知识讲解_数列的全章复习与巩固_提高

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数列的全章复习与巩固
编稿：李霞 审稿：张林娟
【学习目标】
1．系统掌握数列的有关概念和公式；
2．掌握等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式与前项和公式，并运用这些知识解决问题；
3．了解数列的通项公式与前项和公式的关系，能通过前项和公式求出数列的通项公式；
4．掌握常见的几种数列求和方法.

【知识网络】
数列的通项
通项公式
等差中项
前n项和公式
等差数列
性质
通项公式
等比中项
前n项和公式
等比数列
性质
数列
数列前n项和
数列的递推公式

应



用















【要点梳理】
要点一：数列的通项公式
数列的通项公式
一个数列的第n项与项数n之间的函数关系，如果可以用一个公式来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式.
要点诠释：
①不是每个数列都能写出它的通项公式.如数列1，2，3，―1，4，―2，就写不出通项公式；
②有的数列虽然有通项公式，但在形式上又不一定是唯一的.如：数列―1，1，―1，1，…的通项公式可以写成，也可以写成；
③仅仅知道一个数列的前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的.
通项与前n项和的关系：
任意数列的前n项和；

要点诠释：
由前n项和求数列通项时，要分三步进行：
（1）求，
（2）求出当n≥2时的，
（3）如果令n≥2时得出的中的n=1时有成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式.
数列的递推式：
如果已知数列的第一项或前若干项，且任一项与它的前一项或前若干项间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，简称递推式.
要点诠释：
利用递推关系表示数列时，需要有相应个数的初始值，可用凑配法、换元法等.
要点二：等差数列
判定一个数列为等差数列的常用方法
①定义法：（常数）是等差数列；
②中项公式法：是等差数列；
③通项公式法：（p，q为常数）是等差数列；
④前n项和公式法：（A，B为常数）是等差数列.
要点诠释：对于探索性较强的问题，则应注意从特例入手，归纳猜想一般特性.
等差数列的有关性质：
（1）通项公式的推广：
（2）若，则；
特别，若，则
（3）等差数列中，若.
（4）公差为d的等差数列中，连续k项和，… 组成新的等差数列.
（5）等差数列，前n项和为
①当n为奇数时，；；；
②当n为偶数时，；；.
（6）等差数列，前n项和为，则（m、n∈N*，且m≠n）.
（7）等差数列中，若m+n=p+q（m、n、p、q∈N*，且m≠n，p≠q），则.
（8）等差数列中，公差d，依次每k项和：，，成等差数列，新公差.
等差数列前n项和的最值问题：
等差数列中
①若a1＞0，d＜0，有最大值，可由不等式组来确定n；
②若a1＜0，d＞0，有最小值，可由不等式组来确定n，也可由前n项和公式来确定n.
要点诠释：等差数列的求和中的函数思想是解决最值问题的基本方法.
要点三 ：等比数列
判定一个数列是等比数列的常用方法
（1）定义法：（q是不为0的常数，n∈N*）是等比数列；
（2）通项公式法：（c、q均是不为0的常数n∈N*）是等比数列；
（3）中项公式法：（，）是等比数列.
等比数列的主要性质：
（1）通项公式的推广：
（2）若，则.
特别，若，则
（3）等比数列中，若.
（4）公比为q的等比数列中，连续k项和，… 组成新的等比数列.
（5）等比数列，前n项和为，当n为偶数时，.
（6）等比数列中，公比为q，依次每k项和：，，…成公比为qk的等比数列.
（7）若为正项等比数列，则（a＞0且a≠1）为等差数列；反之，若为等差数列，则（a＞0且a≠1）为等比数列.
（8）等比数列前n项积为，则
等比数列的通项公式与函数：

①方程观点：知二求一；
②函数观点：
时，是关于n的指数型函数；
时，是常数函数；
要点诠释：
当时，若，等比数列是递增数列；若，等比数列是递减数列；
当时，若，等比数列是递减数列；若，等比数列是递增数列；
当时，等比数列是摆动数列；
当时，等比数列是非零常数列.
要点四：常见的数列求和方法
公式法：
如果一个数列是等差数列或者等比数列，直接用其前n项和公式求和.
分组求和法：
将通项拆开成等差数列和等比数列相加或相减的形式，然后分别对等差数列和等比数列求和.如：an=2n+3n.
裂项相消求和法：
把数列的通项拆成两项之差，正负相消，剩下首尾若干项的方法.一般通项的分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式.
若，分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式,
则，如an=
错位相减求和法：
通项为非常数列的等差数列与等比数列的对应项的积的形式：, 其中 是公差d≠0等差数列，是公比q≠1等比数列，如an=(2n-1)2n.
一般步骤：
，则

所以有
要点诠释：求和中观察数列的类型，选择合适的变形手段，注意错位相减中变形的要点.
要点五：数列应用问题
数列应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.
建立数学模型的一般方法步骤.
①认真审题，准确理解题意，达到如下要求：
⑴明确问题属于哪类应用问题；
⑵弄清题目中的主要已知事项；
⑶明确所求的结论是什么.
②抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达.
③将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，据题意列出满足题意的数学关系式（如函数关系、方程、不等式）.
要点诠释：数列的建模过程是解决数列应用题的重点，要正确理解题意，恰当设出数列的基本量.
【典型例题】
类型一：数列的概念与通项
例1．写出数列：，，，，……的一个通项公式.
【思路点拨】从各项符号看，负正相间，可用符号表示；数列各项的分子：1，3，5，7，……是个奇数列，可用表示；数列各项的分母：5，10，17，26，……恰是,, ,,…可用表示.
【解析】通项公式为：.
【总结升华】
①求数列的通项公式就是求数列中第项与项数之间的数学关系式.如果把数列的第1，2，3，…项分别记作，，，…，那么求数列的通项公式就是求以正整数(项数)为自变量的函数的表达式；
②通项公式若不要求写多种形式，一般只写出一个常见的公式即可；
③给出数列的构造为分式时，可从各项的符号、分子、分母三方面去分析归纳，还可联想常见数列的通项公式，以此参照进行比较.
举一反三：
【变式1】已知数列则是此数列中的（ ）
A. 第48项　　　 B. 第49项 C. 第50项　　 D. 第51项
【答案】C
将数列分为第1组1个，第2组2个，…，第组n个，，，，，
则第n组中每个数的分子分母的和为n＋1，则为第10组中的第5个，其项数为(1＋2＋3＋＋9)＋5＝50. 故选C.
【变式2】根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想其通项公式：
（1）
(2)
【答案】
（1），
猜想得.
(2)a1=a,a2=,a3=,a4=，
猜想得an=.
类型二：等差、等比数列概念及其性质的应用
例2. 在和之间插入个正数，使这个数依次成等比数列，求所插入的个数之积；
【解析】
方法一：设插入的个数为，且公比为，则
∴，（）

方法二：设插入的个数为，，

，，

【总结升华】第一种解法利用等比数列的基本量、，先求公比，后求其它量，这是解等差数列、等比数列的常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是有时计算较繁；第二种解法利用等比数列的性质，与“首末项等距”的两项积相等，这在解题中常用到.
举一反三：
【变式1】如果一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32：27，求公差.
【答案】设等差数列首项为，公差为d，则

【变式2】已知：三个数成等比数列，积为216，若第二个数加上4，则它们构成一个等差数列,求这三个数.
【答案】这三个数为2，6，18或18，6，2.
例3.设是等差数列的前n项和，若，则等于( )
A． B． C． D．
【思路点拨】利用等差数列的性质来解：等差数列中， ，，也成等差数列.
【解析】由题意知，，，成等差数列，
由已知得，故公差为，
所以，故，，故，
所以．故选A。
【总结升华】等差等比数列的性质是高考命题的热点，熟练掌握它们的性质并灵活运用，能使问题简洁.
举一反三：
【变式】 已知等差数列，, , 则（　 ）
A.125　　 B.175　　C.225　　D.250
【答案】C
方法一：∵为等差数列，
∴,,成等差数列，即
∴，
解得，∴选C.
方法二：取特殊值（适用选择题）：令，由题意可得,,
∴，，
∴,
∴选C.
方法三：,,
两式相减可得，
∴.
∴选C.
例4．等差数列中，,，该数列前多少项的和最小？
【思路分析】等差数列的通项是关于n的一次式，前n项和是关于n的二次式（缺常数项）. 求等差数列的前n项和的最大最小值可用解决二次函数的最值问题的方法.
【解析】设等差数列的公差为d，则由题意有：
化简得，，

有最小值。
又或时，取最小值.
【总结升华】前n项和是关于n的二次式（缺常数项），当时，有最小值；当时，有最大值
举一反三：
【变式1】等差数列中，,，则它的前__ 项和最大，最大项的值是____.
【答案】7，49
设公差为d, 由题意得3a1+d=11a1+d，得d=-2,
∴有最大值.
又S3=S11,可得n==7，
∴S7为最大值，即S7=7×13+(-2)=49.
【变式2】若数列{an}是等差数列，数列{bn}满足bn=an·an+1·an+2(n∈N)，{bn}的前n项和用Sn表示，若{an}中满足3a5=8a12>0，试问n多大时，Sn取得最大值，证明你的结论.
【答案】∵3a5=8a12>0，∴3a5=8(a5+7d),解得a5=-d>0
∴d0，a17a2>…>a16>0>a17>a18>…
于是b1>b2>…>b14>0>b17>b18>……
而b15=a15·a16·a170
∴S14>S13>…>S1 ,S14>S15，S150，a18=d