【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：双曲线的基本量与方程

这是一份【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：双曲线的基本量与方程，共12页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共26小题；共130分）
1. 若双曲线 x2−y2m=1 的离心率 e∈1,3，则 m 的取值范围为
A. 0,4B. 0,8C. 1,9D. 8,+∞

2. 已知 l1，l2 分别为双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的两条渐近线，且右焦点关于 l1 的对称点在 l2 上，则双曲线的离心率为
A. 2B. 3C. 2D. 5

3. P 是双曲线 x29−y216=1 的右支上一点，M，N 分别是圆 x+52+y2=4 和 x−52+y2=1 上的点，且 ∣PM∣−∣PN∣ 的最大值为
A. 6B. 7C. 8D. 9

4. 过双曲线：C：x2a2−y2b2=1 的右顶点作 x 轴的垂线，与 C 的一条渐近线相交于点 A．若以 C 的右焦点为圆心、半径为 4 的圆经过 A，O 两点（O 为坐标原点），则双曲线 C 的方程为
A. x212−y24=1B. x27−y29=1C. x28−y28=1D. x24−y212=1

5. 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0，过左焦点 F1 的直线切圆 x2+y2=a2 于点 P，交双曲线 C 右支于点 Q，若 F1P=PQ，则双曲线 C 的渐近线方程为
A. y=±xB. y=±2xC. y=±12xD. y=±32x

6. 曲线 x210−m+y26−m=1m<6 与曲线 x25−m+y29−m=15A. 焦距相等B. 离心率相等C. 焦点相同D. 以上都不对

7. 已知双曲线的下、上焦点分别为 F10,−3，F20,3，P 是双曲线上一点且 PF1−PF2=4，则双曲线的标准方程为
A. x24−y25=1B. x25−y24=1C. y24−x25=1D. y25−x24=1

8. 双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的离心率为 3，则其渐近线方程为
A. y=±2xB. y=±3xC. y=±22xD. y=±32x

9. 已知双曲线 x216−y29=1 上的点 P 到 5,0 的距离为 15，则点 P 到点 −5,0 的距离为
A. 7B. 23C. 5 或 25D. 7 或 23

10. 已知双曲线 x2k−y2=1 的一个焦点坐标是 2,0，那么 k 的值为
A. 1B. 3C. 3D. 5

11. 已知点 Px,y 的坐标满足 x−12+y2−x+12+y2=±2，则动点 P 的轨迹是
A. 椭圆B. 双曲线C. 两条射线D. 双曲线的一支

12. 已知双曲线方程为 x2−8y2=32，则
A. 实轴长为 42，虚轴长为 2B. 实轴长为 82，虚轴长为 4
C. 实轴长为 2，虚轴长为 42D. 实轴长为 4，虚轴长为 82

13. 已知双曲线 x2a2−y2b2=1(a>0,b>0) 的一条渐近线方程为 y=3x，且它的一个焦点在抛物线 y2=24x 的准线上，则双曲线的方程为 ( )
A. x227−y29=1B. x236−y2108=1C. x29−y227=1D. x2108−y236=1

14. 曲线 C1:y2=2pxp>0 的焦点 F 恰好是曲线 C2:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的右焦点，且曲线 C1 与曲线 C2 交点连线过点 F，则曲线 C2 的离心率是
A. 2−1B. 2+12C. 6+22D. 2+1

15. 已知双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 与函数 y=xx≥0 的图象交于点 P，若函数 y=x 的图象在点 P 处的切线过双曲线左焦点 F−4,0，则双曲线的离心率是
A. 17+44B. 17+34C. 17+24D. 17+14

16. 已知 Mx0,y0 是双曲线 C:x22−y2=1 上的一点，F1，F2 是 C 的两个焦点．若 MF1⋅MF2<0，则 y0 的取值范围是
A. −33,33B. −36,36
C. −223,223D. −233,233

17. 若双曲线 x2b2−y2b2=1a>b>0 的左右焦点分别为 F1，F2，线段 F1F2 被抛物线 y2=2bx 的焦点分成 7:5 的两段，则此双曲线的离心率为
A. 98B. 63737C. 324D. 31010

18. 设 F 为双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的右焦点，O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆 x2+y2=a2 交于 P，Q 两点，若 ∣PQ∣=∣OF∣，则 C 的离心率为
A. 2B. 3C. 2D. 5

19. 直线 y=bax+3 与双曲线 x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的交点个数是
A. 1B. 2C. 1 或 2D. 0

20. 已知双曲线 x2−ay2=1a>0 的右顶点为 A，而 B，C 是双曲线右支上的两点，若 △ABC 是等边三角形，则实数 a 的取值范围是
A. 03C. 03

21. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C ： x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左焦点为 F，点 M，N 在双曲线 C 上，若四边形 OFMN 为菱形，则双曲线 C 的离心率为
A. 3−1B. 5−1C. 3+1D. 5+1

22. 已知双曲线 x2m2+12+y24m−1=1 的实轴长为 8，则该双曲线的渐近线的斜率为
A. ±74B. ±477C. ±34D. ±43

23. 斜率为 3 的直线与双曲线 x2a2−y2b2=1 恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是
A. 2,+∞B. 2,+∞C. 1,3D. 3,+∞

24. 已知 F1，F2 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且 F1P>F2P，线段 F1P 的垂直平分线过 F2．若椭圆的离心率为 e1，双曲线的离心率为 e2，则 2e1+e22 的最小值为
A. 6B. 3C. 6D. 3

25. △ABC 中，A−5,0，B5,0，点 C 在双曲线 x216−y29=1 上，则 sinA−sinBsinC=
A. 35B. ±35C. −45D. ±45

26. 已知双曲线 C:x216−y248=1 的左、右焦点分别为 F1，F2，P 为双曲线 C 上一点，F1Q=QP，O 为坐标原点．若 PF1=10，则 OQ=
A. 10B. 1 或 9C. 1D. 9

二、选择题（共4小题；共20分）
27. 双曲线 x29−y216=1 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在双曲线上，下列结论正确的是
A. 该双曲线的离心率为 54
B. 该双曲线的渐近线方程为 y=±43x
C. 点 P 到两渐近线的距离的乘积为 14425
D. 若 PF1⊥PF2，则 △PF1F2 的面积为 32

28. 已知双曲线的方程为 x29−y27=1，则下列说法正确的是
A. 焦点为 ±2,0B. 渐近线方程为 7x±3y=0
C. 离心率 e 为 43D. 焦点到渐近线的距离为 144

29. 已知 A，B 两点的坐标分别是 −1,0，1,0，直线 AP，BP 相交于点 P，且两直线的斜率之积为 m，则下列结论正确的是
A. 当 m=−1 时，点 P 的轨迹为圆
B. 当 −1C. 当 0D. 当 m>1 时，点 P 的轨迹为焦点在 x 轴上的双曲线（除去与 x 轴的交点）

30. 已知双曲线 C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的两个顶点分别为 A1−a,0，A2a,0，P，Q 的坐标分别为 0,b，0,−b，且四边形 A1PA2Q 的面积为 22，四边形 A1PA2Q 内切圆的周长为 263π，则双曲线 C 的方程可以为
A. x22−y2=1B. x2−y22=1C. x24−x22=1D. x22−y22=1
答案
第一部分
1. B【解析】易知 m>0，e=1+m，又双曲线 x2−y2m=1 的离心率 e∈1,3，
所以 1<1+m<3，02. C【解析】由题知，双曲线的两条渐近线为 l1:y=bax，l2:y=−bax，
右焦点为 F2c,0，则过 F2 且与 l1 垂直的直线为 y=kx−c，而 k=−ab，
所以 y=−abx−c，
所以 x=−abx−c,y=−bax, x=a2ca2−b2,y=−abca2−b2,
所以中点为 a2ca2−b2+c2,−abc2a2−b2，在 y=bax 上，
整理得 3a2=b2，则又 a2+b2+c2，
故 4a2=c2，
所以 ca=2．
3. D【解析】双曲线 x29−y216=1 中，如图：
因为 a=3，b=4，c=5，
所以 F1−5,0，F25,0，
因为 PF1−PF2=2a=6，
所以 ∣MP∣≤PF1+MF1，∣PN∣≥PF2−NF2，
所以 −∣PN∣≤−PF2+NF2，
所以
∣PM∣−∣PN∣≤PF1+MF1−PF2+NF2=6+1+2=9.
4. D【解析】因为以 C 的右焦点为圆心、半径为 4 的圆经过 A，O 两点（O 为坐标原点），
所以半径 R=c=4，则圆的标准方程为 x−42+y2=16，
设右顶点 Ba,0，y=ba⋅a=b，即 Aa,b，
则 a−42+b2=16，
即 a2+b2−8a=0，
即 c2−8a=0，即 8a=16，
则 a=2，b2=c2−a2=16−4=12，
则双曲线 C 的方程为 x24−y212=1．
5. B
【解析】因为过双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左焦点 F1 作圆 x2+y2=a2 的切线，切点为 P，
所以 ∣OP∣=a，
设双曲线的右焦点为 F2，
因为 P 为线段 F1Q 的中点，
所以 QF2=2a，QF1=2b，
由双曲线的定义知：QF1−QF2=2b−2a=2a，
所以 6=2a，
所以双曲线 C:x2a2−y2b2=a>0,b>0 的渐近线方程为 bx±ay=0，即 2ax±ay=0，
所以 y=±2x．
6. A
7. C【解析】由双曲线的定义可得 c=3，2a=4，则 a=2，b2=c2−a2=9−4=5，且焦点在 y 轴上，所以双曲线的标准方程为 y24−x25=1．
8. A
9. D【解析】设双曲线的左、右焦点分别为 F1，F2．由题意得，F1−5,0，F25,0，则由双曲线的定义知，∣∣PF1∣−∣PF2∣∣=2a=8，而 ∣PF2∣=15，所以 ∣PF1∣=7 或 ∣PF1∣=23．
10. C
【解析】因为双曲线的一个焦点坐标是 2,0，
所以 k+1=4，解得 k=3．
11. B【解析】设 A1,0，B−1,0，则由已知得 ∣∣PA∣−∣PB∣∣=2，即动点 P 到两个定点 A，B 的距离之差的绝对值等于常数 2，又 ∣AB∣=2，且 2<2，所以根据双曲线的定义知，动点 P 的轨迹是双曲线．
12. B【解析】双曲线方程 x2−8y2=32 化为标准方程为 x232−y24=1，可得 a=42，b=2，所以双曲线的实轴长为 82，虚轴长为 4．
13. C
14. D【解析】曲线 C1:y2=2pxp>0 的焦点 Fp2,0，则双曲线的 c=p2，
曲线 C1 与曲线 C2 交点连线 MN 过点 F，
由对称性可得，交线垂直于 x 轴，
令 x=c，代入双曲线方程得，y2=b2c2a2−1=b4a2
解得，y=±b2a．
则 MN=2b2a，
令 x=p2，代入抛物线方程可得，y2=p2，
即 y=±p，
则 MN=2p，
则 2p=2b2a，
即有 b2=2ac=c2−a2，
即有 e2−2e−1=0，
解得，e=1+2．
15. D
【解析】设 P 的坐标为 m,m，m>0，
又左焦点 F−4,0，
函数的导数 yʹ=12x，
则在 P 处的切线斜率 k=yʹ∣x=m=12m=mm+4，
即 m+4=2m，得 m=4，
则 P4,2，设右焦点为 A4,0，
则 2a=∣PF∣−∣PA∣=64+4−0+4=217−1，即 a=17−1，
因为 c=4，
所以双曲线的离心率 e=ca=17+14．
16. A【解析】若 MF1⋅MF2=0，则点 M 在以原点为圆心，半焦距 c=3 为半径的圆上，则 x02+y02=3,x022−y02=1, 解得 y02=13．可知：MF1⋅MF2<0⇒ 点 M 在圆 x2+y2=3 的内部 ⇒y02<13⇒y0∈−33,33．
17. C【解析】因为抛物线 y2=2bx 的焦点 Fb2,0，线段 F1，F2 被抛物线 y2=2bx 的焦点分成 7:5 的两段，
所以 b2+cc−b2=75，
所以 c=3b，
所以 c2=a2+b2=a2+19c2，
所以 c2a2=98．
所以此双曲线的离心率 e=324．
18. A
19. A【解析】由题意可得双曲线的渐近线方程为 y=±bax，
因为直线 y=bax+3 与双曲线的一条渐近线 y=bax 平行，
所以该直线与双曲线只有 1 个交点．
20. D
【解析】如图，
易知 A1,0．
根据双曲线的对称性及 △ABC 是等边三角形，
知直线 BC⊥x 轴，
所以直线 AB 的倾斜角为 30∘，
即 kAB=33，
设直线 AB 的方程为 y=33x−1，
由 y=33x−1,x2−ay2=1,
得 3−ax2+2ax−a−3=0，
根据题意，满足条件的点 B 存在，即方程 3−ax2+2ax−a−3=0 有两个不相等的实数根，其中一个为 1，另一个根为 x0，x0>1，
所以
3−a≠0,Δ=2a2−43−a−a−3>0,−−2a2a−3>1,
解得 a>3．
21. C【解析】由题意可知 ∣OF∣=c，由四边形 OFMN 为菱形，
可得 ∣MN∣=∣OF∣=c，设点 M 在 F 的上方，
可知 M，N 关于 y 轴对称，
可设 M−c2,3c2，代人双曲线方程可得 −c22a2−32c2b2=1，
又由 a2+b2=c2，化简可得 c4+4a4−8a2c2=0，
建立关于 a，b，c 的方程．
两边同除以 a4，可得 e4+4−8c2=0，
进一步转化为关于 e 的方程．
解得 e2=4+23（4−23 舍去），
因为 e>1，
所以 e=4+23=1+32=3+1．
22. C【解析】x2m2+12+y24m−1=1 表示双曲线且 m2+12>0，
所以 4m−1<0，即 m<14．
因为双曲线的实轴长为 8，
所以 2m2+12=8，解得 m=±2，
又 m<14，
所以 m=−2，
所以该双曲线的渐近线的斜率 k=±1−4mm2+12=±916=±34．故选C．
23. B【解析】因为斜率为 3 的直线与双曲线 x2a2−y2b2=1 恒有两个公共点，
所以 ba>3，
所以 e=ca=1+ba2>2，
所以双曲线离心率的取值范围是 2,+∞，
故选B．
24. C【解析】设椭圆长轴长为 2a1，双曲线实轴长为 2a2，不妨设点 P 在第一象限，如图．
由题意可知 ∣F1F2∣=∣F2P∣=2c．
又因为 F1P+F2P=2a1，F1P−F2P=2a2，
所以 F1P+2c=2a1, ⋯⋯①
F1P−2c=2a2, ⋯⋯②
两式相减得 a1−a2=2c．
所以
2e1+e22=2a1c+c2a2=4a1a2+c22ca2=42c+a2a2+c22ca2=8ca2+4a22+c22ca2=4+2a2c+c2a2.
又因为 2a2c+c2a2≥22a2c⋅c2a2=2，当组仅当 2a2c=c2a2，即 c=2a2 时，等号成立，
所以 2e1+e22 的最小值为 6．故选C．
25. D
【解析】在 △ABC 中，sinA=BC2R，sinB=AC2R，sinC=AB2R=102R，R 为 △ABC 外接圆的半径，
所以 sinA−sinBsinC=BC−AC2R102R=BC−AC10．
又因为 BC−AC=±8，
所以 sinA−sinBsinC=±810=±45．
26. D【解析】由双曲线 C:x216−y248=1 可得 a=4，b=43，c=8，则 c−a=4．由双曲线的定义可知，PF1−PF2=2a=8．
因为 PF1=10，
所以 PF2=18 或 PF2=2舍去．
又 P 为双曲线 C 上一点，F1Q=QP，
所以 Q 为线段 PF1 的中点，
所以 OQ=12PF2=9．
故选D．
第二部分
27. B， C
【解析】由题意可知，a=3，b=4，c=5，故离心率 e=53，故A错误；
由双曲线的性质可知，双曲线 x29−y216=1 的渐近线方程为 x29−y216=0，即 y=±43x，B正确；
设 Px,y，则 P 到两渐近线的距离之积为 4x−3y5⋅4x+3y5=16x2−9y225=16×925=14425，C正确；
若 PF1⊥PF2，则 △PF1F2 的面积 S=b2tan45∘=16，D错误．
28. B， C
【解析】由双曲线方程可知 a=3，b=7，c=9+7=4，
所以焦点为 ±4,0，渐近线方程为 y=±bax=±73x，.即 7x±3y=0，
离心率 e=ca=43，
焦点 4,0 到渐近线 7x+3y=0 的距离 d=∣47∣9+7=7．
故选BC．
29. B， D
30. A， B
【解析】四边形 A1PA2Q 的面积为 22，
所以 12×2a×2b=22，得 ab=2．
记四边形 A1PA2Q 内切圆的半径为 r，
则 2πr=263π，得 r=63．
又 4×12cr=22，
所以 c=3．
又因为 c2=a2+b2=3，
得 a=2,b=1 或 a=1,b=2,
所以双曲线 C 的方程为 x22−y2=1 或 x2−y22=1．