巩固练习_圆的方程_提高

【巩固练习】

1．圆(x―1)2+y2=1的圆心到直线的距离是（    ）

A．    B．    C．1    D．

2．点P（m2，5）与圆x2+y2=24的位置关系是（    ）

A．点P在圆外    B．点P在圆上    C．点P在圆内    D．不确定

3．曲线关于（   ）

A．直线轴对称      B．直线轴对称   

C．点中心对称     D．点中心对称

4．（2016春 福建期中）若方程x2+y2+2λx+2λy+ 2λ2―λ+1=0表示圆，则λ的取值范围是（    ）

A．（1，+∞）    B．    C．    D．R

5．已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A（1，0），B（5，0），此圆的标准方程为（    ）

A．        B．

C．    D．

6.方程所表示的曲线是（    ）

A．一个圆   B.圆     C． 半个圆     D． 四分之一个圆

7．点P（4，―2）与圆x2+y2=4上任一点连结的中点轨迹方程是（    ）

A．(x―2)2+(y+1)2=1     B．(x―2)2+(y―1)2=4

C．(x―4)2+(y―2)2=1    D．(x―2)2+(y―1)2=1

8. 若直线过圆的圆心，则ab的最大值为(   )

A.    B.    C.4    D.16

9．直线3x+4y-12=0和两坐标轴围成的三角形的外接圆的方程是             .

10．已知圆C的圆心位于第二象限且在直线y=2x+1上，若圆C与两个坐标轴都相切，则圆C的标准方程是________．

11．已知圆x2+y2+kx+2y+k2=0，当该圆面积取得最大值时，圆心坐标为________．

12．设P为圆上的动点，则点P到直线的距离的最小值是           .

13．已知圆O的方程为x2+y2=9，过点A（1，2）作圆的弦，求弦的中点P的轨迹．

14．已知圆C：(x―3)2+(y―4)2=1，点A（0，―1），B（0，1），设P是圆C上的动点，令d=|PA|2+|PB|2，求d的最大值及最小值．

15．（2016 福建龙岩模拟）已知点P到两个顶点M（―1，0），N（1，0）距离的比为

（1）求动点P的轨迹C的方程

（2）过点M的直线l与曲线C交于不同的两点A，B，设点A关于x轴的对称点Q（A，Q两点不重合），证明：点B，N，Q在同一条直线上．

16．（2015年 江苏泰州区一模）已知圆C的圆心在直线y=2x上，且与直线l：x+y+1=0相切于点P（－1，0）．

（Ⅰ）求圆C的方程；

（Ⅱ）若A（1，0），点B是圆C上的动点，求线段AB中点M的轨迹方程，并说明表示什么曲线．

【答案与解析】

1．【答案】A

【解析】  圆(x―1)2+y2=1的圆心为（1，0），由点到直线的距离公式得．

2．【答案】A 

【解析】  因为(m2)2+52=m4+25＞24，所以点P在圆外．

3．D

4．【答案】A

【解析】因为方程x2+y2+2λx+2λy+2λ2―λ+1=0表示圆，

所以D2+E2―4F＞0，

即4λ2+4λ2―4(2λ2―λ+1)＞0，

解不等式得λ＞1，

即λ的取值范围是（1，+∞）．

故选A．

5．【分析】由已知得圆心坐标为（3，0），圆半径，由此能求出圆的方程．

【答案】A

【解析】∵圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A（1，0），B（5，0），

∴圆心坐标为（3，0），圆半径，

∴圆的方程为  ．

故选：A．

【点评】本题考查圆的标准方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．

6．【答案】C

【解析】方程可以等价变形为，

且．

即，且．

所以，方程所表示的曲线是半个圆．

7．【答案】A 

【解析】  设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则，，代入x2+y2=4，得(2x―4)2+(2y+2)2=4，化简得(x―2)2+(y+1)2=1．

8. 【答案】B

【解析】圆心为(-1，-1)，所以.则.则.

由于，所以当时，ab取得最大值为.故选B.

9．【答案】   

【解析】直线与两坐标轴的交点是A、B，AB为圆的直径，即AB的中点为圆心，AB长的一半为圆的半径.

10．【分析】与坐标轴相切，所以圆心到两个坐标轴距离相等，结合圆心在y=2x+1上，求出圆心坐标，可得圆的半径，从而可得圆的标准方程．

【答案】

【解析】与坐标轴相切，所以圆心到两个坐标轴距离相等，所以x=y或x=―y，

又圆心在y=2x+1上，

若x=y，则x=y=―1；若x=―y，则，，

所以圆心是（―1，―1），或，

∵圆心位于第二象限，

∴圆心坐标为：，

因为半径就是圆心到切线距离，即到坐标轴距离，

所以，

所以所求圆的标准方程为：，

故答案为：．

11．【答案】（0，―1）

 【解析】  当圆的半径长最大时，圆的面积最大．由x2+y2+kx+2y+k2=0得，

．当k=0时，最大，半径长也最大，此时圆心坐标为（0，―1）．

12．【答案】1

【解析】圆的圆心是O(0，0)，圆心O到直线的距离是，

所以点P到直线的距离的最小值是.故填1.

13．【答案】以为圆心，半径长为的圆

【解析】由垂径定理可知OP⊥PA，故P点的轨迹是以OA为直径的圆．而O（0，0），A（1，2），所以点P的轨迹方程为x2+y2―x―2y=0，点P的轨迹是以为圆心，半径长为的圆．

14．【答案】74，34

【解析】 设点P的坐标为（x0，y0），

∴

    .

问题转化为求点P到原点O的距离的最值，如图，

∵O在圆外，∴|OP|max=|CO|+1=5+1=6,

|PO|min=|CO|―1=5―1=4，

∴dmax=2×62+2=74，dmin=2×42+2=34．

15．【答案】（1）x2+y2―6x+1=0；（2）略

【解析】（1）设P（x，y），则

∵点P到两个顶点M（―1，0），N（1，0）距离的比为，

∴，

整理得x2+y2―6x+1=0，

∴动点P的轨迹C的方程是x2+y2―6x+1=0；

（2）证明：由题意，直线l存在斜率，设为k（k≠0），直线l的方程为y=k（x+1）

代入x2+y2―6x=1=0，

化简得(1+k2)x2+(2k2―6)x+k2+1=0，

Δ＞0，可得―1＜k＜1．

设A（x1，y1），B（x2，y2），则Q（x1，―y1），且x1x2=1，

∴，

∴B，N，Q在同一条直线上．

16．【分析】（Ⅰ）根据题意，可得圆心C（a，b）满足b=a+1且b=2a，解出a=1且b=2．直线l与圆相切，由点到直线的距离公式算出半径，从而可得圆C的方程；

（Ⅱ）设M（x，y）、，由中点坐标公式算出且，代入圆C方程化简即可得到M的轨迹，表示以（1，1）为圆心，为半径的圆．

【解析】（Ⅰ）设圆心C（a，b）半径为r，则有b=2a，

又∵C落在过P且垂直于l的直线y=x+1上，

∴b=a+1，解得a=1，b=2，从而

∴圆C的方程为：

（Ⅱ）设M（x，y），，则有，，

解得，，代入圆C方程得：，

化简得 

表示以（1，1）为圆心，为半径的圆．