知识讲解_随机事件的概率_基础练习题

随机事件的概率

【学习目标】

1.了解必然事件，不可能事件，随机事件的概念；

2.正确理解事件A出现的频率的意义；

3.正确理解概率的概念和意义，明确事件A发生的频率fn(A)与事件A发生的概率P(A)的区别与联系.

【要点梳理】

要点一、随机事件的概念

在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件.

(1)必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称必然事件；

(2)不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称不可能事件；

确定事件：必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称确定事件.

(3)随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称随机事件.

要点诠释：

1.随机事件是指在一定条件下出现的某种结果，随着条件的改变其结果也会不同，因此强调同一事件必须在相同的条件下进行研究；

2.随机事件可以重复地进行大量实验，每次的实验结果不一定相同，但随着实验的重复进行，其结果呈现规律性.

要点二、随机事件的频率与概率

1．频率与频数

在相同条件下重复次试验，观察某一事件A是否出现，称次试验中事件A出现的次数为事件A出现的频数，称事件A出现的比例为事件A出现的频率。

2．概率

事件A的概率：在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A).

由定义可知0≤P(A)≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0.

要点诠释：

（1）概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小. 求事件A的概率的前提是：大量重复的试验，试验的次数越多，获得的数据越多，这时用来表示越精确。

（2）任一事件A的概率范围为，可用来验证简单的概率运算错误，即若运算结果概率不在范围内，则运算结果一定是错误的.

3．概率与频率的关系

（1）频率是概率的近似值。

随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率，在实际问题中，事件的概率未知时，常用频率作为它的估计值。

（2）频率是一个随机数

频率在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到的频率可能相同也可能不同。

（3）概率是一个确定数

概率是客观存在的，与每次试验无关。

（4）概率是频率的稳定值

随着试验次数的增加，频率就会逐渐地稳定在区间[0，1]中的某个常数上，这个常数就是概率。

要点三、事件间的关系

(1)互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；

(2)对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做对立事件；

(3)包含：事件A发生时事件B一定发生，称事件A包含于事件B(或事件B包含事件A)；

要点诠释：

从集合角度理解互斥事件为两事件交集为空，对立事件为两事件互补.

若两事件A与B对立，则A与B必为互斥事件，而若事件A与B互斥，则不一定是对立事件.

“对立”只能是两个事件之间的关系，不会出现多个事件之间相互“对立”.

要点四、事件间的运算

(1)并事件(和事件)

若某事件的发生是事件A发生或事件B发生，则此事件称为事件A与事件B的并事件.

注：当A和B互斥时，事件A+B的概率满足加法公式：

P(A+B)=P(A)+P(B)(A、B互斥)；且有P(A+)=P(A)+P()=1.

(2)交事件(积事件)

若某事件的发生是事件A发生和事件B同时发生，则此事件称为事件A与事件B的交事件.

要点诠释：

(1)在应用互斥事件的概率加法公式时，需先判断相关事件是否互斥，特别是在两事件中有一个或两个是由多个事件组成的并事件时，需仔细分清并事件中的每一事件是否都与另一事件互斥.在不互斥的事件中应用互斥事件的概率加法公式是本部分易错点之一.

（2）在求某些稍复杂的事情的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和，二是先求此事件的对立事件的概率.

（3）“对立”更多的是一种解题思想，若某个事件的概率不易求解，而其对立事件的概率较易求，则应从其对立事件的概率入手求解，以提高解决问题的效率.“对立”思想推广开来即数学中的“正难则反”的思想，若从某个角度解决问题较复杂，不妨考虑其对立面，往往有较好的效果，如反证法的应用等.

要点五、概率的性质

(1)任一事件A的概率有：；

(2)必然事件B的概率P(B)=1；

(3)不可能事件C的概率P(C)=0.

要点诠释：

概率性质的掌握可以类比频率的性质与概率的关系.

【典型例题】

类型一：必然事件、随机事件、不可能事件的判定

例1．指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件．

    （1）“天上有云朵，下雨”；

    （2）“在标准大气压下且温度高于0℃时，冰融化”；

    （3）“某人射击一次，不中靶”；

    （4）“如果a＞6，那么a－b＞0”；

    （5）“掷一枚硬币，出现反面朝上”；

    （6）“从3个次品、1个正品共4个产品中抽取2个产品，抽到的都是正品”；

    （7）“从分别标有1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签”；

    （8）“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”；

    （9）“没有水分，种子发芽”；

（10）“同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上”．

    【解析】（2）、（4）是必然事件，（6）、（9）是不可能事件，（1）、（3）、（5）、（7）、（8）、（10）是随机事件．

    【总结升华】判断一个事件是哪类事件要看两点：一是看条件，二是看结果发生与否，在条件S下事件发生与否是对应于条件S而言的．特别需要指出的是：对于一个事件，如果叙述不明确，则容易导致不同的理解．

举一反三：

【高清课堂：事件与概率400482 例1】

【变式1】下列事件中，不可能事件是( )

A.三角形内角和为180°

B.在同一个三角形中大边对大角

C.锐角三角形中两个内角的和小于90°

D.三角形中任意两边的和大于第三边

【答案】 C.

【解析】“三角形内角和为180°”、“在同一个三角形中大边对大角”、“三角形中任意两边的和大于第三边”都为为必然事件，锐角三角形中两个内角的和大于90°，小于90°为不可能事件.

【变式2】  下列说法中不正确的是（    ）．

    A．不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1

    B．某人射击9次，击中靶3次，则他击中靶的概率为

    C．“直线y=k(x+1)过定点（－1，0）”是必然事件

    D．“将一个骰子抛掷两次，所得点数之和大于7”是随机事件

【答案】B

【解析】

类型二：概率的意义

例2．射手甲中靶的概率是0.9，因此我们认为即使射手甲比较优秀，他射10发子弹也不可能全中，其中必有一发不中，试判断这种认识是否正确．

【答案】不正确

    【解析】射手甲射击一次，中靶是随机事件，他射击10次可以看成是重复做了10次试验，而每次试验的结果都是随机的。所以这10次试验的结果也是随机的．这10次射击可能一次也不中，也可能中一次，二次，…，十次．

    虽然中靶是随机事件，但却具有一定的规律性，概率为0.9是说在大量的重复试验中，中靶的可能性稳定在0.9左右．实际上，他10发子弹全中的概率为0.910≈0.349，这是有可能发生的．

    【总结升华】概率意义上的“可能性”是大量随机事件现象的客观规律，与我们日常所说的“可能”“估计”是不同的．也就是说，单独一次试验结果的不肯定性与大量重复试验积累结果的有规律性，才是概率意义上的“可能性”．事件A的概率是事件A的本质属性．

   举一反三：

    【变式1】试解释下面情况中概率的意义．

    （1）某商场为促进销售，实行有奖销售活动，凡购买其商品的顾客中奖的概率为0.20；

    （2）一生产厂家称，我们厂生产的产品合格的概率是0.98；

    （3）天气预报中预报某地降水的概率为10％．

    【解析】（1）指购买其商品的顾客中奖的可能性是20％．

    （2）指其厂生产的产品合格的可能性是98％．

    （3）该地降水的可能性为10％．

类型三：频率与概率

例3．一个地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下．

    （1）计算男婴出生的频率（保留4位小数）；

    （2）这一地区男婴出生的概率约是多少？

    【答案】(1) 0.5200，0.5173，0.5173，0.5173  (2) 0.517 3

【解析】 （1）男婴出生的频率依次约是：0.5200，0.5173，0.5173，0.5173

    （2）由于这些频率非常接近0.517 3，因此这一地区男婴出生的概率约为0.517 3．

    【总结升华】统计表明：不论哪一个国家，哪一个民族，也不论是何时的统计资料，正常情况下男婴出生率都比女婴稍大一些，男婴出生率约为，本例结果基本符合这一规律．

 举一反三：

【变式1】 某人将一枚硬币连掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，若用A表示正面朝上这一事件，则A的(    )

A.概率为                  B.频率为

C.频率为6                   D.概率接近0.6

【答案】B.

类型四：随即事件的关系

例4.判断下列给出的条件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由.

从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1-10各10张)中任取一张.

(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；

(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；

(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.

【答案】（1）是互斥事件，但不是对立事件（2）既是互斥事件，又是对立事件（3）既不是互斥事件，也不是对立事件

【解析】

(1)是互斥事件，但不是对立事件.

理由：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”与“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件，同时不能保证其中必有一个发生，因为还可能抽出“方块”或“梅花”，因此二者不是对立事件.

(2)既是互斥事件，又是对立事件.

理由：“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生.

(3)既不是互斥事件，也不是对立事件

理由：有可能抽出的牌既是5的倍数，又是点数大于9，如抽得的点数为10的牌.

【总结升华】一定要区分开对立和互斥的定义，互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做对立事件.

举一反三：

【变式1】某战士在打靶中，连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是(   )

 (A)至多有一次中靶 (B)两次都中靶

 (C)两次都不中靶  (D)只有一次中靶

【答案】C

【变式2】把标号为1，2，3，4的四个小球随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一个.事件“甲分得1号球”与事件“乙分得1号球”是(   )

(A)互斥但非对立事件 　　　(B)对立事件

(C)相互独立事件        (D)以上都不对

【答案】A

类型五：随机事件概率的计算

例5．李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来的考试成绩分布：

    经济学院一年级的学生王小慧下学期将修李老师的高等数学课，用已有的信息估计她得以下分数的概率（结果保留到小数点后三位）：

（1）90分以上；（2）60分～69分；（3）60分以上．

【答案】（1）0.067（2）0.140（3）0.892

   【解析】根据公式可计算出修李老师的高等数学课的人数考试成绩在各个段上的频率依次为（总人数为43+182+260+90+62+8=645）：，，，，，．

    用已有的信息可以估计出王小慧下学期修李老师的高等数学课得分的概率如下：

    （1）得“90分以上”记为事件A，则P（A）=0.067；

    （2）得“60分～69分”记为事件B，则P（B）=0.140；

    （3）得“60分以上”记为事件C，则P（C）=0.067+0.282+0.403+0.140=0.892．

【总结升华】随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，它的发生呈现出一定的规律性，可以用事件发生的频率去“测量”，因此可以通过计算事件发生的频率去估算概率．

举一反三：

【变式1】（2015 广东中山二模）从1，2，3，4，5这5个数中任取两数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是（    ）

A．①    B．②④    C．③    D．①③

【思路点拨】分析四组事件：①中表示的是同一个事件，②前者包含后者，④中两个事件都含有同一个事件，只有第三所包含的事件是对立事件．

【答案】C

【解析】∵在①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数中，这两个事件是同一个事件，

在②至少有一个是奇数和两个都是奇数中，至少有一个是奇数包括两个都是奇数，

在③至少有一个是奇数和两个都是偶数中，至少有一个是奇数包括有一个奇数和有两个奇数，同两个都是偶数是对立事件，

在④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数中，都包含一奇数和一个偶数的结果，

∴只有第三所包含的事件是对立事件

故选：C

类型六：互斥事件与对立事件的概率

例6．（2015 湖南衡阳县三模）某市一公交线路某区间内共设置六个站点，分别为，，，，，，现有甲乙两人同时从站点上车，且他们中的每个人在站点（i=1，2，3，4，5）下车是等可能的．

（Ⅰ）求甲在站点下车的概率；

（Ⅱ）甲，乙两人不在同一站点下车的概率．

【思路点拨】（Ⅰ）根据由于甲的下车方法总共有5种，求得甲在站点下车的概率．

（Ⅱ）由于甲，乙两人在同一站点下车的概率为，用1减去此值，即得所求．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）设事件“A=甲在站点下车”，由于甲的下车方法总共有5种，则．

（Ⅱ）设事件“B=甲，乙两人不在同一站点下车”，由于甲，乙两人在同一站点下车的概率为

，则．

举一反三：

 【变式1】盒子里装有6个红球，4个白球，从中任取3个球．设事件A表示“3个球中有1个红球，2个白球”，事件B表示“3个球中有2个红球，1个白球”。已知，，求“3个球中既有红球又有白球”。

【答案】

【解析】 记事件C为“3个球中既有红球又有白球”，则它包含事件A（“3个球中有1个红球，2个白球”）和事件B（“3个球中有2个红球，1个白球”），而且事件A与事件B是互斥的，所以

．

例7．甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，求：

    （1）甲获胜的概率；（2）甲不输的概率．

   【答案】（1）

   【解析】  甲、乙两人下棋，其结果有甲胜、和棋、乙胜三种，它们是互斥事件，甲获胜可看做是“和棋或乙胜”的对立事件．“甲不输”可看做是“甲胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，亦可看做“乙胜”的对立事件．

    （1）“甲获胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率．

    即甲获胜的概率是．

    （2）解法一：设事件A为“甲不输”，可看做是“甲胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以．

    解法二：设事件A为“甲不输”，可看做是“乙胜”的对立事件，所以．

    即甲不输的概率是．

【总结升华】 解决此类问题，首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件和对立事件，再决定使用哪一公式，要避免乱套公式而导致出错．

举一反三：

【变式1】某人射击1次命中7～10环的概率如下表

(1)求射击1次，至少命中7环的概率；

(2)求射击1次，命中不足7环的概率.

【答案】（1）0.9 (2)0.1

【解析】(1)设事件“射击1次，命中k环”为()，那么事件彼此互斥，设“射击1次，至少命中7环”为事件A，根据互斥事件概率加法公式，得

++

；

(2)事件“射击1次，命中不足7环”是事件A“射击1次，至少命中7环”的对立事件，记为；根据对立事件的概率公式，得

答：射击1次，至少命中7环的概率是0.9，射击1次，命中不足7环的概率是0.1.