【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：双曲线的简单几何性质

这是一份【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：双曲线的简单几何性质，共10页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共26小题；共130分）
1. 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的一条渐近线的倾斜角为 60∘，则双曲线 C 的离心率为
A. 32B. 2C. 3D. 23

2. 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的渐近线方程为 y=±34x，且其一个焦点为 5,0，则双曲线 C 的方程为
A. x29−y216=1B. x216−y29=1C. x23−y24=1D. x24−y23=1

3. 已知双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的焦距为 25，且双曲线的一条渐近线与直线 2x+y=0 垂直，则双曲线的方程为
A. x24−y2=1B. x2−y24=1C. 3x25−3y220=1D. 3x220−3y25=1

4. 已知双曲线的一条渐近线方程为 y=2x，且经过点 2,25，则该双曲线的标准方程为
A. x24−y2=1B. y24−x2=1C. x2−y24=1D. y2−x24=1

5. 双曲线 x2−y2b2=1b>0 的渐近线方程是：y=±22x，则双曲线的焦距为
A. 3B. 6C. 27D. 322

6. 双曲线 4x2+ty2−4t=0 的虚轴长等于
A. 2tB. −2tC. 2−tD. 4

7. 双曲线 x24−y2=1 的焦点到渐近线的距离为
A. 2B. 2C. 1D. 3

8. 已知 P 为双曲线 x24−y2=1 上一点，A−2,0，B2,0，令 ∠PAB=α，∠PBA=β，下列为定值的是
A. tanαtanβB. tanα2tanβ2
C. S△PABtanα+βD. S△PABcsα+β

9. 已知 P 是双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 右支上一点，F1 是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段 PF1 的中垂线，则该双曲线的渐近线方程是
A. y=±33xB. y=±xC. y=±3xD. y=±2x

10. 已知双曲线 x212−y24=1 的右焦点为 F，若过点 F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是
A. −33,33B. −3,3C. −33,33D. −3,3

11. 过双曲线 E:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左焦点 F1−2,0 作垂直于实轴的弦 MN，A 为 E 的右顶点．若 AM⊥AN，则 E 的方程为
A. x23−y29=1B. x23−y2=1C. x2−y23=1D. x29−y23=1

12. 设 e1，e2 分别为具有公共焦点 F1 与 F2 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足 PF1⋅PF2=0，则 1e12+1e22 的值为
A. 12B. 1C. 2D. 4

13. 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1 a>0,b>0 的焦距为 10，点 P−2,1 在 C 的一条渐近线上，则双曲线 C 的方程为
A. x220−y25=1B. x25−y220=1C. x280−y220=1D. x220−y280=1

14. 若 Fc,0 是双曲线 x2a2−y2b2=1a>b>0 的右焦点，过 F 作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于 A，B 两点，O 为坐标原点，△OAB 的面积为 12a27，则该双曲线的离心率 e=
A. 53B. 43C. 54D. 85

15. 设 e1，e2 分别为具有公共焦点 F1 与 F2 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足 PF1⋅PF2=0，则 1e12+1e22 的值为
A. 12B. 1C. 2D. 4

16. 已知双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点分别为 F1，F2，圆 x2+y2=b2 与双曲线在第一象限内的交点为 M，若 MF1=3MF2，则该双曲线的离心率为
A. 2B. 3C. 2D. 3

17. 已知 P 为圆 C:x−52+y2=1100 上一个动点，Q 为双曲线 x24−y2=1 渐近线上的动点，则线段 PQ 长度的最小值为
A. 910B. 1C. 2D. 2110

18. 已知双曲线 y24−x2b2=1b>0 的焦点到渐近线的距离为 1，则渐近线方程是
A. y=±12xB. y=±22xC. y=±2xD. y=±2x

19. 已知 F1，F2 分别是双曲线 E:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点，点 M 在双曲线 E 上，MF1 与 x 轴垂直，sin∠MF2F1=13，则双曲线 E 的离心率为
A. 2B. 32C. 3D. 2

20. 如果椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 32，那么双曲线 x2a2−y2b2=1 的离心率为
A. 52B. 54C. 2D. 2

21. 中心在原点，实轴在 x 轴上，一个焦点在直线 3x−4y+12=0 上的等轴双曲线方程是
A. x2−y2=8B. x2−y2=4C. y2−x2=8D. y2−x2=4

22. 已知双曲线 C:x2−y2b2=1 的右焦点为 F，过点 F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为 M，FM=2，则双曲线的离心率
A. 2B. 3C. 5D. 2

23. 已知双曲线 C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点分别为 F1，F2，实轴长为 4，渐近线方程为 y=±12x，点 M 满足 ∣MF1∣−∣MF2∣=4，点 N 在圆 C：x2+y2−4y=0 上，则 ∣MN∣+∣MF1∣ 的最小值为
A. 2+7B. 5C. 6D. 7

24. 过双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左焦点 F−c,0 作圆 x2+y2=a2 的切线，切点为 E，延长 FE 交抛物线 y2=4cx 于点 P，O 为坐标原点，若 OE=12OF+OP，则双曲线的离心率为
A. 1+52B. 52C. 1+32D. 5

25. 已知 A 为椭圆 x2+2y2=9 的左顶点，该椭圆与双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的渐近线在第一象限内的交点为 B，若直线 AB 垂直于双曲线的另一条渐近线，则该双曲线的离心率为
A. 52B. 655C. 2D. 5

26. 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0，若存在过右焦点 F 的直线与双曲线交于 A，B 两点，且 AF=3BF，则双曲线离心率的最小值为
A. 2B. 3C. 2D. 22

二、选择题（共4小题；共20分）
27. 已知 F1，F2 分别是双曲线 C:x2−y2=1 的左、右焦点，P 是双曲线上异于顶点的一点，且向量 PF1⋅PF2=0，则下列结论正确的是
A. 双曲线 C 的渐近线方程为 y=±x
B. 以 ∣F1F2∣ 为直径的圆的方程为 x2+y2=1
C. F1 到双曲线的一条渐近线的距离为 1
D. △PF1F2 的面积为 1

28. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 x24−y212=1，则
A. 实轴长为 2
B. 渐近线方程为 y=±3x
C. 离心率为 2
D. 一条渐近线与直线 x=1 的交点到另一条渐近线的距离为 3

29. 关于双曲线 C1:x23−y22= 1与双曲线 C2:y22−x23=1，下列说法正确的是
A. 它们有相同的渐近线B. 它们有相同的顶点
C. 它们的离心率相等D. 它们的焦距相等

30. 已知双曲线的方程为 x29−y27=1，则下列说法正确的是
A. 焦点为 ±2,0B. 渐近线方程为 7x±3y=0
C. 离心率 e 为 43D. 焦点到渐近线的距离为 144
答案
第一部分
1. B【解析】由题意可知，ba=tan60∘=3，
所以离心率 e=ca=a2+b2a2=1+ba2=2．
2. B【解析】由双曲线 C 的方程及渐近线的方程，可得 ba=34，即 3a=4b．
又由题意可得 c=5，且 c2=a2+b2，
解得 a2=16，b2=9．
所以双曲线 C 的方程为 x216−y29=1．
3. A【解析】因为双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的焦距为 25，
所以 c=5，a2+b2=5，可排除选项C，D；
因为 x2−y24=1 的渐近线方程为 y=±2x，不与直线 2x+y=0 垂直，可排除选项B，
故选A．
4. B【解析】对于A选项，双曲线的渐近线为 y=±12x，不符合题意；
对于B选项，双曲线的渐近线为 y=±2x，且过点 2,25，符合题意；
对于C选项，双曲线的渐近线为 y=±2x，但不过点 2,25，不符合题意；
对于D选项，双曲线的渐近线为 y=±12x，不符合题意．
综上所述，本小题选B．
5. B
【解析】因为双曲线 x2−y2b2=1b>0 的渐近线方程是：y=±22x，
所以 b2=8，因此 c2=9，所以焦距为 2c=6．
6. C【解析】双曲线方程化为 x2t+y24=1，
因为是双曲线方程，所以 tn>0，
根据椭圆和双曲线的定义可得 m+n=2a1，m−n=2a2，
解得 m=a1+a2，n=a1−a2，
又 PF1⋅PF2=0，即 PF1⊥PF2，
由勾股定理得 ∣PF1∣2+∣PF2∣2=∣F1F2∣2，
即 m2+n2=2c2，
即 a1+a22+a1−a22=2c2，
化简可得 a12+a22=2c2，1e12+1e22=2．
13. A【解析】设双曲线的半焦距为 c，则 2c=10，即 c=5，又 P−2,1 在渐近线 y=−bax 上，故 a=2b，由 a2+b2=5 可得 5b2=5，即 b=5，故 a=25 ，则双曲线 C 的方程为 x220−y25=1．
14. C【解析】设过第一、三象限的渐近线的倾斜角为 θ，则 tanθ=ba，tan2θ=2aba2−b2，
因此 △OAB 的面积可以表示为 12⋅a⋅atan2θ=a3ba2−b2=12a27，
解得 ba=34，则 e=54．
15. C
【解析】设椭圆的长半轴长为 a1，双曲线的实半轴长为 a2，它们的半焦距是 c，
并设 PF1=m，PF2=n，m>n>0，
根据椭圆和双曲线的定义可得 m+n=2a1，m−n=2a2，
解得 m=a1+a2，n=a1−a2，
又 PF1⋅PF2=0，即 PF1⊥PF2，
由勾股定理得 PF12+PF22=F1F22，
即 m2+n2=2c2，
即 a1+a22+a1−a22=2c2，
化简可得 a12+a22=2c2，1e12+1e22=2．
16. D【解析】由双曲线的定义可得 MF1−MF2=2a，
又 MF1=3MF2，则 MF2=a，MF1=3a．
又 ∣OM∣=b，在 △OMF2 中，cs∠MF2O=a2+c2−b22ac，
在 △F1MF2 中，cs∠MF2O=a2+4c2−9a22⋅a⋅2c=c2−2a2ac，
所以 a2+c2−b22ac=c2−2a2ac，
又 c2=a2+b2，
所以 c2=3a2，
所以 c2a2=3，e=3．
17. A【解析】双曲线 x24−y2=1 的右焦点为圆心 C5,0，渐近线方程为 y=±x2，即 x±2y=0．
要使线段 PQ 长度取得最小值，则需线段 CQ 的长度取得最小值，而线段 CQ 长度的最小值为 5−05=1，
所以线段 PQ 长度的最小值为 1−110=910．
故选A．
18. D【解析】根据双曲线的对称性，可设双曲线 y24−x2b2=1b>0 的一个焦点坐标为 0,c，一条渐近线方程为 2x−by=0．由题意可知 ∣bc∣4+b2=1，而 c=4+b2，所以 ∣b∣=1，因此双曲线的渐近线方程为 y=±2x．故选D．
19. A【解析】由 MF2−MF1=2a，得 3b2a−b2a=2a，
所以 a2=b2，则 e=1+b2a2=2，
故选A．
20. A
【解析】由已知椭圆的离心率为 32，得 a2−b2a2=34，
所以 a2=4b2．
所以 e2=a2+b2a2=5b24b2=54．
所以双曲线的离心率 e=52．
21. A【解析】在直线 3x−4y+12=0 中，令 y=0，得 x=−4，
所以等轴双曲线的一个焦点坐标为 −4,0，
所以 c=4，
所以 a2=12c2=12×16=8，
故选A．
22. C【解析】依题意，双曲线 a=1，设 Fc,0，
双曲线的一条渐近线方程为 y=bx⇒bx−y=0，
则 FM=bc−0b2+12=bcb2+a2=bcc=b=2．
所以 c2=a2+b2=12+22=5⇒c=5，
所以双曲线的离心率为 e=ca=5．
23. B【解析】由题意可得 2a=4，即 a=2．
渐近线方程为 y=±12x，即有 ba=12，
即 b=1，可得双曲线的方程为 x24−y2=1，
焦点为 F1−5,0，F25,0，
由圆 x2+y2−4y=0 可得圆心 C0,2，半径 r=2，
由 ∣MF1∣−∣MF2∣=4 可得点 M 为双曲线右支上一点，
得 ∣MN∣+∣MF1∣=4+∣MN∣+∣MF2∣≥∣F2N∣+4，问题转化为求点 F2 到圆 C 上点的最小距离，
所以 ∣F2N∣ 的最小值为 ∣CF2∣−2=1，
则 ∣MN∣+∣MF1∣ 的最小值为 4+1=5．
24. A【解析】因为 OF=c，OE=a，OE⊥EF，所以 EF=c2−a2=b，
因为 OE=12OF+OP，
所以 E 为 PF 的中点，OP=OF=c，PF=2b，
设 Fʹc,0 为双曲线的右焦点，也为抛物线的焦点，则 EO 为 △PFFʹ 的中位线，
则 PFʹ=2OE=2a，可设 P 的坐标为 m,n，则有 n2=4cm，
由抛物线的定义可得 PFʹ=m+c=2a，m=2a−c，n2=4c2a−c，
又 OP=c，即有 c2=2a−c2+4c2a−c，
化简可得 c2−ac−a2=0，即 e2−e−1=0，由于 e>1，解得 e=5+12．
25. D
26. C【解析】因为过右焦点的直线与双曲线 C 相交于 A，B 两点，且 AF=3BF，
故直线与双曲线相交只能交于左、右两支，即点 A 在左支，点 B 在右支，
设 Ax1,y1，Bx2,y2，右焦点 Fc,0，
因为 AF=3BF，所以 c−x1=3c−x2，3x2−x1=2c，
因为 x1≤−a，x2≥a，所以 −x1≥a，3x2≥3a，
故 3x2−x1≥4a，即 2c≥4a，ca≥2，即 e≥2．
所以双曲线离心率的最小值为 2．
第二部分
27. A， C， D
【解析】A．由双曲线 C 的标准方程可得其渐近线方程为 y=±x，正确．
B．由题意得 F1−2,0，F22,0，则以 ∣F1F2∣ 为直径的圆的方程为 x2+y2=2，错误．
C．F1−2,0，不妨取一条渐近线为 y=x，点 F1 到该条渐近线的距离 d=∣−2−0∣1+1=1，正确．
D．由题意得 F1−2,0，F22,0，设 Px0,y0，由 PF1⋅PF2=0，得 −2−x02−x0+y02=0，又 x02−y02=1，解得 x0=±62，y0=±22，则 △PF1F2 的面积 S=12∣F1F2∣⋅∣y0∣=1，正确．
28. B， C
【解析】由双曲线方程 x24−y212=1，得 a=2，b=23，c=a2+b2=4，所以实轴长 2a=4，故选项A错误；
渐近线方程为 y=±bax=±3x，故选项B正确；
离心率 e=ca=2，故选项C正确；
y=3x 与 x=1 的交点为 A1,3，点 A 到直线 y=−3x 的距离 d=3×1+332+12=3，故D错误．
故选BC．
29. A， D
【解析】双曲线 C1 的渐近线方程为 y=±63x，双曲线 C2 的渐近线方程为 y=±63x，故A正确；
双曲线 C1 的顶点坐标为 ±3,0，双曲线 C2 的顶点坐标为 0,±2，故B错误；
双曲线 C1 的离心率 e1=1+23=153，双曲线 C2 的离心率 e2=1+32=102，所以 e1≠e2，故C错误；
双曲线 C1 的焦距为 25，双曲线 C2 的焦距为 25，故D正确．
30. B， C
【解析】由双曲线方程可知 a=3，b=7，c=9+7=4，
所以焦点为 ±4,0，渐近线方程为 y=±bax=±73x，.即 7x±3y=0，
离心率 e=ca=43，
焦点 4,0 到渐近线 7x+3y=0 的距离 d=∣47∣9+7=7．
故选BC．