乘方的逆运算可求结论．
【解答】解：103m﹣2n＝103m÷102n＝（10m）3÷（10n）2＝23÷32＝．
【点评】本题主要考查了同底数幂的除法，幂的乘方．利用上述法则的逆运算和整体代入的方法可使运算简便．
三．解答题（共10小题）
21．（2021春•宁德期末）计算：
（1）（a2）3•（a2）4÷（a2）5．
（2）．
【考点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．
【专题】整式；运算能力．
【分析】（1）先算乘方，再根据同底数幂的乘、除法法则求出即可；
（2）根据平方差公式进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝a6•a8÷a10
＝a4；
（2）原式＝（）2﹣（3a）2
＝．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法和除法，乘法公式等知识点，能灵活运用知识点进行计算和化简是解此题的关键．
22．（2021•北京）已知a2+2b2﹣1＝0，求代数式（a﹣b）2+b（2a+b）的值．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据完全平方公式、单项式乘多项式的运算法则把原式化简，把已知等式变形，代入即可．
【解答】解：原式＝a2﹣2ab+b2+2ab+b2
＝a2+2b2，
∵a2+2b2﹣1＝0，
∴a2+2b2＝1，
∴原式＝1．
【点评】本题考查的是整式的化简求值，灵活运用整体思想、掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
23．（2021春•宁德期末）计算：
（1）．
（2）利用乘法公式计算：198×202．
【考点】平方差公式；零指数幂；负整数指数幂．
【专题】整式；运算能力．
【分析】（1）根据零指数幂，幂的意义，负整数指数幂计算即可；
（2）利用平方差公式计算．
【解答】解：（1）原式＝1﹣9+2
＝﹣6；
（2）198×202
＝（200﹣2）×（200+2）
＝2002﹣22
＝40000﹣4
＝39996．
【点评】本题考查了零指数幂，幂的意义，负整数指数幂，平方差公式，牢记平方差公式的结构特点是解题的关键．
24．（2021春•尤溪县月考）回答下列问题：
（1）计算：①（x+2）（x+3）＝ x2+5x+6 ；
②（x+7）（x﹣10）＝ x2﹣3x﹣70 ；
③（x﹣5）（x﹣6）＝ x2﹣11x+30 ．
（2）由（1）的结果，直核写出下列计算的结果：
①（x+1）（x+3）＝ x2+4x+3 ；
②（x﹣2）（x﹣3）＝ x2﹣5x+6 ；
③（x+2）（x﹣5）＝ x2﹣3x﹣10 ．
（3）总结公式：（x+a）（x+b）＝ x2+（a+b）x+ab ．
（4）已知a，b，m均为整数，且（x+a）（x+b）＝x2+mx+6，求m的所有可能值： 7或﹣7或5或﹣5 ．
【考点】多项式乘多项式．
【专题】整式；运算能力．
【分析】（1）利用多项式乘多项式的法则运算即可；
（2）仿照（1）的解法计算即可；
（3）总结上述计算得出公式；
（4）将6分解成两个整数的乘积，即可得出a，b的值，利用公式（3）可得结论．
【解答】解：（1）①原式＝x2+2x+3x+6＝x2+5x+6；
②原式＝x2﹣10x+7x﹣70＝x2﹣3x﹣70；
③原式＝x2﹣6x﹣5x+30＝x2﹣11x+30．
故答案为：x2+5x+6；x2﹣3x﹣70；x2﹣11x+30．
（2）①原式＝x2+4x+3；
②原式＝x2﹣5x+6；
③原式＝x2﹣3x﹣10；
故答案为：x2+4x+3；x2﹣5x+6；x2﹣3x﹣10；
（3）由上面的计算可知：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab．
故答案为：x2+（a+b）x+ab．
（4）由公式（3）可知（x+a）（x+b）＝x2+mx+6中，m＝a+b，6＝ab．
∵6＝1×6或（﹣1）×（﹣6）或2×3或（﹣2）×（﹣3）
∴m＝7或﹣7或5或﹣5．
故答案为：7或﹣7或5或﹣5．
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练使用多项式乘多项式的法则是解题的关键．
25．（2021春•凤凰县月考）马同学与虎同学两人共同计算一道题：（x+m）（2x+n）．由于马同学抄错了m的符号，得到的结果是2x2﹣7x+3，虎同学漏抄第二个多项式中x的系数，得到的结果是x2+2x﹣3．请你求出m、n的值．
【考点】多项式乘多项式．
【专题】整式；运算能力．
【分析】计算马同学的结果，利用对应的系数相等，得到关于m，n的式子；再计算虎同学的结果，利用对应的系数相等，得到关于m，n的式子；解关于m，n的方程组即可求得结论．
【解答】解：∵马同学抄错了m的符号，得到的结果是（x﹣m）（2x+n）＝2x2+（﹣2m+n）x﹣mn＝2x2﹣7x+3，
由于对应的系数相等，
∴﹣2m+n＝﹣7，mn＝﹣3．
∵虎同学漏抄第二个多项式中x的系数，得到的结果是（x+m）（x+n）＝x2+（m+n）x+mn＝x2+2x﹣3，
由于对应的系数相等，
∴m+n＝2，mn＝﹣3．
∴．
解得．
故m＝3，n＝﹣1．
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式．熟练使用多项式乘等式的运算法则是解题的关键．
26．乘法公式的探究及应用．
（1）如图1，是将图2阴影部分裁剪下来，重新拼成的一个长方形，面积是 （a+b）（a﹣b） ；如图2，阴影部分的面积是 a2﹣b2 ；比较图1，图2阴影部分的面积，可以得到公式 （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 ；
（2）运用你所得到的公式，计算下列各题：
①10.2×9.8；
②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）．
【考点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景．
【专题】整式；运算能力．
【分析】（1）图1这个长方形的长为（a+b），宽为（a﹣b），面积为（a+b）（a﹣b）；图2阴影部分的面积为a2﹣b2；根据图1，图2阴影部分的面积相等，可以得到公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（2）①根据平方差公式简便计算；
②把（n﹣p）看作整体，用平方差公式计算即可．
【解答】解：（1）图1这个长方形的长为（a+b），宽为（a﹣b），面积为（a+b）（a﹣b）；
图2阴影部分的面积为a2﹣b2；
根据图1，图2阴影部分的面积相等，可以得到公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
故答案为：（a+b）（a﹣b）；a2﹣b2；（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（2）①10.2×9.8
＝（10+0.2）×（10﹣0.2）
＝102﹣0.22
＝100﹣0.04
＝99.96；
②原式＝[2m+（n﹣p）][2m﹣（n﹣p）]
＝（2m）2﹣（n﹣p）2
＝4m2﹣（n2﹣2np+p2）
＝4m2﹣n2+2np﹣p2．
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，把（n﹣p）看作整体，用平方差公式计算是解题的关键．
27．（2021春•盐都区月考）（1）已知a＝2﹣44444，b＝3﹣33333，c＝5﹣22222，请用“＜”把它们按从小到大的顺序连接起来，说明理由．
（2）请探索使得等式（2x+3）x+2020＝1成立的x的值．
【考点】有理数的乘方；零指数幂；负整数指数幂．
【专题】整式；运算能力．
【分析】（1）首先把负整数指数的幂化为11111，然后进行比较，即可得出答案；
（2）等式的值为1，可以是非零数的0次幂，也可以是1的任何次方，也可以是﹣1的偶次幂，分别计算即可．
【解答】解：（1）a＜c＜b，理由如下：
a＝（2﹣4）11111＝（）11111＝（）11111，
b＝（3﹣3）11111＝（）11111＝（）11111，
c＝（5﹣2）11111＝（）11111＝（）11111，
∵＞，
∴（）11111＞（）11111＞（）11111，
∴a＞c＞b；
（2）当x+2020＝0时，x＝﹣2020，此时2x+3＝﹣4037≠0，符合题意；
当2x+3＝1时，x＝﹣1，符合题意；
当2x+3＝﹣1时，x＝﹣2，此时x+2020＝2018，符合题意．
综上所述，x＝﹣2或﹣1或﹣2020．
【点评】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，注意（1）中底数越大，幂越小．
28．（2021春•龙口市期中）如图，点M是AB的中点，点P在MB上．分别以AP，PB为边，作正方形APCD和正方形PBEF，连接MD和ME．设AP＝a，BP＝b，且a+b＝10，ab＝15．
（1）求（a﹣b）2的值；
（2）求图中阴影部分的面积．
【考点】完全平方公式的几何背景．
【专题】整式；运算能力．
【分析】（1）根据（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab整体代入求值即可；
（2）根据S阴影部分＝S正方形APCD+S正方形BEFP﹣S△AMD﹣S△MBE计算即可．
【解答】解：（1）∵a+b＝10，ab＝15，
∴（a﹣b）2
＝（a+b）2﹣4ab
＝102﹣4×15
＝40；
（2）S阴影部分＝S正方形APCD+S正方形BEFP﹣S△AMD﹣S△MBE
＝
＝a2+b2﹣•（a+b）
＝
＝
＝100﹣30﹣
＝100﹣30﹣25
＝45．
【点评】本题考查了完全平方公式，列出阴影部分的式子是本题的关键．
29．（2021春•下城区校级期中）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．
例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝3，ab＝1，
∴（a+b）2＝9，2ab＝2．
∴a2+b2+2ab＝9，
∴a2+b2＝7．
根据上面的解题思路与方法解决下列问题：
（1）若（9﹣x）（x﹣6）＝1，求（9﹣x）2+（6﹣x）2的值
（2）如图，C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和为16，求△AFC的面积．
【考点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景．
【专题】转化思想；运算能力．
【分析】（1）根据完全平方公式的适当变形即可解答；
（2）设AC＝a，BC＝CF＝b，根据题目表示出面积与长度，进而利用完全平方公式变形可解答．
【解答】解：（1）∵（9﹣x）（x﹣6）＝1，（9﹣x）+（x﹣6）＝3
∴[（9﹣x）+（6﹣x）]2＝9，2（9﹣x）（x﹣6）＝2，
∴（9﹣x）2+（x﹣6）2+2（9﹣x）（x﹣6）＝（9﹣x）2+（6﹣x）2+2（9﹣x）（x﹣6）＝9，
∴（9﹣x）2+（6﹣x）2＝9﹣2＝7；
（2）设AC＝a，BC＝CF＝b，
∴a+b＝6，a2+b2＝16，
∴（a+b）2＝36，
∴a2+b2+2ab＝36，
∴ab＝10，
∴S△ACF＝ab＝×10＝5．
【点评】本题考查了完全平方公式的变形，根据已知条件表示出完全公式中的项是解题的关键．
30．（2021春•玄武区期中）观察下列各式：
（x﹣1）÷（x﹣1）＝1；
（x2﹣1）÷（x﹣1）＝x+1；
（x3﹣1）÷（x﹣1）＝x2+x+1；
（x4﹣1）÷（x﹣1）＝x3+x2+x+1．
根据上面各式的规律可得（ xn+1﹣1 ）÷（x﹣1）＝xn+xn﹣1+…+x+1；利用规律完成下列问题：
（1）52021+52020+52019+…+51+1＝ ；
（2）求（﹣3）20+（﹣3）19+（﹣3）18+…+（﹣3）的值．
【考点】有理数的混合运算；规律型：数字的变化类；整式的除法．
【专题】规律型；运算能力．
【分析】根据各式规律即可确定出所求；
（1）仿照题目中规律，将x＝5，n＝2021代入后再等式变形即可；
（2）将x＝﹣3，n＝20代入题目中发现的规律，再等式变形计算即可求出答案．
【解答】解：由题意得：xn+1﹣1；
（1）将x＝5，n＝2021代入得：
（52022﹣1）÷（5﹣1）＝52021+52020+52019+…+51+1，
∴52021+52020+52019+…+51+1＝＝．
（2）将x＝﹣3，n＝20代入得：
[（﹣3）21﹣1]÷（﹣3﹣1）＝（﹣3）20+（﹣3）19+（﹣3）18+…+（﹣3）+1，
∴（﹣3）20+（﹣3）19+（﹣3）18+…+（﹣3）
＝＝．
【点评】本题主要考查了探索规律，体现了由一般到特殊的应用，解题的关键是探索出规律，根据规律答题．
A．0.77×10﹣5倍B．77×10﹣4倍
C．7.7×10﹣6倍D．7.7×10﹣5倍
2．（2021•宜昌）从前，古希腊一位庄园主把一块边长为a米（a＞6）的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（ ）
A．没有变化B．变大了C．变小了D．无法确定
3．（2021•广安）下列运算中，正确的是（ ）
A．a2•a5＝a10B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．（﹣3a3）2＝6a6D．﹣3a2b+2a2b＝﹣a2b
4．（2021春•中原区校级期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为am•an＝am+n（其中a≠0，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：h（m+n）＝h（m）•h（n）；比如h（2）＝3，则h（4）＝h（2+2）＝3×3＝9，若h（2）＝k（k≠0），那么h（2n）•h（2020）的结果是（ ）
A．2k+2021B．2k+2022C．kn+1010D．2022k
5．（2021春•西湖区校级月考）若x满足（2021﹣x）2+（x﹣2020）2＝2019，则（2021﹣x）（x﹣2020）的值是（ ）
A．﹣1006B．﹣1007C．﹣1008D．﹣1009
6．（2021•嘉兴二模）下列计算中，结果正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4B．a2•a3＝a6C．（a3）2＝a5D．a3÷a2＝a
7．（2021•开封二模）纳米（nm）是长度的单位，1nm＝10﹣3um，1um＝10﹣3mm，如果将在2022年底攻克20nm工艺芯片技术的难关，其中20nm等于（ ）
A．2.0×10﹣5mmB．2.0×10﹣6mmC．2.0×10﹣7mmD．20×10﹣5mm
8．（2019春•芮城县期末）“已知：am＝2，an＝3，求am+n的值”，解决这个问题需要逆用幂的运算性质中的哪一个？（ ）
A．同底数幂的乘法B．积的乘方
C．幂的乘方D．同底数幂的除法
9．（2020秋•鼓楼区校级期中）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（ ）
A．255024B．255054C．255064D．250554
10．（2015•黄冈中学自主招生）已知实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，则（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是（ ）
A．12B．20C．28D．36
二．填空题（共10小题）
11．（2021春•郑州期末）2020年9月22日，习近平主席在第七十五届联合国大会一般性辩论上发表重要讲话时指出，中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和．二氧化碳是一种碳氧化合物，分子直径约为0.35～0.51nm，用科学记数法表示0.35nm＝ m．（1nm＝10﹣9m）
12．（2021•河北）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．
（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为 ；
（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片 块．
13．（2021春•高邮市校级期末）已知（2021﹣a）2+（a﹣2019）2＝7，则代数式（2021﹣a）（a﹣2019）的值为 ．
14．（2021•广安）若x、y满足，则代数式x2﹣4y2的值为 ．
15．（2021•姜堰区二模）“KN95”口罩能过滤空气中95%的直径约为0.0000003m的非油性颗粒，数据0.0000003用科学记数法表示为 ．
16．（2021春•西湖区校级月考）下列结论中：①已知2x＝a，2y＝b，则2x+y＝ab；②若a2•a4＝56，则a＝5；③若x2﹣（k+2）x+4是完全平方式，则k＝2；④关于x，y的方程组的自然数解有2对，正确的结论是 ．（填正确的序号）
17．（2020秋•丛台区期末）如图，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积是 ．
18．（2021春•镇海区期中）已知，则（a+3b﹣1）3的值为 ．
19．（2021春•高新区校级月考）计算：已知10x＝20，10y＝50﹣1，求4x÷22y＝ ．
20．（2021春•台儿庄区月考）已知10m＝2，10n＝3，则103m﹣2n＝ ．
三．解答题（共10小题）
21．（2021春•宁德期末）计算：
（1）（a2）3•（a2）4÷（a2）5．
（2）．
22．（2021•北京）已知a2+2b2﹣1＝0，求代数式（a﹣b）2+b（2a+b）的值．
23．（2021春•宁德期末）计算：
（1）．
（2）利用乘法公式计算：198×202．
24．（2021春•尤溪县月考）回答下列问题：
（1）计算：①（x+2）（x+3）＝ ；
②（x+7）（x﹣10）＝ ；
③（x﹣5）（x﹣6）＝ ．
（2）由（1）的结果，直核写出下列计算的结果：
①（x+1）（x+3）＝ ；
②（x﹣2）（x﹣3）＝ ；
③（x+2）（x﹣5）＝ ．
（3）总结公式：（x+a）（x+b）＝ ．
（4）已知a，b，m均为整数，且（x+a）（x+b）＝x2+mx+6，求m的所有可能值： ．
25．（2021春•凤凰县月考）马同学与虎同学两人共同计算一道题：（x+m）（2x+n）．由于马同学抄错了m的符号，得到的结果是2x2﹣7x+3，虎同学漏抄第二个多项式中x的系数，得到的结果是x2+2x﹣3．请你求出m、n的值．
26．乘法公式的探究及应用．
（1）如图1，是将图2阴影部分裁剪下来，重新拼成的一个长方形，面积是 ；如图2，阴影部分的面积是 ；比较图1，图2阴影部分的面积，可以得到公式 ；
（2）运用你所得到的公式，计算下列各题：
①10.2×9.8；
②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）．
27．（2021春•盐都区月考）（1）已知a＝2﹣44444，b＝3﹣33333，c＝5﹣22222，请用“＜”把它们按从小到大的顺序连接起来，说明理由．
（2）请探索使得等式（2x+3）x+2020＝1成立的x的值．
28．（2021春•龙口市期中）如图，点M是AB的中点，点P在MB上．分别以AP，PB为边，作正方形APCD和正方形PBEF，连接MD和ME．设AP＝a，BP＝b，且a+b＝10，ab＝15．
（1）求（a﹣b）2的值；
（2）求图中阴影部分的面积．
29．（2021春•下城区校级期中）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．
例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝3，ab＝1，
∴（a+b）2＝9，2ab＝2．
∴a2+b2+2ab＝9，
∴a2+b2＝7．
根据上面的解题思路与方法解决下列问题：
（1）若（9﹣x）（x﹣6）＝1，求（9﹣x）2+（6﹣x）2的值
（2）如图，C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和为16，求△AFC的面积．
30．（2021春•玄武区期中）观察下列各式：
（x﹣1）÷（x﹣1）＝1；
（x2﹣1）÷（x﹣1）＝x+1；
（x3﹣1）÷（x﹣1）＝x2+x+1；
（x4﹣1）÷（x﹣1）＝x3+x2+x+1．
根据上面各式的规律可得（ ）÷（x﹣1）＝xn+xn﹣1+…+x+1；利用规律完成下列问题：
（1）52021+52020+52019+…+51+1＝ ；
（2）求（﹣3）20+（﹣3）19+（﹣3）18+…+（﹣3）的值．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．（2021•聊城）已知一个水分子的直径约为3.85×10﹣9米，某花粉的直径约为5×10﹣4米，用科学记数法表示一个水分子的直径是这种花粉直径的（ ）
A．0.77×10﹣5倍B．77×10﹣4倍
C．7.7×10﹣6倍D．7.7×10﹣5倍
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【专题】实数；应用意识．
【分析】根据题意列出算式进行计算，一定注意1≤|a|＜10．
【解答】解：根据题意得，
（3.85×10﹣9）÷（5×10﹣4）
＝（3.85÷5）×（10﹣9÷10﹣4）
＝0.77×10﹣5
＝7.7×10﹣6，
故选：C．
【点评】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，准确确定a与n值是关键．
2．（2021•宜昌）从前，古希腊一位庄园主把一块边长为a米（a＞6）的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（ ）
A．没有变化B．变大了C．变小了D．无法确定
【考点】平方差公式的几何背景．
【专题】整式；运算能力．
【分析】矩形的长为（a+6）米，矩形的宽为（a﹣6）米，矩形的面积为（a+6）（a﹣6），根据平方差公式即可得出答案．
【解答】解：矩形的面积为（a+6）（a﹣6）＝a2﹣36，
∴矩形的面积比正方形的面积a2小了36平方米，
故选：C．
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，列出矩形的面积的代数式，根据平方差公式计算是解题的关键．
3．（2021•广安）下列运算中，正确的是（ ）
A．a2•a5＝a10B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．（﹣3a3）2＝6a6D．﹣3a2b+2a2b＝﹣a2b
【考点】合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方和积的乘方，完全平方公式分别判断即可．
【解答】解：A、a2•a5＝a7，故选项错误；
B、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选项错误；
C、（﹣3a3）2＝9a6，故选项错误；
D、﹣3a2b+2a2b＝﹣a2b，故选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方和积的乘方，完全平方公式，解题的关键是掌握各自的运算法则．
4．（2021春•中原区校级期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为am•an＝am+n（其中a≠0，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：h（m+n）＝h（m）•h（n）；比如h（2）＝3，则h（4）＝h（2+2）＝3×3＝9，若h（2）＝k（k≠0），那么h（2n）•h（2020）的结果是（ ）
A．2k+2021B．2k+2022C．kn+1010D．2022k
【考点】有理数的混合运算；同底数幂的乘法．
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据h（m+n）＝h（m）•h（n），通过对所求式子变形，然后根据同底数幂的乘法计算即可解答本题．
【解答】解：∵h（2）＝k（k≠0），h（m+n）＝h（m）•h（n），
∴h（2n）•h（2020）
＝h••h
＝•
＝kn•k1010
＝kn+1010，
故选：C．
【点评】本题考查整式的混合运算﹣化简求值、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新运算求出所求式子的值．
5．（2021春•西湖区校级月考）若x满足（2021﹣x）2+（x﹣2020）2＝2019，则（2021﹣x）（x﹣2020）的值是（ ）
A．﹣1006B．﹣1007C．﹣1008D．﹣1009
【考点】多项式乘多项式；完全平方公式．
【专题】整式；推理能力．
【分析】设2021﹣x＝a，x﹣2020＝b，根据题意可得，a2+b2＝2020，a+b＝（2021﹣x）+（x﹣2018）＝3，将ab化成[（a+b）2﹣（a2+b2）]的形式，代入求值即可．
【解答】解：设2021﹣x＝a，x﹣2020＝b，则（2021﹣x）2+（x﹣2020）2＝a2+b2＝2019，a+b＝（2021﹣x）+（x﹣2020）＝1，
所以，（2021﹣x）（x﹣2020）＝ab＝[（a+b）2﹣（a2+b2）]＝×（12﹣2019）＝﹣1009；
故选：D．
【点评】本题考查完全平方公式的应用，熟记完全平方公式是解题的关键．
6．（2021•嘉兴二模）下列计算中，结果正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4B．a2•a3＝a6C．（a3）2＝a5D．a3÷a2＝a
【考点】合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．
【专题】实数；运算能力．
【分析】根据积的乘方等于把每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘和幂的乘方：底数不变，指数相加计算即可．
【解答】解：A．a2+a2＝2a2，故本选项不合题意；
B．a2•a3＝a2+3＝a5，故本选项不合题意；
C．（a3）2＝a3×2＝a6，故本选项不合题意；
D．a3÷a2＝a3﹣2＝a，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是同底数幂的除法、积的乘方和幂的乘方，掌握它们的运算法则是解题的关键．
7．（2021•开封二模）纳米（nm）是长度的单位，1nm＝10﹣3um，1um＝10﹣3mm，如果将在2022年底攻克20nm工艺芯片技术的难关，其中20nm等于（ ）
A．2.0×10﹣5mmB．2.0×10﹣6mmC．2.0×10﹣7mmD．20×10﹣5mm
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【专题】实数；运算能力．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：因为1nm＝10﹣3um，1um＝10﹣3mm，
所以20nm＝20×10﹣3×10﹣3＝2.0×10﹣5nm．
故选：A．
【点评】本题考查了科学记数法．解题的关键是掌握科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
8．（2019春•芮城县期末）“已知：am＝2，an＝3，求am+n的值”，解决这个问题需要逆用幂的运算性质中的哪一个？（ ）
A．同底数幂的乘法B．积的乘方
C．幂的乘方D．同底数幂的除法
【考点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此解答即可．
【解答】解：am+n＝am•an，
∴解决这个问题需要逆用同底数幂的乘法．
故选：A．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟记幂的运算性质是解答本题的关键．
9．（2020秋•鼓楼区校级期中）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（ ）
A．255024B．255054C．255064D．250554
【考点】平方差公式．
【专题】整式；运算能力．
【分析】设相邻的两奇数分别为2n+1，2n﹣1（n≥1，且n为正整数），求出和谐数的表达式，根据和谐数不超过2017，列出不等式，求得n的范围，进而可以知道最大的n，求出此时的相邻两个奇数，然后把这些和谐数加起来计算即可．
【解答】解：设相邻的两奇数分别为2n+1，2n﹣1（n≥1，且n为正整数），
（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，
根据题意得：8n≤2017，
∴n≤252，
∴n最大为252，此时2n+1＝505，2n﹣1＝503，
∴32﹣12+52﹣32+...+5032﹣5012+5052﹣5032
＝5052﹣12
＝255024．
故选：A．
【点评】本题考查了平方差公式的应用，求出和谐数的表达式是解题的关键．
10．（2015•黄冈中学自主招生）已知实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，则（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是（ ）
A．12B．20C．28D．36
【考点】代数式求值；完全平方公式．
【专题】计算题．
【分析】由题意实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，可以将（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2，用x2+y2+z2和（xy+yz+xz）表示出来，然后根据完全平方式的基本性质进行求解．
【解答】解：∵实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，
∴（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2＝5（x2+y2+z2）﹣4（xy+yz+xz）＝20﹣2[（x+y+z）2﹣（x2+y2+z2）]＝28﹣2（x+y+z）2≤28
∴当x+y+z＝0时（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是28．
故选：C．
【点评】此题主要考查完全平方式的性质及代数式的求值，要学会拼凑多项式．
二．填空题（共10小题）
11．（2021春•郑州期末）2020年9月22日，习近平主席在第七十五届联合国大会一般性辩论上发表重要讲话时指出，中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和．二氧化碳是一种碳氧化合物，分子直径约为0.35～0.51nm，用科学记数法表示0.35nm＝ 3.5×10﹣10 m．（1nm＝10﹣9m）
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【专题】实数；数感．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.35nm＝0.35×10﹣9m＝3.5×10﹣10，
故答案为：3.5×10﹣10．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．（2021•河北）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．
（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为 a2+b2 ；
（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片 4 块．
【考点】完全平方公式的几何背景；完全平方式．
【专题】整式；运算能力．
【分析】（1）由图可知：一块甲种纸片面积为a2，一块乙种纸片的面积为b2，一块丙种纸片面积为ab，即可求解；
（2）利用完全平方公式可求解．
【解答】解：（1）由图可知：一块甲种纸片面积为a2，一块乙种纸片的面积为b2，一块丙种纸片面积为ab，
∴取甲、乙纸片各1块，其面积和为a2+b2，
故答案为：a2+b2；
（2）设取丙种纸片x块才能用它们拼成一个新的正方形，
∴a2+4b2+xab是一个完全平方式，
∴x为4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了完全平方式，掌握完全平方公式是解题的关键．
13．（2021春•高邮市校级期末）已知（2021﹣a）2+（a﹣2019）2＝7，则代数式（2021﹣a）（a﹣2019）的值为 ﹣ ．
【考点】多项式乘多项式；完全平方公式．
【专题】整式；运算能力．
【分析】先根据完全平方公式得出（2021﹣a）2+（a﹣2019）2＝[(2021﹣a)+(a﹣2019)]2﹣2(2021﹣a)(a﹣2019)＝7，再求出答案即可．
【解答】解：∵（2021﹣a）2+（a﹣2019）2＝7，
∴[(2021﹣a)+(a﹣2019)]2﹣2(2021﹣a)(a﹣2019)＝7，
∴22﹣2（2021﹣a）（a﹣2019）＝7，
∴2（2021﹣a）（a﹣2019）＝﹣3，
∴（2021﹣a）（a﹣2019）＝﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了完全平方公式，能正确根据完全平方公式进行变形是解此题的关键，注意：（x+y）2＝x2+2xy+y2．
14．（2021•广安）若x、y满足，则代数式x2﹣4y2的值为 ﹣6 ．
【考点】平方差公式．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】根据方程组中x+2y和x﹣2y的值，将代数式利用平方差公式分解，再代入计算即可．
【解答】解：∵x﹣2y＝﹣2，x+2y＝3，
∴x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）＝3×（﹣2）＝﹣6，
故答案为：﹣6．
【点评】本题主要考查方程组的解及代数式的求值，观察待求代数式的特点与方程组中两方程的联系是解题关键．
15．（2021•姜堰区二模）“KN95”口罩能过滤空气中95%的直径约为0.0000003m的非油性颗粒，数据0.0000003用科学记数法表示为 3×10﹣7 ．
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【专题】实数；数感．
【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000003＝3×10﹣7．
故答案为：3×10﹣7．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
16．（2021春•西湖区校级月考）下列结论中：①已知2x＝a，2y＝b，则2x+y＝ab；②若a2•a4＝56，则a＝5；③若x2﹣（k+2）x+4是完全平方式，则k＝2；④关于x，y的方程组的自然数解有2对，正确的结论是 ① ．（填正确的序号）
【考点】同底数幂的乘法；单项式乘多项式；完全平方式．
【专题】整式；一次方程（组）及应用；一元一次不等式(组)及应用；运算能力．
【分析】先根据同底数幂的乘法，完全平方公式，解方程组进行计算，再求出答案即可．
【解答】解：∵2x＝a，2y＝b，
∴2x+y＝2x×2y＝ab，故①正确；
∵a2•a4＝a6＝56，
∴a＝±5，故②错误；
∵x2﹣（k+2）x+4是完全平方式，
∴﹣（k+2）x＝±2•x•2，
∴k＝2或﹣6，故③错误；
解方程组得：，
∵方程组的解是自然数，
∴，
解得：3≤k≤5，
∴自然数为3，4，5，
即关于x，y的方程组的自然数解有3对，故④错误；
即正确的有①，
故答案为：①．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，完全平方公式，解二元一次方程组，解一元一次不等式组等知识点，能正确根据知识点进行计算是解此题的关键．
17．（2020秋•丛台区期末）如图，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积是 20 ．
【考点】平方差公式的几何背景．
【专题】整式；运算能力．
【分析】设大正方形的边长为a，小正方形的面积为b，根据题意得a2﹣b2＝40，∴（a+b）（a﹣b）＝40；根据S阴＝S△ACD﹣S△CDE计算即可．
【解答】解：设大正方形的边长为a，小正方形的面积为b，
根据题意得a2﹣b2＝40，
∴（a+b）（a﹣b）＝40；
∵S阴＝S△ACD﹣S△CDE，
∴S阴＝×CD×AB﹣×CD×BE
＝（a+b）a﹣（a+b）b
＝（a+b）（a﹣b）
∵（a+b）（a﹣b）＝40，
∴S阴＝×40
＝20．
故答案为：20．
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，考核学生的计算能力，设出未知数表示出阴影部分的面积是解题的关键．
18．（2021春•镇海区期中）已知，则（a+3b﹣1）3的值为 ﹣8 ．
【考点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【分析】把8写成23，然后计算出2a+3b＝2﹣1，所以a+3b＝﹣1，整体代入求值即可．
【解答】解：∵8b＝（23）b＝23b＝，2a＝5，
∴2a+3b＝2a•23b＝5×＝＝2﹣1，
∴a+3b＝﹣1，
∴原式＝（﹣1﹣1）3＝（﹣2）3＝﹣8．
故答案为：﹣8．
【点评】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，负指数幂，会逆用这些法则是解题的关键．
19．（2021春•高新区校级月考）计算：已知10x＝20，10y＝50﹣1，求4x÷22y＝ 64 ．
【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法；负整数指数幂．
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据10x＝20，10y＝50﹣1，可求出x﹣y＝3，再将4x÷22y转化为4x﹣y代入计算即可．
【解答】解：∵10x＝20，10y＝50﹣1，
∴10x÷10y＝20÷50﹣1，
即10x﹣y＝1000＝103，
∴x﹣y＝3，
∴4x÷22y＝4x﹣y＝43＝64，
故答案为：64．
【点评】本题考查同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方以及负整数指数幂，掌握同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方以及负整数指数幂的运算法则是正确计算的前提．，
20．（2021春•台儿庄区月考）已知10m＝2，10n＝3，则103m﹣2n＝ ．
【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．
【专题】计算题；运算能力．
【分析】利用同底数幂的除法和幂的乘方的逆运算可求结论．
【解答】解：103m﹣2n＝103m÷102n＝（10m）3÷（10n）2＝23÷32＝．
【点评】本题主要考查了同底数幂的除法，幂的乘方．利用上述法则的逆运算和整体代入的方法可使运算简便．
三．解答题（共10小题）
21．（2021春•宁德期末）计算：
（1）（a2）3•（a2）4÷（a2）5．
（2）．
【考点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．
【专题】整式；运算能力．
【分析】（1）先算乘方，再根据同底数幂的乘、除法法则求出即可；
（2）根据平方差公式进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝a6•a8÷a10
＝a4；
（2）原式＝（）2﹣（3a）2
＝．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法和除法，乘法公式等知识点，能灵活运用知识点进行计算和化简是解此题的关键．
22．（2021•北京）已知a2+2b2﹣1＝0，求代数式（a﹣b）2+b（2a+b）的值．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据完全平方公式、单项式乘多项式的运算法则把原式化简，把已知等式变形，代入即可．
【解答】解：原式＝a2﹣2ab+b2+2ab+b2
＝a2+2b2，
∵a2+2b2﹣1＝0，
∴a2+2b2＝1，
∴原式＝1．
【点评】本题考查的是整式的化简求值，灵活运用整体思想、掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
23．（2021春•宁德期末）计算：
（1）．
（2）利用乘法公式计算：198×202．
【考点】平方差公式；零指数幂；负整数指数幂．
【专题】整式；运算能力．
【分析】（1）根据零指数幂，幂的意义，负整数指数幂计算即可；
（2）利用平方差公式计算．
【解答】解：（1）原式＝1﹣9+2
＝﹣6；
（2）198×202
＝（200﹣2）×（200+2）
＝2002﹣22
＝40000﹣4
＝39996．
【点评】本题考查了零指数幂，幂的意义，负整数指数幂，平方差公式，牢记平方差公式的结构特点是解题的关键．
24．（2021春•尤溪县月考）回答下列问题：
（1）计算：①（x+2）（x+3）＝ x2+5x+6 ；
②（x+7）（x﹣10）＝ x2﹣3x﹣70 ；
③（x﹣5）（x﹣6）＝ x2﹣11x+30 ．
（2）由（1）的结果，直核写出下列计算的结果：
①（x+1）（x+3）＝ x2+4x+3 ；
②（x﹣2）（x﹣3）＝ x2﹣5x+6 ；
③（x+2）（x﹣5）＝ x2﹣3x﹣10 ．
（3）总结公式：（x+a）（x+b）＝ x2+（a+b）x+ab ．
（4）已知a，b，m均为整数，且（x+a）（x+b）＝x2+mx+6，求m的所有可能值： 7或﹣7或5或﹣5 ．
【考点】多项式乘多项式．
【专题】整式；运算能力．
【分析】（1）利用多项式乘多项式的法则运算即可；
（2）仿照（1）的解法计算即可；
（3）总结上述计算得出公式；
（4）将6分解成两个整数的乘积，即可得出a，b的值，利用公式（3）可得结论．
【解答】解：（1）①原式＝x2+2x+3x+6＝x2+5x+6；
②原式＝x2﹣10x+7x﹣70＝x2﹣3x﹣70；
③原式＝x2﹣6x﹣5x+30＝x2﹣11x+30．
故答案为：x2+5x+6；x2﹣3x﹣70；x2﹣11x+30．
（2）①原式＝x2+4x+3；
②原式＝x2﹣5x+6；
③原式＝x2﹣3x﹣10；
故答案为：x2+4x+3；x2﹣5x+6；x2﹣3x﹣10；
（3）由上面的计算可知：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab．
故答案为：x2+（a+b）x+ab．
（4）由公式（3）可知（x+a）（x+b）＝x2+mx+6中，m＝a+b，6＝ab．
∵6＝1×6或（﹣1）×（﹣6）或2×3或（﹣2）×（﹣3）
∴m＝7或﹣7或5或﹣5．
故答案为：7或﹣7或5或﹣5．
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练使用多项式乘多项式的法则是解题的关键．
25．（2021春•凤凰县月考）马同学与虎同学两人共同计算一道题：（x+m）（2x+n）．由于马同学抄错了m的符号，得到的结果是2x2﹣7x+3，虎同学漏抄第二个多项式中x的系数，得到的结果是x2+2x﹣3．请你求出m、n的值．
【考点】多项式乘多项式．
【专题】整式；运算能力．
【分析】计算马同学的结果，利用对应的系数相等，得到关于m，n的式子；再计算虎同学的结果，利用对应的系数相等，得到关于m，n的式子；解关于m，n的方程组即可求得结论．
【解答】解：∵马同学抄错了m的符号，得到的结果是（x﹣m）（2x+n）＝2x2+（﹣2m+n）x﹣mn＝2x2﹣7x+3，
由于对应的系数相等，
∴﹣2m+n＝﹣7，mn＝﹣3．
∵虎同学漏抄第二个多项式中x的系数，得到的结果是（x+m）（x+n）＝x2+（m+n）x+mn＝x2+2x﹣3，
由于对应的系数相等，
∴m+n＝2，mn＝﹣3．
∴．
解得．
故m＝3，n＝﹣1．
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式．熟练使用多项式乘等式的运算法则是解题的关键．
26．乘法公式的探究及应用．
（1）如图1，是将图2阴影部分裁剪下来，重新拼成的一个长方形，面积是 （a+b）（a﹣b） ；如图2，阴影部分的面积是 a2﹣b2 ；比较图1，图2阴影部分的面积，可以得到公式 （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 ；
（2）运用你所得到的公式，计算下列各题：
①10.2×9.8；
②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）．
【考点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景．
【专题】整式；运算能力．
【分析】（1）图1这个长方形的长为（a+b），宽为（a﹣b），面积为（a+b）（a﹣b）；图2阴影部分的面积为a2﹣b2；根据图1，图2阴影部分的面积相等，可以得到公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（2）①根据平方差公式简便计算；
②把（n﹣p）看作整体，用平方差公式计算即可．
【解答】解：（1）图1这个长方形的长为（a+b），宽为（a﹣b），面积为（a+b）（a﹣b）；
图2阴影部分的面积为a2﹣b2；
根据图1，图2阴影部分的面积相等，可以得到公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
故答案为：（a+b）（a﹣b）；a2﹣b2；（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（2）①10.2×9.8
＝（10+0.2）×（10﹣0.2）
＝102﹣0.22
＝100﹣0.04
＝99.96；
②原式＝[2m+（n﹣p）][2m﹣（n﹣p）]
＝（2m）2﹣（n﹣p）2
＝4m2﹣（n2﹣2np+p2）
＝4m2﹣n2+2np﹣p2．
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，把（n﹣p）看作整体，用平方差公式计算是解题的关键．
27．（2021春•盐都区月考）（1）已知a＝2﹣44444，b＝3﹣33333，c＝5﹣22222，请用“＜”把它们按从小到大的顺序连接起来，说明理由．
（2）请探索使得等式（2x+3）x+2020＝1成立的x的值．
【考点】有理数的乘方；零指数幂；负整数指数幂．
【专题】整式；运算能力．
【分析】（1）首先把负整数指数的幂化为11111，然后进行比较，即可得出答案；
（2）等式的值为1，可以是非零数的0次幂，也可以是1的任何次方，也可以是﹣1的偶次幂，分别计算即可．
【解答】解：（1）a＜c＜b，理由如下：
a＝（2﹣4）11111＝（）11111＝（）11111，
b＝（3﹣3）11111＝（）11111＝（）11111，
c＝（5﹣2）11111＝（）11111＝（）11111，
∵＞，
∴（）11111＞（）11111＞（）11111，
∴a＞c＞b；
（2）当x+2020＝0时，x＝﹣2020，此时2x+3＝﹣4037≠0，符合题意；
当2x+3＝1时，x＝﹣1，符合题意；
当2x+3＝﹣1时，x＝﹣2，此时x+2020＝2018，符合题意．
综上所述，x＝﹣2或﹣1或﹣2020．
【点评】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，注意（1）中底数越大，幂越小．
28．（2021春•龙口市期中）如图，点M是AB的中点，点P在MB上．分别以AP，PB为边，作正方形APCD和正方形PBEF，连接MD和ME．设AP＝a，BP＝b，且a+b＝10，ab＝15．
（1）求（a﹣b）2的值；
（2）求图中阴影部分的面积．
【考点】完全平方公式的几何背景．
【专题】整式；运算能力．
【分析】（1）根据（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab整体代入求值即可；
（2）根据S阴影部分＝S正方形APCD+S正方形BEFP﹣S△AMD﹣S△MBE计算即可．
【解答】解：（1）∵a+b＝10，ab＝15，
∴（a﹣b）2
＝（a+b）2﹣4ab
＝102﹣4×15
＝40；
（2）S阴影部分＝S正方形APCD+S正方形BEFP﹣S△AMD﹣S△MBE
＝
＝a2+b2﹣•（a+b）
＝
＝
＝100﹣30﹣
＝100﹣30﹣25
＝45．
【点评】本题考查了完全平方公式，列出阴影部分的式子是本题的关键．
29．（2021春•下城区校级期中）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．
例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝3，ab＝1，
∴（a+b）2＝9，2ab＝2．
∴a2+b2+2ab＝9，
∴a2+b2＝7．
根据上面的解题思路与方法解决下列问题：
（1）若（9﹣x）（x﹣6）＝1，求（9﹣x）2+（6﹣x）2的值
（2）如图，C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和为16，求△AFC的面积．
【考点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景．
【专题】转化思想；运算能力．
【分析】（1）根据完全平方公式的适当变形即可解答；
（2）设AC＝a，BC＝CF＝b，根据题目表示出面积与长度，进而利用完全平方公式变形可解答．
【解答】解：（1）∵（9﹣x）（x﹣6）＝1，（9﹣x）+（x﹣6）＝3
∴[（9﹣x）+（6﹣x）]2＝9，2（9﹣x）（x﹣6）＝2，
∴（9﹣x）2+（x﹣6）2+2（9﹣x）（x﹣6）＝（9﹣x）2+（6﹣x）2+2（9﹣x）（x﹣6）＝9，
∴（9﹣x）2+（6﹣x）2＝9﹣2＝7；
（2）设AC＝a，BC＝CF＝b，
∴a+b＝6，a2+b2＝16，
∴（a+b）2＝36，
∴a2+b2+2ab＝36，
∴ab＝10，
∴S△ACF＝ab＝×10＝5．
【点评】本题考查了完全平方公式的变形，根据已知条件表示出完全公式中的项是解题的关键．
30．（2021春•玄武区期中）观察下列各式：
（x﹣1）÷（x﹣1）＝1；
（x2﹣1）÷（x﹣1）＝x+1；
（x3﹣1）÷（x﹣1）＝x2+x+1；
（x4﹣1）÷（x﹣1）＝x3+x2+x+1．
根据上面各式的规律可得（ xn+1﹣1 ）÷（x﹣1）＝xn+xn﹣1+…+x+1；利用规律完成下列问题：
（1）52021+52020+52019+…+51+1＝ ；
（2）求（﹣3）20+（﹣3）19+（﹣3）18+…+（﹣3）的值．
【考点】有理数的混合运算；规律型：数字的变化类；整式的除法．
【专题】规律型；运算能力．
【分析】根据各式规律即可确定出所求；
（1）仿照题目中规律，将x＝5，n＝2021代入后再等式变形即可；
（2）将x＝﹣3，n＝20代入题目中发现的规律，再等式变形计算即可求出答案．
【解答】解：由题意得：xn+1﹣1；
（1）将x＝5，n＝2021代入得：
（52022﹣1）÷（5﹣1）＝52021+52020+52019+…+51+1，
∴52021+52020+52019+…+51+1＝＝．
（2）将x＝﹣3，n＝20代入得：
[（﹣3）21﹣1]÷（﹣3﹣1）＝（﹣3）20+（﹣3）19+（﹣3）18+…+（﹣3）+1，
∴（﹣3）20+（﹣3）19+（﹣3）18+…+（﹣3）
＝＝．
【点评】本题主要考查了探索规律，体现了由一般到特殊的应用，解题的关键是探索出规律，根据规律答题．
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