知识讲解_几何概型_提高练习题

几何概型

【学习目标】

1.了解几何概型的概念及基本特点；

2.熟练掌握几何概型中概率的计算公式；

3.会进行简单的几何概率计算；

4.能运用模拟的方法估计概率，掌握模拟估计面积的思想.

【要点梳理】

要点一、几何概型

1.几何概型的概念：

对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型.

2.几何概型的基本特点：

(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；

(2)每个基本事件出现的可能性相等.

3.几何概型的概率：

一般地，在几何区域中随机地取一点，记事件＂该点落在其内部一个区域内＂为事件，则事件发生的概率.

说明：

(1)的测度不为；

(2)其中＂测度＂的意义依确定，当分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的＂测度＂分别是长度，面积和体积.

(3)区域为＂开区域＂；

(4)区域内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关.

要点诠释：

几种常见的几何概型

(1)设线段是线段L的一部分，向线段L上任投一点，若落在线段上的点数与线段的长度成正比，而与线段在线段L上的相对位置无关，则点落在线段上的概率为：

P=的长度/L的长度

(2)设平面区域g是平面区域G的一部分，向区域G上任投一点，若落在区域g上的点数与区域g的面积成正比，而与区域g在区域G上的相对位置无关，则点落在区域g上概率为：

P=g的面积/G的面积

(3)设空间区域上v是空间区域V的一部分，向区域V上任投一点，若落在区域v上的点数与区域v的体积成正比，而与区域v在区域V上的相对位置无关，则点落在区域v上的概率为：

P=v的体积/V的体积

要点二、均匀随机数的产生

1.随机数的概念

随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的.它可以帮助我们模拟随机试验，特别是一些成本高、时间长的试验，用随机模拟的方法可以起到降低成本，缩短时间的作用.

2.随机数的产生方法

(1)实例法.包括掷骰子、掷硬币、抽签、转盘等.

(2)计算器模拟法.现在大部分计算器的RAND函数都能产生0～1之间的均匀随机数.

(3)计算机软件法.几乎所有的高级编程语言都有随机函数，借用随机函数可以产生一定范围的随机数.

要点诠释：

1.在区间[a，b]上的均匀随机数与整数值随机数的共同点都是等可能取值，不同点是均匀随机数可以取区间内的任意一个实数，整数值随机数只取区间内的整数.

2.利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题，体现了数学知识的应用价值.

3.用随机模拟试验不规则图形的面积的基本思想是：构造一个包含这个图形的规则图形作为参照，通过计算机产生某区间内的均匀随机数，再利用两个图形的面积之比近似等于分别落在这两个图形区域内的均匀随机点的个数之比来解决.

4.利用计算机和线性变换Y=X*(b-a)＋a，可以产生任意区间[a，b]上的均匀随机数.

【典型例题】

类型一：与长度有关的几何概型问题

例1．假设车站每隔10分钟发一班车，随机到达车站，问等车时间不超过3分钟的概率 ？

【思路点拨】以两班车出发间隔( 0，10 )区间作为样本空间 S，乘客随机地到达，即在这个长度是10 的区间里任何一个点都是等可能地发生，因此是几何概率问题.

【答案】0.3

【解析】 记“等车时间不超过3分钟”为事件，要使得等车的时间不超过 3 分钟，即到达的时刻应该是图中包含的样本点，

P=== 0.3 .

【总结升华】在本例中，到站等车的时刻X是随机的，可以是0到60之间的任何一刻，并且是等可能的，我们称X服从[0，60]上的均匀分布，X为[0，60]上的均匀随机数.

举一反三：

【变式1】 某汽车站每隔15 min有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间大于10 min的概率．

 【答案】

【解析】  设上一辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻T2到达，线段T1T2的长度为15，设T是线段T1T2上的点，且T1T=5，T2T=10，如图所示．

    记“等车时间大于10 min”为事件A，则当乘客到达车站的时刻t落在线段T1T上时，事件A发生，区域T1T2的长度为15，区域T1T的长度为5．

    ∴．

    即乘客等车时间大于10 min的概率是．

【变式2】在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率为（    ）．

    A．    B．    C．    D．

【答案】C

【变式3】某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率．

【答案】

 【解析】  因为电台每隔1小时报时一次，他在0到60之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，所以他在哪个时段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，这符合几何概型的条件，因此，可以通过几何概型的概率公式得到事件发生的概率．

    于是，设A={等待报时的时间不多于10分钟}．事件A是打开收音机的时刻位于50～60的时间段内，因此由几何概型求概率的公式得．

    即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为．

类型二：与面积有关的几何概型问题

【高清课堂：几何概型 例4】

例2．两人约定在20∶00到21∶00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20∶00至21∶00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率．

【思路点拨】两人不论谁先到最多只等40分钟，设两人到的时间分别为x、y，则当且仅当时，两人才能见面，所以此问题转化为面积性几何概型问题。

【答案】

   【解析】 设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人能在约定时间范围内相见，当且仅当

两人到达约见地点所有时刻(x，y)的各种可能结果可用图中的单位正方形内(包括边界)的点来表示，两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻(x，y)的各种可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)来表示．

因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，因此所求的概率为：

【总结升华】  此类问题的难点是把两个时间分别用x，y表示，构成平面内的点（x，y），从而把时间这个一维长度问题转化为平面图形的二维面积问题，从而转化成面积型几何概率问题．

举一反三：

  【变式1】 平面上画了一些彼此相距的平行线，把一枚半径的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率．

【答案】

【解析】把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件，为了确定硬币的位置，由硬币中心向靠得最近的平行线引垂线，垂足为，如图所示，这样线段长度（记作）的取值范围就是，只有当时硬币不与平行线相碰，所以所求事件的概率就是

=

【变式2】甲、乙两人相约上午10点到1l点在某地会面，先到者等候另一人15分钟，过时就离去，那么这两个人见面的机会多大？

   【答案】

    【解析】两个人要想见面，一个人先到达后必须等待一段时间，设x，y分别表示甲、乙到达会面地点的时间，若甲先到需等15分钟，若乙先到也需等15分钟，两个人能见面必须满足|x－y|≤15．由于每个人到达地点的时间是任意的，所以在边长为60的正方形内的每一点都是等可能的，所求问题就转化为面积型的几何概型．

    如图，能见面的点的区域用阴影表示．记“两个人见面”为事件A，根据几何概型。得

    ．

    所以两个人见面的机会是．

【变式3】（2015 贵州遵义一模）已知二次函数．

    （1）若a=1，b∈[－1，1]，求函数y=f（x）在[1，+∞）上是增函数的概率；

（2）设（a，b）是区域内的随机点，求函数y=f（x）在[1，+∞）上的增函数的概率．

【思路点拨】（1）求出函数y=f（x）在[1，+∞）上是增函数的b的范围，利用区域长度比求概率．

（2）画出区域，求出满足条件的区域面积，利用面积比求概率．

【答案】（1）；（2）

【解析】函数y=f（x）在[1，+∞）上是增函数，则a＞0且，即a＞0且a≥2b；

    （1）因为a=1，则时，函数f（x）为增函数

所以函数y=f（x）在[1，+∞）上是增函数的概率；

（2）由（1）知当且仅当a≥2b，且a＞0时，函数在区间[1，+∞）上为增函数，

依条件可知实验的全部结果所构成的区域为不等式组所表示的平面区域．

构成所求事件的区域为图中的阴影部分．

由，得交点的坐标为，故所求事件的概率为．

类型三：与体积有关的几何概型问题

例3．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，在正方体内随机取点M．

    （1）求M落在三棱柱ABC—A1B1C1内的概率；

    （2）求M落在三棱锥B—A1B1C1内的概率；

    （3）求M与面ABCD的距离大于的概率；

    （4）求M与面ABCD及面A1B1C1D1的距离都大于的概率；

（5）求使四棱锥M—ABCD的体积小于的概率．

【思路点拨】此题是几何概型问题，求各部分的体积比即可。

【答案】（1）（2）（3）（4）（5）

    【解析】正方体的体积为V=a3．

    （1）∵，∴所求概率．

    （2）∵，∴所求概率．

    （3）．

    （4）．

    （5）设M到面ABCD的距离为h，则，而，∴．∴．

【总结升华】  求体积时要注意选择适当的底，以使计算方便，本题综合考查了立体几何的体积计算及几何概型的计算．

举一反三：

【变式1】已知正三棱锥S—ABC的底面边长为a，高为h，在正三棱锥内取点M，试求点M到底面的距离小于的概率．

【答案】

【解析】如图，在SA、SB、SC上取点A1、B1、C1，使A1、B1、C1分别为SA、SB、SC的中点，则当点M位于面ABC和面A1B1C1之间时，点M到底面的距离小于．

    设△ABC的面积为S，由△ABC∽△A1B1C1且相似比为2，得△A1B1C1的面积为．

由题意，三棱锥S—ABC的体积为，三棱台A1B1C1—ABC的体积为

．∴．

【变式2】在线段[0，1]上任意投三个点，问由0至三点的三线段，能构成三角形与不能构成三角形这两个事件中哪一个事件的概率大.

【答案】

【解析】设O到三点的三线段长分别为x，y，z，即相应的右端点坐标为x，y，z，显然，这三条线段构成三角形的充要条件是：.

在线段[0，1]上任意投三点x，y，z与立方体 ，，中的点一一对应，可见所求“构成三角形”的概率，等价于x边长为1的立方体T中均匀地掷点，而点落在区域中的概率；这也就是落在图中由△ADC，△ADB，△BDC，△AOC，△AOB，△BOC所围成的区域G中的概率.由于 ，

由此得，能与不能构成三角形两事件的概率一样大.

类型四：几何概型问题在实际中的应用

例4．（2015 成都武侯区模拟）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树的棵数；乙组有一个数据模糊，用X表示．

（1）若x=8，求乙组同学植树的棵数的平均数；

（2）若x=9，分别从甲、乙两组中各随机录取一名学生，求这两名学生植树总棵数为19的概率；

（3）甲组中有两名同学约定一同去植树，且在车站彼此等候10分钟，超过10分钟，则各自到植树地点再会面．一个同学在7点到8点之间到达车站，另一个同学在7点半到8点之间到达车站，求他们在车站会面的概率．

【思路点拨】（1）直接根据平均数、方差、标准差的定义求出乙组同学植树棵数的平均数和标准差．

（2）当X=9时，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能，而这两名同学的植树总棵数为19的情况有2+2=4种，由此求得两名同学的植树总棵树为19的概率．

（3）由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是Ω={（x，y）｜7≤x≤8，7.5≤y≤8}，做出事件对应的集合表示的面积，写出满足条件的事件是A={（x，y）｜7≤x≤8，7.5≤y≤8，}，算出事件对应的集合表示的面积，根据几何概型概率公式得到结果．

【解析】（1）

（2）当x=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是：9，9，11，11，

乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10．

分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共4×4=16种可能，

其中满足这两名同学的植树总棵数为19的情况有2+2=4种，

这两名同学的植树总棵数为19的概率等于

（3）由题意知本题是一个几何概型，

试验包含的所有事件是Ω={（x，y）｜7≤x≤8，7.5≤y≤8}

事件对应的集合表示的面积是s=0.5，

满足条件的事件是A={（x，y）｜7≤x≤8，7.5≤y≤8，}

事件对应的集合表示的面积是，

∴他们在车站会面的概率为

【总结升华】本题主要考查等可能事件的概率，茎叶图、平均数，几何概型问题，一般要通过把试验发生包含的事件同集合结合起来，根据集合对应的图形做出面积，用面积的比值得到结算．

举一反三：

【变式1】甲和乙都为货运公司工作，由于工作需要，他们都使用对讲机.他们的对讲机的接收范围为25公里，在下午3：0O时甲正在基地正东距基地30公里以内的某处向基地行驶，而乙在下午3：00时正在基地正北距基地40公里以内的某地向基地行驶，试问在下午3：0O时他们能够通过对讲机交谈的概率有多大？

【答案】0.41

【解析】设x和y分别代表甲和乙距基地的距离，

于是

则他俩所有可能的距离的数据构成有序点对(x，y)，这里x，y都在它们各自的限制范围内，则所有这样的有序数对构成的集合即为基本事件组对应的几何区域，每一个几何区域中的点都代表甲和乙的一个特定的位置，他们可以通过对讲机交谈的事件仅当他们之间的距离不超过25公里时发生(如图)，因此构成该事件的点由满足不等式的数对组成，此不等式等价于

右图中的方形区域代表基本事件组，阴影部分代表所求事件，方形区域的面积为1200平方公里，而事件的面积为，于是有.

类型五：用随机模拟的方法求几何概型问题的概率

例5．现向如图所示正方形内随机地投掷飞镖，求飞镖落在阴影部分的概率，阴影部分由直线6x－3y－4=0和正方形围成．

  【解析】记事件A={飞镖落在阴影部分}．

    （1）用计算机或计算器产生两组[0，1]上的均匀随机数，x1=RAND，y1=RAND．

    （2）经过平移和伸缩变换，x=(x1－0.5)*2，y=(y1－0.5)*2得到两组[－1，1]上的均匀随机数．

    （3）统计试验总次数N及落在阴影部分的点数N1[满足6x－3y－4＞0的点（x，y）的个数]．

    （4）计算频率即为飞镖落在阴影部分的概率的近似值．

   举一反三：

【变式1】

用随机模拟的方法近似计算边长为2的正方形内切圆面积，并估计的近似值.

【解析】

(1)利用计算机产生两组上的均匀随机数，.

(2)进行平移和伸缩变换，，得到两组上的均匀随机数.

(3)统计试验总次数和点落在圆内的次数.

(4)计算频率即为点落在圆内的概率近似值.

(5)设圆面积为，则由几何概率公式得.

∴，则即为圆面积的近似值.又∵.∴即为圆周围率的近似值.