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2021年北京昌平区十三陵中学七年级下期末数学试卷
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这是一份2021年北京昌平区十三陵中学七年级下期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 8 的立方根等于
A. −2B. 2C. −4D. 4
2. 已知 aA. a+4>b+4B. a−3>b−3C. 12a<12bD. −2a<−2b
3. 下列计算中，正确的是
A. m2+m4=m6B. m2⋅m4=m8C. 3m2=3m2D. 2m4÷m2=2m2
4. 如果点 P5,y 在第四象限，那么 y 的取值范围是
A. y≤0B. y≥0C. y<0D. y>0
5. 下列运算中，正确的是
A. a+b2=a2+b2B. a−122=a2−a+14
C. a−b2=a2+2ab−b2D. 2a+b2=2a2+2ab+b2
6. 下列命题中，是假命题的是
A. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B. 同旁内角互补，两直线平行
C. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等
D. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
7. 为倡导绿色发展，避免浪费能源，某市准备对居民用电量采用阶梯收费的方法，计划实施三档的阶梯电价：第一档、第二档和第三档的电价分别覆盖全市居民家庭的 80%，15% 和 5%．为了合理确定各档之间的界限，相关部门在该市随机调查了 20000 户居民 6 月份的用电量（单位：kw⋅h），并将收集的样本数据进行排序整理（排序样本），绘制了如下频数分布直方图（每段用电量均含最小值，不含最大值）．根据以上信息，下面有四个推断：
①抽样调查 6 月份的用电量，是因为 6 月份的用电量在一年 12 个月的用电量中处于中等偏上水平；
②在调查的 20000 户居民中，6 月份的用电量的最大值与最小值的差小于 500；
③月用电量小于 160 kw⋅h 的该市居民家庭按第一档电价交费，月用电量不小于 310 kw⋅h 的该市居民家庭按第三档电价交费；
④该市居民家庭月用电量的中间水平（50% 的用户）为 110 kw⋅h．
其中合理的是
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
8. 如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当 ∠2=37∘ 时，∠1 的度数为
A. 37∘B. 43∘C. 53∘D. 54∘
9. 下列调查方式中，合适的是
A. 要了解约 90 万顶救灾帐篷的质量，采用普查的方式
B. 要了解外地游客对旅游景点“新疆民街”的满意程度，采用抽样调查的方式
C. 要保证“神舟七号”飞船成功发射，对主要零部件的检查采用抽样调查的方式
D. 要了解全疆初中学生的业余爱好，采用普查的方式
10. 小刚准备用自己节省的零花钱购买一台 MP4 来学习英语，他已存有 50 元，并计划从本月起每月节省 30 元，直到他至少有 280 元．设 x 个月后小刚至少有 280 元，则可列计算月数的不等式为
A. 30x+50>280B. 30x−50≥280
C. 30x−50≤280D. 30x+50≥280
二、填空题（共9小题；共45分）
11. 如图，在 △ABC 中，AB=AD=DC，∠BAD=20∘，则 ∠C= ．
12. 图中的四边形均为长方形，根据图形，写出一个正确的等式： ．
13. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AD 平分 ∠CAB 交 BC 于点 D．BE⊥AD 于点 E，若 ∠CAB=50∘，则 ∠DBE= ∘．
14. 如图，AB∥CD，CE 交 AB 于 F，∠C=55∘，∠AEC=15∘，则 ∠A= ∘．
15. 七巧板又称智慧板，是中国民间流传的智力玩具，它由七块板组成（如图 1），用这七块板可拼出许多图形（1600 种以上），例如：三角形、平行四边形以及不规则的多边形，它还可以拼出各种人物、动物、建筑等，请你用七巧板中标号为 ①②③ 的三块板（如图 2）经过平移、旋转拼出下列图形（相邻两块板之间无空隙，无重叠；示意图的顶点画在小方格顶点上）：
（1）拼成长方形，在图 3 中画出示意图；
（2）拼成等腰直角三角形，在图 4 中画出示意图．
16. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，平行四边形 ABCD 的四个顶点 A，B，C，D 是整点（横、纵坐标都是整数），则四边形 ABCD 的面积是 ．
17. 若一个整数能表示成 a2+b2（a，b 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如，因为 5=22+12，所以 5 是一个“完美数”．
（1）请你再写一个大于 10 且小于 20 的“完美数” ；
（2）已知 M 是一个“完美数”，且 M=x2+4xy+5y2−12y+k（x，y 是两个任意整数，k 是常数），则 k 的值为 ．
18. 分别观察下列三组图形，并填写表格：
如图 1 所示，在由一些三角形组成的图形中，每条边上都排列了一些点，其中每个图形中所有点的总数记为 Sn，Sn 叫做第 n 个“三角形数”（n 为整数，且 n>1）．类似的也可以用点排出一些“四边形数”，“五边形数”，如图 2，图 3 所示．
（1）请你将第 6 个“三角形数”，第 6 个“四边形数”，第 6 个“五边形数”，填写在上面的表格中；
（2）若第 k 个“三角形数”a，第 k 个“四边形数”为 b，请用含 a，b 的代数式表示第 k 个“五边形数”，并填入表格中．
19. 如图，要把池中的水引到 D 处，可过 D 点作 CD⊥AB 于 C，然后沿 CD 开渠，可使所开渠道最短，试说明设计的依据： ．
三、解答题（共10小题；共130分）
20. 计算：35−5+23+∣−23∣+π−30．
21. 解不等式：2x+23−3x+12>1，并把解集表示在数轴上．
22. 先化简，再求值：ab+2ab−2+a2b2+4ab÷ab，其中 a=10，b=15．
23. 在平面直角坐标系 xOy 中，△ABC 的三个顶点分别是 A−2,0，B0,3，C3,0．
（1）在所给的图中，画出这个平面直角坐标系；
（2）点 A 经过平移后对应点为 D3,−3，将 △ABC 作同样的平移得到 △DEF，画出平移后的 △DEF；
（3）在（2）的条件下，点 M 在直线 CD 上，若 CM=2DM，直接写出点 M 的坐标．
M 点的坐标为 ．
24. 如图，点 O 在直线 AB 上，OC⊥OD，∠EDO 与 ∠1 互余．
（1）求证：ED∥AB；
（2）OF 平分 ∠COD 交 DE 于点 F，若 ∠OFD=70∘，补全图形，并求 ∠1 的度数．
25. 某地需要将一段长为 180 米的河道进行整修，整修任务由A，B两个工程队先、后接力完成．已知A工程队每天整修 12 米，B工程队每天整修 8 米，共用时 20 天．问A，B两个工程队整修河道分别工作了多少天?
（1）以下是甲同学的做法：
设A工程队整修河道工作了 x 天，B工程队整修河道工作了 y 天．
根据题意，得方程组： ．
解得 x=▫,y=▫.
请将甲同学的上述做法补充完整．
（2）乙同学说，本题还有另外一种解法，他列出了不完整的方程组如下：
x+y=▫,x12+y8=▫.
① 在乙同学的做法中，x 表示 ，y8 表示 ；
② 请将乙同学所列方程组补充完整．
26. 阅读下列材料：
2017 年，我国全年水资源总量为 28675 亿m3，2016 年，我国全年水资源总量为 32466.4 亿m3．2015 年，我国全年水资源总量为 27962.6 亿m3，全年平均降水量为 660.8 mm．
我国水资源的消费结构包含工业用水、农业用水、生态用水、生活用水四类．2017 年全国用水总量 6040 亿m3，其中工业用水占用水总量的 22%，农业用水占用水总量的 62%，生态用水占用水总量的 2%，生活用水 844.5 亿m3．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）根据材料画适当的统计图，直观地表示 2015∼2017 年我国全年水资源总量情况；
（2）2017 年全国生活用水占用水总量的 %，并补全扇形统计图；
（3）2012∼2017 年全国生活用水情况统计如图所示，根据统计图中提供的信息，
①请你估计 2018 年全国生活用水量为 亿m3，你的预估理由是 ．
②谈谈节约用水如何从我做起?
27. 如图，在直角三角形 ABC 中，∠ACB=90∘．
（1）如图 1，点 M 在线段 CB 上，在线段 BC 的延长线上取一点 N，使得 ∠NAC=∠MAC．过点 B 作 BD⊥AM，交 AM 延长线于点 D，过点 N 作 NE∥BD，交 AB 于点 E，交 AM 于点 F．判断 ∠ENB 与 ∠NAC 有怎样的数量关系，写出你的结论，并加以证明；
（2）如图 2，点 M 在线段 CB 的延长线上，在线段 BC 的延长线上取一点 N，使得 ∠NAC=∠MAC．过点 B 作 BD⊥AM 于点 D，过点 N 作 NE∥BD，交 BA 延长线于点 E，交 MA 延长线于点 F．①依题意补全图形；②若 ∠CAB=45∘，求证：∠NEA=∠NAE．
28. 食品中的维生素含量以及食品加工问题．
维生素又名维他命，通俗来讲，即维持生命的物质，是保持人体健康的重要活性物质，一般由食物中取得．现阶段发现的维生素有几十种，如维生素A、维生素B、维生素C等.
食品加工是一种专业技术，就是把原料经过人为处理形成一种新形式的可直接食用的产品，这个过程就是食品加工．比如用小麦经过碾磨，筛选，加料搅拌，成型烘干，成为饼干，就是属于食品加工的过程．
下表给出了甲、乙、丙三种原料中的维生素A，B的含量（单位：单位/ kg）．
原料甲原料乙原料丙维生素A的含量单位/kg400600400维生素B的含量单位/kg800200400
将甲、乙、丙三种原料共 100 kg 混合制成一种新食品，其中原料甲 x kg，原料乙 y kg．
（1）这种新食品中：原料丙含有 kg，
维生素B的含量是 单位．（用含 x，y 的式子表示）
（2）若这种新食品中，维生素A的含量至少为 44000 单位，维生素B的含量至少为 48000 单位，请你证明：x+y≥50．
29. 在平面直角坐标系 xOy 中，对于给定的两点 P，Q，若存在点 M，使得 △MPQ 的面积等于 1，即 S△MPQ=1，则称点 M 为线段 PQ 的“单位面积点”．
解答下列问题：
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标为 1,0．
（1）在点 A1,2，B−1,1，C−1,−2，D2,−4 中，线段 OP 的“单位面积点”是 ．
（2）已知点 E0,3，F0,4，将线段 OP 沿 y 轴向上平移 tt>0 个单位长度，使得线段 EF 上存在线段 OP 的“单位面积点”，求 t 的取值范围．
（3）已知点 Q1,−2，H0,−1，点 M，N 是线段 PQ 的两个“单位面积点”，点 M 在 HQ 的延长线上，若 S△HMN≥2S△PQN，直接写出点 N 纵坐标的取值范围．
答案
第一部分
1. B
2. C
3. D
4. C
5. B
6. C
7. A
8. C
9. B
10. D
第二部分
11. 40∘
【解析】∵AB=AD，∠BAD=20∘，
∴∠B=12180∘−∠BAD=12180∘−20∘=80∘．
∵∠ADC 是 △ABD 的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=80∘+20∘=100∘．
∵AD=DC．
∴∠C=12180∘−∠ADC=12180∘−100∘=40∘．
12. ma+b=ma+mb
13. 25
14. 40
15.
16. 15
17. 答案不唯一，如：13，36
18.
19. 垂线段最短
【解析】过 D 点引 CD⊥AB 于 C，然后沿 CD 开渠，可使所开渠道最短，根据垂线段最短．
第三部分
20. 35−5+23+∣−23∣+π−30=35−5−23+23+1=25+1.
21. 去分母，得
22x+2−33x+1>6.
去括号，得
4x+4−9x−3>6.
移项，得
4x−9x>6−4+3.
合并同类项，得
−5x>5.
系数化 1，得
x<−1.
把解集表示在数轴上，如图所示．
22. ab+2ab−2+a2b2+4ab÷ab=a2b2−4+ab+4=a2b2+ab.
当 a=10，b=15 时，
原式=102×152+10×15=6.
23. （1） 平面直角坐标系如图所示．
（2） △DEF 如图所示．
（3） 3,−2 或 3,−6
24. （1） ∵∠EDO 与 ∠1 互余，
∴∠EDO+∠1=90∘，
∵OC⊥OD，
∴∠COD=90∘，
∴∠EDO+∠1+∠COD=180∘，
∴∠EDO+∠AOD=180∘，
∴ED∥AB．
（2） 补全图形，如图所示：
∵ED∥AB，
∴∠AOF=∠OFD=70∘，
∵OF 平分 ∠COD，
∴∠COF=12∠COD=45∘，
∴∠1=∠AOF−∠COF=25∘．
25. （1） x+y=20,12x+8y=180
解得 x=5,y=15.
（2） A工程队在整修河道中修整的米数；B工程队在整修河道中工作的天数．
补全方程组 x+y=180,x12+y8=20.
26. （1） 2015∼2017 年我国全年水资源总量统计图．
（2） 14
（3） ① 870；根据 2012∼2017 全国生活用水量统计图，发现从 2014 年开始，生活用水量大约呈直线上升，年平均增长量为 844.5−821.5+821.5−793.4+793.4−768÷3=25.5亿m3，844.5+25.5=870亿m3
②答案不唯一，例如，洗衣服的水用来拖地．
27. （1） 猜想：∠ENB=∠NAC．
理由如下：如图 1，
∵BD⊥AM，
∴∠ADB=90∘．
∵NE∥BD，
∴∠NFD=∠ADB=90∘．
∵∠ACB=90∘，
∴∠1+∠AMC=∠2+∠AMC=90∘，
∴∠1=∠2．
∵∠3=∠1，
∴∠2=∠3．
即 ∠ENB=∠NAC．
（2） ①补全图形如图 2 所示．
②同理可证 ∠ENB=∠NAC．
∵ 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，∠CAB=45∘，
∴∠ABC=45∘，
∴∠ABM=135∘，
∴∠NEA=∠ABM−∠ENB=135∘−∠ENB．
∵∠EAN=∠EAB−∠NAC−∠CAB=135∘−∠NAC，
∴∠NEA=∠NAE．
28. （1） 100−x−y；400x−200y+40000
（2） 因为 400x+600y+400100−x−y≥44000，
所以 y≥20．
因为 400x−200y+40000≥48000，
所以 2x−y≥40．
所以 2x−y+3y≥100．
所以 x+y≥50．
29. （1） A，C
（2） 设 G 是线段 OP 的“单位面积点”，则 G 的纵坐标为 2 或 −2．
当 OP 沿 y 轴向上平移 tt>0 个单位长度时，
此时“单位面积点”G 的纵坐标为 2+t 或 −2+t，
分两种情况：
当 G 的纵坐标为 2+t 时，
若线段 EF 上存在 OP 的“单位面积点”，
则有 3≤2+t≤4，
∴1≤t≤2．
当 G 的纵坐标为 −2+t 时，
若线段 EF 上存在 OP 的“单位面积点”，
则有 3≤−2+t≤4．
∴5≤t≤6．
综上，1≤t≤2 或 5≤t≤6．
（3） 当 xN=0 时，yN≤−1−2 或 yN≥−1+2；
当 xN=2 时，yN≤−3−2 或 yN≥−3+2．
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 8 的立方根等于
A. −2B. 2C. −4D. 4
2. 已知 a
3. 下列计算中，正确的是
A. m2+m4=m6B. m2⋅m4=m8C. 3m2=3m2D. 2m4÷m2=2m2
4. 如果点 P5,y 在第四象限，那么 y 的取值范围是
A. y≤0B. y≥0C. y<0D. y>0
5. 下列运算中，正确的是
A. a+b2=a2+b2B. a−122=a2−a+14
C. a−b2=a2+2ab−b2D. 2a+b2=2a2+2ab+b2
6. 下列命题中，是假命题的是
A. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B. 同旁内角互补，两直线平行
C. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等
D. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
7. 为倡导绿色发展，避免浪费能源，某市准备对居民用电量采用阶梯收费的方法，计划实施三档的阶梯电价：第一档、第二档和第三档的电价分别覆盖全市居民家庭的 80%，15% 和 5%．为了合理确定各档之间的界限，相关部门在该市随机调查了 20000 户居民 6 月份的用电量（单位：kw⋅h），并将收集的样本数据进行排序整理（排序样本），绘制了如下频数分布直方图（每段用电量均含最小值，不含最大值）．根据以上信息，下面有四个推断：
①抽样调查 6 月份的用电量，是因为 6 月份的用电量在一年 12 个月的用电量中处于中等偏上水平；
②在调查的 20000 户居民中，6 月份的用电量的最大值与最小值的差小于 500；
③月用电量小于 160 kw⋅h 的该市居民家庭按第一档电价交费，月用电量不小于 310 kw⋅h 的该市居民家庭按第三档电价交费；
④该市居民家庭月用电量的中间水平（50% 的用户）为 110 kw⋅h．
其中合理的是
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
8. 如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当 ∠2=37∘ 时，∠1 的度数为
A. 37∘B. 43∘C. 53∘D. 54∘
9. 下列调查方式中，合适的是
A. 要了解约 90 万顶救灾帐篷的质量，采用普查的方式
B. 要了解外地游客对旅游景点“新疆民街”的满意程度，采用抽样调查的方式
C. 要保证“神舟七号”飞船成功发射，对主要零部件的检查采用抽样调查的方式
D. 要了解全疆初中学生的业余爱好，采用普查的方式
10. 小刚准备用自己节省的零花钱购买一台 MP4 来学习英语，他已存有 50 元，并计划从本月起每月节省 30 元，直到他至少有 280 元．设 x 个月后小刚至少有 280 元，则可列计算月数的不等式为
A. 30x+50>280B. 30x−50≥280
C. 30x−50≤280D. 30x+50≥280
二、填空题（共9小题；共45分）
11. 如图，在 △ABC 中，AB=AD=DC，∠BAD=20∘，则 ∠C= ．
12. 图中的四边形均为长方形，根据图形，写出一个正确的等式： ．
13. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AD 平分 ∠CAB 交 BC 于点 D．BE⊥AD 于点 E，若 ∠CAB=50∘，则 ∠DBE= ∘．
14. 如图，AB∥CD，CE 交 AB 于 F，∠C=55∘，∠AEC=15∘，则 ∠A= ∘．
15. 七巧板又称智慧板，是中国民间流传的智力玩具，它由七块板组成（如图 1），用这七块板可拼出许多图形（1600 种以上），例如：三角形、平行四边形以及不规则的多边形，它还可以拼出各种人物、动物、建筑等，请你用七巧板中标号为 ①②③ 的三块板（如图 2）经过平移、旋转拼出下列图形（相邻两块板之间无空隙，无重叠；示意图的顶点画在小方格顶点上）：
（1）拼成长方形，在图 3 中画出示意图；
（2）拼成等腰直角三角形，在图 4 中画出示意图．
16. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，平行四边形 ABCD 的四个顶点 A，B，C，D 是整点（横、纵坐标都是整数），则四边形 ABCD 的面积是 ．
17. 若一个整数能表示成 a2+b2（a，b 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如，因为 5=22+12，所以 5 是一个“完美数”．
（1）请你再写一个大于 10 且小于 20 的“完美数” ；
（2）已知 M 是一个“完美数”，且 M=x2+4xy+5y2−12y+k（x，y 是两个任意整数，k 是常数），则 k 的值为 ．
18. 分别观察下列三组图形，并填写表格：
如图 1 所示，在由一些三角形组成的图形中，每条边上都排列了一些点，其中每个图形中所有点的总数记为 Sn，Sn 叫做第 n 个“三角形数”（n 为整数，且 n>1）．类似的也可以用点排出一些“四边形数”，“五边形数”，如图 2，图 3 所示．
（1）请你将第 6 个“三角形数”，第 6 个“四边形数”，第 6 个“五边形数”，填写在上面的表格中；
（2）若第 k 个“三角形数”a，第 k 个“四边形数”为 b，请用含 a，b 的代数式表示第 k 个“五边形数”，并填入表格中．
19. 如图，要把池中的水引到 D 处，可过 D 点作 CD⊥AB 于 C，然后沿 CD 开渠，可使所开渠道最短，试说明设计的依据： ．
三、解答题（共10小题；共130分）
20. 计算：35−5+23+∣−23∣+π−30．
21. 解不等式：2x+23−3x+12>1，并把解集表示在数轴上．
22. 先化简，再求值：ab+2ab−2+a2b2+4ab÷ab，其中 a=10，b=15．
23. 在平面直角坐标系 xOy 中，△ABC 的三个顶点分别是 A−2,0，B0,3，C3,0．
（1）在所给的图中，画出这个平面直角坐标系；
（2）点 A 经过平移后对应点为 D3,−3，将 △ABC 作同样的平移得到 △DEF，画出平移后的 △DEF；
（3）在（2）的条件下，点 M 在直线 CD 上，若 CM=2DM，直接写出点 M 的坐标．
M 点的坐标为 ．
24. 如图，点 O 在直线 AB 上，OC⊥OD，∠EDO 与 ∠1 互余．
（1）求证：ED∥AB；
（2）OF 平分 ∠COD 交 DE 于点 F，若 ∠OFD=70∘，补全图形，并求 ∠1 的度数．
25. 某地需要将一段长为 180 米的河道进行整修，整修任务由A，B两个工程队先、后接力完成．已知A工程队每天整修 12 米，B工程队每天整修 8 米，共用时 20 天．问A，B两个工程队整修河道分别工作了多少天?
（1）以下是甲同学的做法：
设A工程队整修河道工作了 x 天，B工程队整修河道工作了 y 天．
根据题意，得方程组： ．
解得 x=▫,y=▫.
请将甲同学的上述做法补充完整．
（2）乙同学说，本题还有另外一种解法，他列出了不完整的方程组如下：
x+y=▫,x12+y8=▫.
① 在乙同学的做法中，x 表示 ，y8 表示 ；
② 请将乙同学所列方程组补充完整．
26. 阅读下列材料：
2017 年，我国全年水资源总量为 28675 亿m3，2016 年，我国全年水资源总量为 32466.4 亿m3．2015 年，我国全年水资源总量为 27962.6 亿m3，全年平均降水量为 660.8 mm．
我国水资源的消费结构包含工业用水、农业用水、生态用水、生活用水四类．2017 年全国用水总量 6040 亿m3，其中工业用水占用水总量的 22%，农业用水占用水总量的 62%，生态用水占用水总量的 2%，生活用水 844.5 亿m3．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）根据材料画适当的统计图，直观地表示 2015∼2017 年我国全年水资源总量情况；
（2）2017 年全国生活用水占用水总量的 %，并补全扇形统计图；
（3）2012∼2017 年全国生活用水情况统计如图所示，根据统计图中提供的信息，
①请你估计 2018 年全国生活用水量为 亿m3，你的预估理由是 ．
②谈谈节约用水如何从我做起?
27. 如图，在直角三角形 ABC 中，∠ACB=90∘．
（1）如图 1，点 M 在线段 CB 上，在线段 BC 的延长线上取一点 N，使得 ∠NAC=∠MAC．过点 B 作 BD⊥AM，交 AM 延长线于点 D，过点 N 作 NE∥BD，交 AB 于点 E，交 AM 于点 F．判断 ∠ENB 与 ∠NAC 有怎样的数量关系，写出你的结论，并加以证明；
（2）如图 2，点 M 在线段 CB 的延长线上，在线段 BC 的延长线上取一点 N，使得 ∠NAC=∠MAC．过点 B 作 BD⊥AM 于点 D，过点 N 作 NE∥BD，交 BA 延长线于点 E，交 MA 延长线于点 F．①依题意补全图形；②若 ∠CAB=45∘，求证：∠NEA=∠NAE．
28. 食品中的维生素含量以及食品加工问题．
维生素又名维他命，通俗来讲，即维持生命的物质，是保持人体健康的重要活性物质，一般由食物中取得．现阶段发现的维生素有几十种，如维生素A、维生素B、维生素C等.
食品加工是一种专业技术，就是把原料经过人为处理形成一种新形式的可直接食用的产品，这个过程就是食品加工．比如用小麦经过碾磨，筛选，加料搅拌，成型烘干，成为饼干，就是属于食品加工的过程．
下表给出了甲、乙、丙三种原料中的维生素A，B的含量（单位：单位/ kg）．
原料甲原料乙原料丙维生素A的含量单位/kg400600400维生素B的含量单位/kg800200400
将甲、乙、丙三种原料共 100 kg 混合制成一种新食品，其中原料甲 x kg，原料乙 y kg．
（1）这种新食品中：原料丙含有 kg，
维生素B的含量是 单位．（用含 x，y 的式子表示）
（2）若这种新食品中，维生素A的含量至少为 44000 单位，维生素B的含量至少为 48000 单位，请你证明：x+y≥50．
29. 在平面直角坐标系 xOy 中，对于给定的两点 P，Q，若存在点 M，使得 △MPQ 的面积等于 1，即 S△MPQ=1，则称点 M 为线段 PQ 的“单位面积点”．
解答下列问题：
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标为 1,0．
（1）在点 A1,2，B−1,1，C−1,−2，D2,−4 中，线段 OP 的“单位面积点”是 ．
（2）已知点 E0,3，F0,4，将线段 OP 沿 y 轴向上平移 tt>0 个单位长度，使得线段 EF 上存在线段 OP 的“单位面积点”，求 t 的取值范围．
（3）已知点 Q1,−2，H0,−1，点 M，N 是线段 PQ 的两个“单位面积点”，点 M 在 HQ 的延长线上，若 S△HMN≥2S△PQN，直接写出点 N 纵坐标的取值范围．
答案
第一部分
1. B
2. C
3. D
4. C
5. B
6. C
7. A
8. C
9. B
10. D
第二部分
11. 40∘
【解析】∵AB=AD，∠BAD=20∘，
∴∠B=12180∘−∠BAD=12180∘−20∘=80∘．
∵∠ADC 是 △ABD 的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=80∘+20∘=100∘．
∵AD=DC．
∴∠C=12180∘−∠ADC=12180∘−100∘=40∘．
12. ma+b=ma+mb
13. 25
14. 40
15.
16. 15
17. 答案不唯一，如：13，36
18.
19. 垂线段最短
【解析】过 D 点引 CD⊥AB 于 C，然后沿 CD 开渠，可使所开渠道最短，根据垂线段最短．
第三部分
20. 35−5+23+∣−23∣+π−30=35−5−23+23+1=25+1.
21. 去分母，得
22x+2−33x+1>6.
去括号，得
4x+4−9x−3>6.
移项，得
4x−9x>6−4+3.
合并同类项，得
−5x>5.
系数化 1，得
x<−1.
把解集表示在数轴上，如图所示．
22. ab+2ab−2+a2b2+4ab÷ab=a2b2−4+ab+4=a2b2+ab.
当 a=10，b=15 时，
原式=102×152+10×15=6.
23. （1） 平面直角坐标系如图所示．
（2） △DEF 如图所示．
（3） 3,−2 或 3,−6
24. （1） ∵∠EDO 与 ∠1 互余，
∴∠EDO+∠1=90∘，
∵OC⊥OD，
∴∠COD=90∘，
∴∠EDO+∠1+∠COD=180∘，
∴∠EDO+∠AOD=180∘，
∴ED∥AB．
（2） 补全图形，如图所示：
∵ED∥AB，
∴∠AOF=∠OFD=70∘，
∵OF 平分 ∠COD，
∴∠COF=12∠COD=45∘，
∴∠1=∠AOF−∠COF=25∘．
25. （1） x+y=20,12x+8y=180
解得 x=5,y=15.
（2） A工程队在整修河道中修整的米数；B工程队在整修河道中工作的天数．
补全方程组 x+y=180,x12+y8=20.
26. （1） 2015∼2017 年我国全年水资源总量统计图．
（2） 14
（3） ① 870；根据 2012∼2017 全国生活用水量统计图，发现从 2014 年开始，生活用水量大约呈直线上升，年平均增长量为 844.5−821.5+821.5−793.4+793.4−768÷3=25.5亿m3，844.5+25.5=870亿m3
②答案不唯一，例如，洗衣服的水用来拖地．
27. （1） 猜想：∠ENB=∠NAC．
理由如下：如图 1，
∵BD⊥AM，
∴∠ADB=90∘．
∵NE∥BD，
∴∠NFD=∠ADB=90∘．
∵∠ACB=90∘，
∴∠1+∠AMC=∠2+∠AMC=90∘，
∴∠1=∠2．
∵∠3=∠1，
∴∠2=∠3．
即 ∠ENB=∠NAC．
（2） ①补全图形如图 2 所示．
②同理可证 ∠ENB=∠NAC．
∵ 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，∠CAB=45∘，
∴∠ABC=45∘，
∴∠ABM=135∘，
∴∠NEA=∠ABM−∠ENB=135∘−∠ENB．
∵∠EAN=∠EAB−∠NAC−∠CAB=135∘−∠NAC，
∴∠NEA=∠NAE．
28. （1） 100−x−y；400x−200y+40000
（2） 因为 400x+600y+400100−x−y≥44000，
所以 y≥20．
因为 400x−200y+40000≥48000，
所以 2x−y≥40．
所以 2x−y+3y≥100．
所以 x+y≥50．
29. （1） A，C
（2） 设 G 是线段 OP 的“单位面积点”，则 G 的纵坐标为 2 或 −2．
当 OP 沿 y 轴向上平移 tt>0 个单位长度时，
此时“单位面积点”G 的纵坐标为 2+t 或 −2+t，
分两种情况：
当 G 的纵坐标为 2+t 时，
若线段 EF 上存在 OP 的“单位面积点”，
则有 3≤2+t≤4，
∴1≤t≤2．
当 G 的纵坐标为 −2+t 时，
若线段 EF 上存在 OP 的“单位面积点”，
则有 3≤−2+t≤4．
∴5≤t≤6．
综上，1≤t≤2 或 5≤t≤6．
（3） 当 xN=0 时，yN≤−1−2 或 yN≥−1+2；
当 xN=2 时，yN≤−3−2 或 yN≥−3+2．
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