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2021-2022学年吉林省长春四十五中小班八年级（上）期末数学试卷 word，解析版
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这是一份2021-2022学年吉林省长春四十五中小班八年级（上）期末数学试卷 word，解析版，共23页。试卷主要包含了选择题，解答题，四象限，故本选项错误；等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年吉林省长春四十五中小班八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共8小题，每题3分共24分）
1．（3分）将一元二次方程3x2﹣4＝5x化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数分别是（ ）
A．3，5 B．3，﹣5 C．﹣4，5 D．﹣4，﹣5
2．（3分）下列函数中不经过第四象限的是（ ）
A．y＝﹣x B．y＝2x﹣1 C．y＝﹣x﹣1 D．y＝x+1
3．（3分）若a是关于x的方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根，则2021﹣6a2+2a的值是（ ）
A．2023 B．2022 C．2020 D．2019
4．（3分）根据以下程序，当输入x＝﹣时，则输出结果y＝（ ）
A．+1 B．﹣1 C．﹣﹣1 D．﹣+1
5．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，，AC＝2，BD＝4，则BC的长是（ ）
A． B． C．3 D．5
6．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC＝∠ECA，则AC的长是（ ）
A． B．6 C．4 D．5
7．（3分）如图，已知函数y1＝3x+b和y2＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则下列结论正确的是（ ）
A．a＜0 B．b＜0
C．x＜﹣2时，y1＞y2 D．x＜﹣2时，y1＜y2
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的点A和点C分别落在x轴和y轴正半轴上，AO＝4，直线l：y＝3x+2经过点C，将直线l向下平移m个单位，设直线可将矩形OABC的面积平分，则m的值为（ ）
A．7 B．6 C．4 D．8
二.填空题（共6小题，每题3分共18分）
9．（3分）一次函数的图象经过点（0，﹣2），且函数y的值随自变量x的增大而增大，请写出一个符合条件的一次函数表达式 ．
10．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣a＝0有两个相等的实数根，则a的值是 ．
11．（3分）劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为 ．
12．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，∠C＝30°，AD＝1，AB＝2，则BC的长为 ．
13．（3分）如图，直线l1：y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2：y＝4x﹣4与y轴交于点C，与x轴交于点D，直线l1，l2交于点P，若x轴上存在点Q，使以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，则点Q的坐标是 ．
14．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，S菱形ABCD＝48，则OH的长为 ．
三、解答题
15．（20分）用合适的方法解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0；
（2）2x2﹣6x﹣3＝0；
（3）（2x﹣3）2＝5（2x﹣3）；
（4）．
16．（6分）已知关于x的方程x2+kx﹣2＝0．
（1）求证：不论k取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为2，求它的另一个根．
17．（6分）如图，在△ABC中，AC＝BC＝6，∠ACB＞90°，∠ABC的平分线交AC于点D，E是AB上点，且BE＝BC，CF∥ED交BD于点F，连接EF，ED．
（1）求证：四边形CDEF是菱形；
（2）当∠ACB＝ 度时，四边形CDEF是正方形，请给予证明；并求此时正方形的边长．
18．（7分）甲、乙两个工程队共同开凿一条隧道，甲队按一定的工作效率先施工，一段时间后，乙队从隧道的另一端按一定的工作效率加入施工，中途乙队调离一部分工人去完成其他任务，工作效率降低．当隧道打通时，甲队工作了40天，设甲，乙两队各自开凿隧道的长度为y（米），甲队的工作时间为x（天），y与x之间的函数图象如图所示．
（1）求甲队的工作效率．
（2）求乙队调离一部分工人后y与x之间的函数关系式
（3）求这条隧道的总长度．
19．（7分）在如图所示的4×3网格中，每个小正方形的边长均为1，正方形顶点叫格点，连接两个网格格点的线段叫网格线段．点A固定在格点上．
（1）若a是图中能用网格线段表示的最小无理数，b是图中能用网格线段表示的最大无理数，则b＝ ，＝ ；
（2）请你画出顶点在格点上且边长为的所有菱形ABCD，你画出的菱形面积为 ．
20．（10分）如图1，矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，点G在CD上，且DG＝5，点P从点B出发，以1单位每秒的速度在BC边上向点C运动，设点P的运动时间为x秒．
（1）△APG的面积为y，求y关于x的函数关系式，并求y＝34时x的值；
（2）在点P从B向C运动的过程中，是否存在使AP⊥GP的时刻？若存在，求出x的值，若不存在，请说明理由；
（3）如图2，M，N分别是AP、PG的中点，在点P从B向C运动的过程中，线段MN所扫过的图形是什么形状 ，并直接写出它的面积 ．
21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝20．点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC向终点C运动，同时点M从点A出发，以每秒4个单位的速度沿AB向终点B运动，过点P作PQ⊥AB于点Q，连结PQ，以PQ、MQ为邻边作矩形PQMN，当点P运动到终点时，整个运动停止，设矩形PQMN与Rt△ABC重叠部分图形的面积为S（S＞0），点P的运动时间为t秒．
（1）①BC的长为 ；
②用含t的代数式表示线段PQ的长为 ；
（2）当QM的长度为10时，求t的值；
（3）求S与t的函数关系式；
（4）当过点Q和点N的直线垂直于Rt△ABC的一边时，直接写出t的值．
2021-2022学年吉林省长春四十五中小班八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每题3分共24分）
1．（3分）将一元二次方程3x2﹣4＝5x化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数分别是（ ）
A．3，5 B．3，﹣5 C．﹣4，5 D．﹣4，﹣5
【分析】先把方程化为一般式为3x2﹣5x﹣4＝0，然后确定二次项系数和一次项系数．
【解答】解：方程化为一般式为3x2﹣5x﹣4＝0，
所以二次项系数、一次项系数分别是3，﹣5．
故选：B．
2．（3分）下列函数中不经过第四象限的是（ ）
A．y＝﹣x B．y＝2x﹣1 C．y＝﹣x﹣1 D．y＝x+1
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、函数y＝﹣x中的k＝﹣1＜0，则该函数图象经过二、四象限，故本选项错误；
B、函数y＝2x﹣1中的k＝2＜0，b＝﹣1＜0则该函数图象经过一、三、四象限，故本选项错误；
C、函数y＝﹣x﹣1中的k＝﹣1＜0，则该函数图象经过二、四象限，故本选项错误；
D、函数y＝x+1中的k＝1＞0，b＝1＞0则该函数图象经过一、二、三象限，即不经过第四象限，故本选项正确；
故选：D．
3．（3分）若a是关于x的方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根，则2021﹣6a2+2a的值是（ ）
A．2023 B．2022 C．2020 D．2019
【分析】先根据一元二次方程根的定义得到3a2﹣a＝1，再把2021﹣6a2+2a变形为2021﹣2（3a2﹣a），然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵a是关于x的方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根，
∴3a2﹣a﹣1＝0，
∴3a2﹣a＝1，
∴2021﹣6a2+2a＝2021﹣2（3a2﹣a）
＝2021﹣2×1
＝2019．
故选：D．
4．（3分）根据以下程序，当输入x＝﹣时，则输出结果y＝（ ）
A．+1 B．﹣1 C．﹣﹣1 D．﹣+1
【分析】根据求函数值、二次根式的运算解决此题．
【解答】解：当x＝时，＝3＞2．
∴y＝x+1＝﹣+1．
故选：D．
5．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，，AC＝2，BD＝4，则BC的长是（ ）
A． B． C．3 D．5
【分析】直接利用平行四边形的性质结合勾股定理以及逆定理分析得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝2，BD＝4，
∴AO＝CO＝1，BO＝DO＝2，
∵AB＝，
∴12+（）2＝22，
∴AO2+AB2＝BO2，
∴△ABO是直角三角形，
∴BC＝
＝
＝．
故选：B．
6．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC＝∠ECA，则AC的长是（ ）
A． B．6 C．4 D．5
【分析】根据折叠的性质得到AF＝AB，∠AFE＝∠B＝90°，根据等腰三角形的性质得到AF＝CF，于是得到结论．
【解答】解：∵将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，
∴AF＝AB，∠AFE＝∠B＝90°，
∴EF⊥AC，
∵∠EAC＝∠ECA，
∴AE＝CE，
∴AF＝CF，
∴AC＝2AB＝6，
故选：B．
7．（3分）如图，已知函数y1＝3x+b和y2＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则下列结论正确的是（ ）
A．a＜0 B．b＜0
C．x＜﹣2时，y1＞y2 D．x＜﹣2时，y1＜y2
【分析】根据一次函数与一元一次不等式的关系，可知x取何值时，y1＜y2或y1＞y2，根据一次函数的图象经过的象限，可知其对应系数a与b的符号．
【解答】解：A、由y2＝ax﹣3经过一、三、四象限是a＞0，故错误；
B、由函数y1＝3x+b经过一、二、三象限，可知b＞0，错误；
C、由图象可知x＞﹣2时，y1＞y2，故错误；
D、由图象可知x＜﹣2时，y1＜y2，故正确；
故选：D．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的点A和点C分别落在x轴和y轴正半轴上，AO＝4，直线l：y＝3x+2经过点C，将直线l向下平移m个单位，设直线可将矩形OABC的面积平分，则m的值为（ ）
A．7 B．6 C．4 D．8
【分析】首先连接AC、BO，交于点D，当y＝3x+2经过D点时，该直线可将矩形OABC的面积平分，然后计算出过D且平行直线y＝3x+2的直线解析式，从而可得直线y＝3x+2要向下平移6个单位，进而可得答案．
【解答】解：连接AC、BO，交于点D，
在直线y＝3x+2中，
当x＝0时，y＝2，
∴C点坐标为（0，2），
又∵OA＝4，
∴B（4，2），
当y＝3x+2经过D点时，该直线可将矩形OABC的面积平分；
∵AC，BO是矩形OABC的对角线，
∴OD＝BD，
∵O（0，0），B（4，2），
∴D（2，1），
将直线l向下平移m个单位，
则平移后直线的解析式为y＝3x+2﹣m，
∵D（2，1），
∴1＝3×2+2﹣m，
解得m＝7，
故选：A．
二.填空题（共6小题，每题3分共18分）
9．（3分）一次函数的图象经过点（0，﹣2），且函数y的值随自变量x的增大而增大，请写出一个符合条件的一次函数表达式 y＝x﹣2 ．
【分析】∵函数值y随着自变量x的增大而增大，∴x的系数应大于0．可设x的系数为1或其他正数都可，把点的坐标代入求b的值即可．
【解答】解：由题意得x的系数应大于0，可设x的系数为1，
那么此一次函数的解析式为：y＝x+b，
把（0，﹣2）代入得b＝﹣2．
∴一次函数的解析式为：y＝x﹣2．（答案不唯一）
故答案为：y＝x﹣2．
10．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣a＝0有两个相等的实数根，则a的值是 ﹣1 ．
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝22﹣4×（﹣a）＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝22﹣4×（﹣a）＝0，
解得a＝﹣1．
故答案为﹣1．
11．（3分）劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为 300（1+x）2＝363 ．
【分析】可先表示出第一年的产量，那么第二年的产量×（1+增长率）＝363，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：第一年的产量为300×（1+x），
第二年的产量在第一年产量的基础上增加x，为300×（1+x）×（1+x），
则列出的方程是300（1+x）2＝363．
故答案是：300（1+x）2＝363．
12．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，∠C＝30°，AD＝1，AB＝2，则BC的长为 5 ．
【分析】平移一腰，得到平行四边形和30°的直角三角形，根据它们的性质进行计算．
【解答】解：作DE∥AB交BC于点E，则四边形ABED是平行四边形．
∴AB＝DE＝2，AD＝BE＝1，∠DEC＝∠B＝60°，
∵∠C＝30°，
∴∠EDC＝180°﹣60°﹣30°＝90°．
∴EC＝2DE＝4．
∴BC＝BE+EC＝1+4＝5．
故答案是：5．
13．（3分）如图，直线l1：y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2：y＝4x﹣4与y轴交于点C，与x轴交于点D，直线l1，l2交于点P，若x轴上存在点Q，使以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，则点Q的坐标是 （4，0） ．
【分析】根据一次函数的性质分别求得点A、点C、点P的坐标，然后结合平行四边形的性质求解．
【解答】解：在y＝x+2中，当y＝0时，x+2＝0，
解得：x＝﹣2，
∴点A的坐标为（﹣2，0），
在y＝4x﹣4中，当x＝0时，y＝﹣4，
∴C点坐标为（0，﹣4），
联立方程组，
解得：，
∴P点坐标为（2，4），
设Q点坐标为（x，0），
∵点Q在x轴上，
∴以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，AQ和PC是对角线，
∴，
解得：x＝4，
∴Q点坐标为（4，0），
故答案为：（4，0）．
14．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，S菱形ABCD＝48，则OH的长为 4 ．
【分析】由菱形的性质得出OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，则AC＝12，由直角三角形斜边上的中线性质得出OH＝BD，再由菱形的面积求出BD＝8，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，
∴AC＝12，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD＝90°，
∴OH＝BD，
∵菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×12•BD＝48，
∴BD＝8，
∴OH＝BD＝4；
故答案为：4．
三、解答题
15．（20分）用合适的方法解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0；
（2）2x2﹣6x﹣3＝0；
（3）（2x﹣3）2＝5（2x﹣3）；
（4）．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用公式法求解即可；
（3）利用因式分解法求解即可；
（4）利用公式法求解即可．
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣5＝0，
（x﹣5）（x+1）＝0，
∴x﹣5＝0或x+1＝0，
∴x1＝5，x2＝﹣1；
（2）2x2﹣6x﹣3＝0，
∵a＝2，b＝﹣6，c＝﹣3，
∴b2﹣4ac＝36﹣4×2×（﹣3）＝60＞0，
∴x＝＝＝，
∴x1＝，x2＝；
（3）（2x﹣3）2＝5（2x﹣3），
（2x﹣3）2﹣5（2x﹣3）＝0，
（2x﹣3）（2x﹣3﹣5）＝0，
∴2x﹣3＝0或2x﹣8＝0，
∴x1＝，x2＝4；
（4），
∵a＝1，b＝﹣4，c＝10，
∴b2﹣4ac＝48﹣4×1×10＝8＞0，
∴x＝＝＝2±，
∴x1＝2+，x2＝2﹣．
16．（6分）已知关于x的方程x2+kx﹣2＝0．
（1）求证：不论k取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为2，求它的另一个根．
【分析】（1）首先计算△，再根据非负数的性质可判断出Δ＞0，进而得到结论；
（2）根据根与系数的关系即可即可得到结论．
【解答】解：（1）∵a＝1，b＝k，c＝﹣2，
∴b2﹣4ac＝k2+8，
∵不论k取何实数，k2≥0，
∴k2+8＞0，即b2﹣4ac＞0，
∴不论k取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的另一个根为β，
∴2β＝﹣2，
∴β＝﹣1，
∴另一个根为﹣1．
17．（6分）如图，在△ABC中，AC＝BC＝6，∠ACB＞90°，∠ABC的平分线交AC于点D，E是AB上点，且BE＝BC，CF∥ED交BD于点F，连接EF，ED．
（1）求证：四边形CDEF是菱形；
（2）当∠ACB＝ 120 度时，四边形CDEF是正方形，请给予证明；并求此时正方形的边长．
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得EO＝CO，BD⊥CE，由线段垂直平分线的性质可得EF＝FC，DE＝CD，由“AAS”可证△DOE≌△FOC，可得DE＝CF，则结论可得；
（2）由等腰三角形的性质，菱形的性质可求∠FCD＝2∠ACE＝90°，可得四边形CDEF是正方形，由直角三角形的性质可求正方形的边长．
【解答】证明：（1）如图，连接EC，交BD于点O，
∵BE＝BC，BD平分∠ABC，
∴EO＝CO，BD⊥CE，
∴EF＝FC，DE＝CD，
∵CF∥DE，
∴∠DFC＝∠FDE，且EO＝CO，∠FOC＝∠DOE，
∴△DOE≌△FOC（AAS），
∴DE＝CF，
∴EF＝FC＝CD＝DE，
∴四边形EFCD是菱形，
（2）当∠ACB＝120度时，四边形CDEF是正方形，
理由如下：
∵∠ACB＝120°，BC＝AC，
∴∠ABC＝∠BAC＝30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝15°，且BD⊥EC，
∴∠BCO＝75°，
∴∠ACE＝45°，
∵四边形EFCD是菱形，
∴∠FCD＝2∠ACE＝90°，
∴四边形CDEF是正方形，
∴∠ADE＝90°，
如图，过点C作CP⊥AB于点P，
∵BC＝AC＝6，∠ABC＝30°，CP⊥AB，
∴CP＝3，BP＝CP＝3，AB＝2BP＝6，
∴AE＝AB﹣BE＝6﹣6，
∵∠A＝30°，∠ADE＝90°，
∴DE＝AE＝3﹣3．
18．（7分）甲、乙两个工程队共同开凿一条隧道，甲队按一定的工作效率先施工，一段时间后，乙队从隧道的另一端按一定的工作效率加入施工，中途乙队调离一部分工人去完成其他任务，工作效率降低．当隧道打通时，甲队工作了40天，设甲，乙两队各自开凿隧道的长度为y（米），甲队的工作时间为x（天），y与x之间的函数图象如图所示．
（1）求甲队的工作效率．
（2）求乙队调离一部分工人后y与x之间的函数关系式
（3）求这条隧道的总长度．
【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得甲的工作效率；
（2）根据函数图象中的数据可以求得乙队调离一部分工人后y与x之间的函数关系式；
（3）将x＝40代入（2）中的函数解析式可以求得乙开凿的隧道的长度，再根据甲的工作效率和工作时间可以求得甲开凿的隧道的长度，从而可以求得这条隧道的总长度．
【解答】解：（1）甲队的工作效率是：750÷25＝30米/天；
（2）设乙队调离一部分工人后y与x之间的函数关系式y＝kx+b，
，得，
即乙队调离一部分工人后y与x之间的函数关系式是y＝25x+125；
（3）将x＝40代入y＝25x+125，得
y＝25×40+125＝1125，
则这条隧道的总长度是：30×40+1125＝1200+1125＝2325（米），
答：这条隧道的总长度是2325米．
19．（7分）在如图所示的4×3网格中，每个小正方形的边长均为1，正方形顶点叫格点，连接两个网格格点的线段叫网格线段．点A固定在格点上．
（1）若a是图中能用网格线段表示的最小无理数，b是图中能用网格线段表示的最大无理数，则b＝ 2 ，＝ ；
（2）请你画出顶点在格点上且边长为的所有菱形ABCD，你画出的菱形面积为 5或4 ．
【分析】（1）借助网格得出最大的无理数以及最小的无理数，进而求出即可；
（2）利用菱形的性质结合网格得出答案即可．
【解答】解：（1）∵a＝，b＝2，
∴＝＝；
故答案为：2，；
（2）如图所示，如图所示：
菱形面积为5，或菱形面积为4．
故答案为：5或4．
20．（10分）如图1，矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，点G在CD上，且DG＝5，点P从点B出发，以1单位每秒的速度在BC边上向点C运动，设点P的运动时间为x秒．
（1）△APG的面积为y，求y关于x的函数关系式，并求y＝34时x的值；
（2）在点P从B向C运动的过程中，是否存在使AP⊥GP的时刻？若存在，求出x的值，若不存在，请说明理由；
（3）如图2，M，N分别是AP、PG的中点，在点P从B向C运动的过程中，线段MN所扫过的图形是什么形状 平行四边形 ，并直接写出它的面积 15 ．
【分析】（1）由图知S△APG＝S矩形ABCD﹣S△ABP﹣S△PCG﹣S△ADG，设BP＝x，分别表示出其面积即可找到表达式，再令y＝34，即可求出x；
（2）若△APG为直角三角形，则有：AP2+PG2＝AG2，用含x的式子分别表示出来，再代入求值即可求出x；
（3）分情况当P与B或当P与C重合时找到MN的位置，结合图象即可判断MN扫过区域的形状并求出面积．
【解答】解：（1）由题意可知：GC＝DC﹣DG＝9﹣5＝4，设BP＝x，则PC＝12﹣x，
∵S△APG＝S矩形ABCD﹣S△ABP﹣S△PCG﹣S△ADG＝AD•AB﹣AB•BP﹣PC•GC﹣AD•DG，
∴y＝12×9﹣×9x﹣（12﹣x）×4﹣×5×12，
∴y＝﹣2.5x+54，
当y＝34时，34＝﹣2.5x+54，
解得：x＝8；
（2）若在点P从B向C运动的过程中，存在使AP⊥GP，在△APG为直角三角形，则有：AP2+PG2＝AG2，
在Rt△ABP中，AP2＝AB2+BP2＝92+x2＝81+x2，
在Rt△PCG中，PG2＝PC2+GC2＝（12﹣x）2+42＝x2﹣24x+160，
在Rt△ADG中，AG2＝AD2+DG2＝122+52＝169，
∴81+x2+x2﹣24x+160＝169，
化简得：x2﹣12x+36＝0，
即（x﹣6）2＝0，
解得：x＝6；
（3）如图所示：当点P与B点重合时，点M位于AB中点，点N位于PG中点；当点P'与C点重合时，点M'位于AC中点，点N'位于P'G中点；
∵M是AB的中点，M'是AC的中点，N是PG的中点，点N'是P'G中点，
∴MM'、NN'分别是△ABC、△GBC的中位线，
∴MM'∥BC且MM'＝BC，NN'∥BC且NN'＝BC，
∴四边形MM'NN'为平行四边形，
∴MN扫过的区域为平行四边形，
∴S＝BC•（AB﹣GC）＝×12×（×9﹣×4）＝15，
故答案为：平行四边形；15．
21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝20．点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC向终点C运动，同时点M从点A出发，以每秒4个单位的速度沿AB向终点B运动，过点P作PQ⊥AB于点Q，连结PQ，以PQ、MQ为邻边作矩形PQMN，当点P运动到终点时，整个运动停止，设矩形PQMN与Rt△ABC重叠部分图形的面积为S（S＞0），点P的运动时间为t秒．
（1）①BC的长为 10 ；
②用含t的代数式表示线段PQ的长为 t ；
（2）当QM的长度为10时，求t的值；
（3）求S与t的函数关系式；
（4）当过点Q和点N的直线垂直于Rt△ABC的一边时，直接写出t的值．
【分析】（1）①由勾股定理可求解；
②由锐角三角函数可求解；
（2）分两种情况讨论，由QM的长度为10，列出方程可求解；
（3）分两种情况讨论，由面积公式可求解；
（4）分两种情况讨论，由锐角三角函数可求解．
【解答】解：（1）①∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝20，
∴AC＝AB＝10，
∴BC＝＝＝10，
故答案为：10；
②在Rt△PBQ中，∵∠PQB＝90°，∠B＝30°，PB＝2t，
∴PQ＝PB＝t，
故答案为：t；
（2）在Rt△PQB中，BQ＝＝3t，
当点M与点Q相遇，20＝4t+3t，
∴t＝，
当0＜t＜时，MQ＝AB﹣AM﹣BQ，
∴20﹣4t﹣3t＝10，
∴t＝，
当＜t≤5时，MQ＝AM+BQ﹣AB，
∴4t+3t﹣20＝10，
∴t＝，
综上所述：当QM的长度为10时，t的值为或；
（3）当0＜t＜时，S＝t×（20﹣7t）＝﹣7t2+20t；
当＜t≤5时，如图，
∵四边形PQMN是矩形，
∴PN＝QM＝7t﹣20，PQ＝t，PN∥AB，
∴∠B＝∠NPE，
∴tanB＝tan∠NPE，
∴＝，
∴NE＝（7t﹣20），∴S＝t×（7t﹣20）﹣×（7t﹣20）×（7t﹣20）＝﹣t2+t﹣．
综上所述，S＝．
（4）如图，若NQ⊥AC，
∴NQ∥BC，
∴∠B＝∠MQN，
∴tanB＝tan∠MQN，
∴＝，
∴＝，
∴t＝2，
如图，若NQ⊥BC，
∴NQ∥AC，
∴∠A＝∠BQN，
∴tanA＝tan∠BQN，
∴＝，
∴＝，
∴t＝
综上所述：当t＝2或时，过点Q和点N的直线垂直于Rt△ABC的一边．
2021-2022学年吉林省长春四十五中小班八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共8小题，每题3分共24分）
1．（3分）将一元二次方程3x2﹣4＝5x化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数分别是（ ）
A．3，5 B．3，﹣5 C．﹣4，5 D．﹣4，﹣5
2．（3分）下列函数中不经过第四象限的是（ ）
A．y＝﹣x B．y＝2x﹣1 C．y＝﹣x﹣1 D．y＝x+1
3．（3分）若a是关于x的方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根，则2021﹣6a2+2a的值是（ ）
A．2023 B．2022 C．2020 D．2019
4．（3分）根据以下程序，当输入x＝﹣时，则输出结果y＝（ ）
A．+1 B．﹣1 C．﹣﹣1 D．﹣+1
5．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，，AC＝2，BD＝4，则BC的长是（ ）
A． B． C．3 D．5
6．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC＝∠ECA，则AC的长是（ ）
A． B．6 C．4 D．5
7．（3分）如图，已知函数y1＝3x+b和y2＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则下列结论正确的是（ ）
A．a＜0 B．b＜0
C．x＜﹣2时，y1＞y2 D．x＜﹣2时，y1＜y2
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的点A和点C分别落在x轴和y轴正半轴上，AO＝4，直线l：y＝3x+2经过点C，将直线l向下平移m个单位，设直线可将矩形OABC的面积平分，则m的值为（ ）
A．7 B．6 C．4 D．8
二.填空题（共6小题，每题3分共18分）
9．（3分）一次函数的图象经过点（0，﹣2），且函数y的值随自变量x的增大而增大，请写出一个符合条件的一次函数表达式 ．
10．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣a＝0有两个相等的实数根，则a的值是 ．
11．（3分）劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为 ．
12．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，∠C＝30°，AD＝1，AB＝2，则BC的长为 ．
13．（3分）如图，直线l1：y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2：y＝4x﹣4与y轴交于点C，与x轴交于点D，直线l1，l2交于点P，若x轴上存在点Q，使以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，则点Q的坐标是 ．
14．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，S菱形ABCD＝48，则OH的长为 ．
三、解答题
15．（20分）用合适的方法解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0；
（2）2x2﹣6x﹣3＝0；
（3）（2x﹣3）2＝5（2x﹣3）；
（4）．
16．（6分）已知关于x的方程x2+kx﹣2＝0．
（1）求证：不论k取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为2，求它的另一个根．
17．（6分）如图，在△ABC中，AC＝BC＝6，∠ACB＞90°，∠ABC的平分线交AC于点D，E是AB上点，且BE＝BC，CF∥ED交BD于点F，连接EF，ED．
（1）求证：四边形CDEF是菱形；
（2）当∠ACB＝ 度时，四边形CDEF是正方形，请给予证明；并求此时正方形的边长．
18．（7分）甲、乙两个工程队共同开凿一条隧道，甲队按一定的工作效率先施工，一段时间后，乙队从隧道的另一端按一定的工作效率加入施工，中途乙队调离一部分工人去完成其他任务，工作效率降低．当隧道打通时，甲队工作了40天，设甲，乙两队各自开凿隧道的长度为y（米），甲队的工作时间为x（天），y与x之间的函数图象如图所示．
（1）求甲队的工作效率．
（2）求乙队调离一部分工人后y与x之间的函数关系式
（3）求这条隧道的总长度．
19．（7分）在如图所示的4×3网格中，每个小正方形的边长均为1，正方形顶点叫格点，连接两个网格格点的线段叫网格线段．点A固定在格点上．
（1）若a是图中能用网格线段表示的最小无理数，b是图中能用网格线段表示的最大无理数，则b＝ ，＝ ；
（2）请你画出顶点在格点上且边长为的所有菱形ABCD，你画出的菱形面积为 ．
20．（10分）如图1，矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，点G在CD上，且DG＝5，点P从点B出发，以1单位每秒的速度在BC边上向点C运动，设点P的运动时间为x秒．
（1）△APG的面积为y，求y关于x的函数关系式，并求y＝34时x的值；
（2）在点P从B向C运动的过程中，是否存在使AP⊥GP的时刻？若存在，求出x的值，若不存在，请说明理由；
（3）如图2，M，N分别是AP、PG的中点，在点P从B向C运动的过程中，线段MN所扫过的图形是什么形状 ，并直接写出它的面积 ．
21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝20．点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC向终点C运动，同时点M从点A出发，以每秒4个单位的速度沿AB向终点B运动，过点P作PQ⊥AB于点Q，连结PQ，以PQ、MQ为邻边作矩形PQMN，当点P运动到终点时，整个运动停止，设矩形PQMN与Rt△ABC重叠部分图形的面积为S（S＞0），点P的运动时间为t秒．
（1）①BC的长为 ；
②用含t的代数式表示线段PQ的长为 ；
（2）当QM的长度为10时，求t的值；
（3）求S与t的函数关系式；
（4）当过点Q和点N的直线垂直于Rt△ABC的一边时，直接写出t的值．
2021-2022学年吉林省长春四十五中小班八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每题3分共24分）
1．（3分）将一元二次方程3x2﹣4＝5x化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数分别是（ ）
A．3，5 B．3，﹣5 C．﹣4，5 D．﹣4，﹣5
【分析】先把方程化为一般式为3x2﹣5x﹣4＝0，然后确定二次项系数和一次项系数．
【解答】解：方程化为一般式为3x2﹣5x﹣4＝0，
所以二次项系数、一次项系数分别是3，﹣5．
故选：B．
2．（3分）下列函数中不经过第四象限的是（ ）
A．y＝﹣x B．y＝2x﹣1 C．y＝﹣x﹣1 D．y＝x+1
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、函数y＝﹣x中的k＝﹣1＜0，则该函数图象经过二、四象限，故本选项错误；
B、函数y＝2x﹣1中的k＝2＜0，b＝﹣1＜0则该函数图象经过一、三、四象限，故本选项错误；
C、函数y＝﹣x﹣1中的k＝﹣1＜0，则该函数图象经过二、四象限，故本选项错误；
D、函数y＝x+1中的k＝1＞0，b＝1＞0则该函数图象经过一、二、三象限，即不经过第四象限，故本选项正确；
故选：D．
3．（3分）若a是关于x的方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根，则2021﹣6a2+2a的值是（ ）
A．2023 B．2022 C．2020 D．2019
【分析】先根据一元二次方程根的定义得到3a2﹣a＝1，再把2021﹣6a2+2a变形为2021﹣2（3a2﹣a），然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵a是关于x的方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根，
∴3a2﹣a﹣1＝0，
∴3a2﹣a＝1，
∴2021﹣6a2+2a＝2021﹣2（3a2﹣a）
＝2021﹣2×1
＝2019．
故选：D．
4．（3分）根据以下程序，当输入x＝﹣时，则输出结果y＝（ ）
A．+1 B．﹣1 C．﹣﹣1 D．﹣+1
【分析】根据求函数值、二次根式的运算解决此题．
【解答】解：当x＝时，＝3＞2．
∴y＝x+1＝﹣+1．
故选：D．
5．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，，AC＝2，BD＝4，则BC的长是（ ）
A． B． C．3 D．5
【分析】直接利用平行四边形的性质结合勾股定理以及逆定理分析得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝2，BD＝4，
∴AO＝CO＝1，BO＝DO＝2，
∵AB＝，
∴12+（）2＝22，
∴AO2+AB2＝BO2，
∴△ABO是直角三角形，
∴BC＝
＝
＝．
故选：B．
6．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC＝∠ECA，则AC的长是（ ）
A． B．6 C．4 D．5
【分析】根据折叠的性质得到AF＝AB，∠AFE＝∠B＝90°，根据等腰三角形的性质得到AF＝CF，于是得到结论．
【解答】解：∵将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，
∴AF＝AB，∠AFE＝∠B＝90°，
∴EF⊥AC，
∵∠EAC＝∠ECA，
∴AE＝CE，
∴AF＝CF，
∴AC＝2AB＝6，
故选：B．
7．（3分）如图，已知函数y1＝3x+b和y2＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则下列结论正确的是（ ）
A．a＜0 B．b＜0
C．x＜﹣2时，y1＞y2 D．x＜﹣2时，y1＜y2
【分析】根据一次函数与一元一次不等式的关系，可知x取何值时，y1＜y2或y1＞y2，根据一次函数的图象经过的象限，可知其对应系数a与b的符号．
【解答】解：A、由y2＝ax﹣3经过一、三、四象限是a＞0，故错误；
B、由函数y1＝3x+b经过一、二、三象限，可知b＞0，错误；
C、由图象可知x＞﹣2时，y1＞y2，故错误；
D、由图象可知x＜﹣2时，y1＜y2，故正确；
故选：D．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的点A和点C分别落在x轴和y轴正半轴上，AO＝4，直线l：y＝3x+2经过点C，将直线l向下平移m个单位，设直线可将矩形OABC的面积平分，则m的值为（ ）
A．7 B．6 C．4 D．8
【分析】首先连接AC、BO，交于点D，当y＝3x+2经过D点时，该直线可将矩形OABC的面积平分，然后计算出过D且平行直线y＝3x+2的直线解析式，从而可得直线y＝3x+2要向下平移6个单位，进而可得答案．
【解答】解：连接AC、BO，交于点D，
在直线y＝3x+2中，
当x＝0时，y＝2，
∴C点坐标为（0，2），
又∵OA＝4，
∴B（4，2），
当y＝3x+2经过D点时，该直线可将矩形OABC的面积平分；
∵AC，BO是矩形OABC的对角线，
∴OD＝BD，
∵O（0，0），B（4，2），
∴D（2，1），
将直线l向下平移m个单位，
则平移后直线的解析式为y＝3x+2﹣m，
∵D（2，1），
∴1＝3×2+2﹣m，
解得m＝7，
故选：A．
二.填空题（共6小题，每题3分共18分）
9．（3分）一次函数的图象经过点（0，﹣2），且函数y的值随自变量x的增大而增大，请写出一个符合条件的一次函数表达式 y＝x﹣2 ．
【分析】∵函数值y随着自变量x的增大而增大，∴x的系数应大于0．可设x的系数为1或其他正数都可，把点的坐标代入求b的值即可．
【解答】解：由题意得x的系数应大于0，可设x的系数为1，
那么此一次函数的解析式为：y＝x+b，
把（0，﹣2）代入得b＝﹣2．
∴一次函数的解析式为：y＝x﹣2．（答案不唯一）
故答案为：y＝x﹣2．
10．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣a＝0有两个相等的实数根，则a的值是 ﹣1 ．
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝22﹣4×（﹣a）＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝22﹣4×（﹣a）＝0，
解得a＝﹣1．
故答案为﹣1．
11．（3分）劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为 300（1+x）2＝363 ．
【分析】可先表示出第一年的产量，那么第二年的产量×（1+增长率）＝363，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：第一年的产量为300×（1+x），
第二年的产量在第一年产量的基础上增加x，为300×（1+x）×（1+x），
则列出的方程是300（1+x）2＝363．
故答案是：300（1+x）2＝363．
12．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，∠C＝30°，AD＝1，AB＝2，则BC的长为 5 ．
【分析】平移一腰，得到平行四边形和30°的直角三角形，根据它们的性质进行计算．
【解答】解：作DE∥AB交BC于点E，则四边形ABED是平行四边形．
∴AB＝DE＝2，AD＝BE＝1，∠DEC＝∠B＝60°，
∵∠C＝30°，
∴∠EDC＝180°﹣60°﹣30°＝90°．
∴EC＝2DE＝4．
∴BC＝BE+EC＝1+4＝5．
故答案是：5．
13．（3分）如图，直线l1：y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2：y＝4x﹣4与y轴交于点C，与x轴交于点D，直线l1，l2交于点P，若x轴上存在点Q，使以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，则点Q的坐标是 （4，0） ．
【分析】根据一次函数的性质分别求得点A、点C、点P的坐标，然后结合平行四边形的性质求解．
【解答】解：在y＝x+2中，当y＝0时，x+2＝0，
解得：x＝﹣2，
∴点A的坐标为（﹣2，0），
在y＝4x﹣4中，当x＝0时，y＝﹣4，
∴C点坐标为（0，﹣4），
联立方程组，
解得：，
∴P点坐标为（2，4），
设Q点坐标为（x，0），
∵点Q在x轴上，
∴以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，AQ和PC是对角线，
∴，
解得：x＝4，
∴Q点坐标为（4，0），
故答案为：（4，0）．
14．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，S菱形ABCD＝48，则OH的长为 4 ．
【分析】由菱形的性质得出OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，则AC＝12，由直角三角形斜边上的中线性质得出OH＝BD，再由菱形的面积求出BD＝8，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，
∴AC＝12，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD＝90°，
∴OH＝BD，
∵菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×12•BD＝48，
∴BD＝8，
∴OH＝BD＝4；
故答案为：4．
三、解答题
15．（20分）用合适的方法解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0；
（2）2x2﹣6x﹣3＝0；
（3）（2x﹣3）2＝5（2x﹣3）；
（4）．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用公式法求解即可；
（3）利用因式分解法求解即可；
（4）利用公式法求解即可．
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣5＝0，
（x﹣5）（x+1）＝0，
∴x﹣5＝0或x+1＝0，
∴x1＝5，x2＝﹣1；
（2）2x2﹣6x﹣3＝0，
∵a＝2，b＝﹣6，c＝﹣3，
∴b2﹣4ac＝36﹣4×2×（﹣3）＝60＞0，
∴x＝＝＝，
∴x1＝，x2＝；
（3）（2x﹣3）2＝5（2x﹣3），
（2x﹣3）2﹣5（2x﹣3）＝0，
（2x﹣3）（2x﹣3﹣5）＝0，
∴2x﹣3＝0或2x﹣8＝0，
∴x1＝，x2＝4；
（4），
∵a＝1，b＝﹣4，c＝10，
∴b2﹣4ac＝48﹣4×1×10＝8＞0，
∴x＝＝＝2±，
∴x1＝2+，x2＝2﹣．
16．（6分）已知关于x的方程x2+kx﹣2＝0．
（1）求证：不论k取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为2，求它的另一个根．
【分析】（1）首先计算△，再根据非负数的性质可判断出Δ＞0，进而得到结论；
（2）根据根与系数的关系即可即可得到结论．
【解答】解：（1）∵a＝1，b＝k，c＝﹣2，
∴b2﹣4ac＝k2+8，
∵不论k取何实数，k2≥0，
∴k2+8＞0，即b2﹣4ac＞0，
∴不论k取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的另一个根为β，
∴2β＝﹣2，
∴β＝﹣1，
∴另一个根为﹣1．
17．（6分）如图，在△ABC中，AC＝BC＝6，∠ACB＞90°，∠ABC的平分线交AC于点D，E是AB上点，且BE＝BC，CF∥ED交BD于点F，连接EF，ED．
（1）求证：四边形CDEF是菱形；
（2）当∠ACB＝ 120 度时，四边形CDEF是正方形，请给予证明；并求此时正方形的边长．
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得EO＝CO，BD⊥CE，由线段垂直平分线的性质可得EF＝FC，DE＝CD，由“AAS”可证△DOE≌△FOC，可得DE＝CF，则结论可得；
（2）由等腰三角形的性质，菱形的性质可求∠FCD＝2∠ACE＝90°，可得四边形CDEF是正方形，由直角三角形的性质可求正方形的边长．
【解答】证明：（1）如图，连接EC，交BD于点O，
∵BE＝BC，BD平分∠ABC，
∴EO＝CO，BD⊥CE，
∴EF＝FC，DE＝CD，
∵CF∥DE，
∴∠DFC＝∠FDE，且EO＝CO，∠FOC＝∠DOE，
∴△DOE≌△FOC（AAS），
∴DE＝CF，
∴EF＝FC＝CD＝DE，
∴四边形EFCD是菱形，
（2）当∠ACB＝120度时，四边形CDEF是正方形，
理由如下：
∵∠ACB＝120°，BC＝AC，
∴∠ABC＝∠BAC＝30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝15°，且BD⊥EC，
∴∠BCO＝75°，
∴∠ACE＝45°，
∵四边形EFCD是菱形，
∴∠FCD＝2∠ACE＝90°，
∴四边形CDEF是正方形，
∴∠ADE＝90°，
如图，过点C作CP⊥AB于点P，
∵BC＝AC＝6，∠ABC＝30°，CP⊥AB，
∴CP＝3，BP＝CP＝3，AB＝2BP＝6，
∴AE＝AB﹣BE＝6﹣6，
∵∠A＝30°，∠ADE＝90°，
∴DE＝AE＝3﹣3．
18．（7分）甲、乙两个工程队共同开凿一条隧道，甲队按一定的工作效率先施工，一段时间后，乙队从隧道的另一端按一定的工作效率加入施工，中途乙队调离一部分工人去完成其他任务，工作效率降低．当隧道打通时，甲队工作了40天，设甲，乙两队各自开凿隧道的长度为y（米），甲队的工作时间为x（天），y与x之间的函数图象如图所示．
（1）求甲队的工作效率．
（2）求乙队调离一部分工人后y与x之间的函数关系式
（3）求这条隧道的总长度．
【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得甲的工作效率；
（2）根据函数图象中的数据可以求得乙队调离一部分工人后y与x之间的函数关系式；
（3）将x＝40代入（2）中的函数解析式可以求得乙开凿的隧道的长度，再根据甲的工作效率和工作时间可以求得甲开凿的隧道的长度，从而可以求得这条隧道的总长度．
【解答】解：（1）甲队的工作效率是：750÷25＝30米/天；
（2）设乙队调离一部分工人后y与x之间的函数关系式y＝kx+b，
，得，
即乙队调离一部分工人后y与x之间的函数关系式是y＝25x+125；
（3）将x＝40代入y＝25x+125，得
y＝25×40+125＝1125，
则这条隧道的总长度是：30×40+1125＝1200+1125＝2325（米），
答：这条隧道的总长度是2325米．
19．（7分）在如图所示的4×3网格中，每个小正方形的边长均为1，正方形顶点叫格点，连接两个网格格点的线段叫网格线段．点A固定在格点上．
（1）若a是图中能用网格线段表示的最小无理数，b是图中能用网格线段表示的最大无理数，则b＝ 2 ，＝ ；
（2）请你画出顶点在格点上且边长为的所有菱形ABCD，你画出的菱形面积为 5或4 ．
【分析】（1）借助网格得出最大的无理数以及最小的无理数，进而求出即可；
（2）利用菱形的性质结合网格得出答案即可．
【解答】解：（1）∵a＝，b＝2，
∴＝＝；
故答案为：2，；
（2）如图所示，如图所示：
菱形面积为5，或菱形面积为4．
故答案为：5或4．
20．（10分）如图1，矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，点G在CD上，且DG＝5，点P从点B出发，以1单位每秒的速度在BC边上向点C运动，设点P的运动时间为x秒．
（1）△APG的面积为y，求y关于x的函数关系式，并求y＝34时x的值；
（2）在点P从B向C运动的过程中，是否存在使AP⊥GP的时刻？若存在，求出x的值，若不存在，请说明理由；
（3）如图2，M，N分别是AP、PG的中点，在点P从B向C运动的过程中，线段MN所扫过的图形是什么形状 平行四边形 ，并直接写出它的面积 15 ．
【分析】（1）由图知S△APG＝S矩形ABCD﹣S△ABP﹣S△PCG﹣S△ADG，设BP＝x，分别表示出其面积即可找到表达式，再令y＝34，即可求出x；
（2）若△APG为直角三角形，则有：AP2+PG2＝AG2，用含x的式子分别表示出来，再代入求值即可求出x；
（3）分情况当P与B或当P与C重合时找到MN的位置，结合图象即可判断MN扫过区域的形状并求出面积．
【解答】解：（1）由题意可知：GC＝DC﹣DG＝9﹣5＝4，设BP＝x，则PC＝12﹣x，
∵S△APG＝S矩形ABCD﹣S△ABP﹣S△PCG﹣S△ADG＝AD•AB﹣AB•BP﹣PC•GC﹣AD•DG，
∴y＝12×9﹣×9x﹣（12﹣x）×4﹣×5×12，
∴y＝﹣2.5x+54，
当y＝34时，34＝﹣2.5x+54，
解得：x＝8；
（2）若在点P从B向C运动的过程中，存在使AP⊥GP，在△APG为直角三角形，则有：AP2+PG2＝AG2，
在Rt△ABP中，AP2＝AB2+BP2＝92+x2＝81+x2，
在Rt△PCG中，PG2＝PC2+GC2＝（12﹣x）2+42＝x2﹣24x+160，
在Rt△ADG中，AG2＝AD2+DG2＝122+52＝169，
∴81+x2+x2﹣24x+160＝169，
化简得：x2﹣12x+36＝0，
即（x﹣6）2＝0，
解得：x＝6；
（3）如图所示：当点P与B点重合时，点M位于AB中点，点N位于PG中点；当点P'与C点重合时，点M'位于AC中点，点N'位于P'G中点；
∵M是AB的中点，M'是AC的中点，N是PG的中点，点N'是P'G中点，
∴MM'、NN'分别是△ABC、△GBC的中位线，
∴MM'∥BC且MM'＝BC，NN'∥BC且NN'＝BC，
∴四边形MM'NN'为平行四边形，
∴MN扫过的区域为平行四边形，
∴S＝BC•（AB﹣GC）＝×12×（×9﹣×4）＝15，
故答案为：平行四边形；15．
21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝20．点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC向终点C运动，同时点M从点A出发，以每秒4个单位的速度沿AB向终点B运动，过点P作PQ⊥AB于点Q，连结PQ，以PQ、MQ为邻边作矩形PQMN，当点P运动到终点时，整个运动停止，设矩形PQMN与Rt△ABC重叠部分图形的面积为S（S＞0），点P的运动时间为t秒．
（1）①BC的长为 10 ；
②用含t的代数式表示线段PQ的长为 t ；
（2）当QM的长度为10时，求t的值；
（3）求S与t的函数关系式；
（4）当过点Q和点N的直线垂直于Rt△ABC的一边时，直接写出t的值．
【分析】（1）①由勾股定理可求解；
②由锐角三角函数可求解；
（2）分两种情况讨论，由QM的长度为10，列出方程可求解；
（3）分两种情况讨论，由面积公式可求解；
（4）分两种情况讨论，由锐角三角函数可求解．
【解答】解：（1）①∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝20，
∴AC＝AB＝10，
∴BC＝＝＝10，
故答案为：10；
②在Rt△PBQ中，∵∠PQB＝90°，∠B＝30°，PB＝2t，
∴PQ＝PB＝t，
故答案为：t；
（2）在Rt△PQB中，BQ＝＝3t，
当点M与点Q相遇，20＝4t+3t，
∴t＝，
当0＜t＜时，MQ＝AB﹣AM﹣BQ，
∴20﹣4t﹣3t＝10，
∴t＝，
当＜t≤5时，MQ＝AM+BQ﹣AB，
∴4t+3t﹣20＝10，
∴t＝，
综上所述：当QM的长度为10时，t的值为或；
（3）当0＜t＜时，S＝t×（20﹣7t）＝﹣7t2+20t；
当＜t≤5时，如图，
∵四边形PQMN是矩形，
∴PN＝QM＝7t﹣20，PQ＝t，PN∥AB，
∴∠B＝∠NPE，
∴tanB＝tan∠NPE，
∴＝，
∴NE＝（7t﹣20），∴S＝t×（7t﹣20）﹣×（7t﹣20）×（7t﹣20）＝﹣t2+t﹣．
综上所述，S＝．
（4）如图，若NQ⊥AC，
∴NQ∥BC，
∴∠B＝∠MQN，
∴tanB＝tan∠MQN，
∴＝，
∴＝，
∴t＝2，
如图，若NQ⊥BC，
∴NQ∥AC，
∴∠A＝∠BQN，
∴tanA＝tan∠BQN，
∴＝，
∴＝，
∴t＝
综上所述：当t＝2或时，过点Q和点N的直线垂直于Rt△ABC的一边．
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