2021-2022学年吉林省长春四十五中九年级（上）期末数学复习试卷（二）（含答案解析）

2021-2022学年吉林省长春四十五中九年级（上）期末数学复习试卷（二）

1.     计算的结果是(    )

A.  B. 3 C.  D. 9

2.     下列各式中，与是同类二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.     用配方法解方程，变形正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.     我国古代数学《九章算术》中，有个“井深几何”问题：今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸尺寸，问井深几何？其意思如图所示，则井深BD的长为(    )

A. 12尺
B. 56尺5寸
C. 57尺5寸
D. 62尺5寸

5.     如图，在中，，，，下列三角函数表示正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

6.     二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是(    )

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，

7.     如图，在中，，，若点P是BC边上任意一点，则AP的长不可能是(    )
    

A. 7 B.  C.  D.

8.     如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线和抛物线于点A和点B，过点A作轴交抛物线于点C，过点B作轴交抛物线于点D，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9.     计算：______.
10. 计算：______.
11. 关于x的一元二次方程有两个不等实数根，c取值范围为______.
12. 如图，在中，，D是AB边的中点若，则CD的长为______.

13. 如图，在中，点D在BC边上，∽若，，则AB的长为______.
     
14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点O，与x轴的另一个交点为过抛物线的顶点B分别作轴于C，轴于D，则图中阴影部分的面积之和为________.
15. 计算：
16. 解方程：
17. 一个不透明的袋子里装有三个分别标有数字、1、2的小球，除所标有的字不同外，其它方面均相同，现随机从中摸出一个小球，记录所摸出的小球上的数字后放回并搅匀，再随机摸出一个小球，记录小球上的数字．请用画树状图或列表的方法，求两次记录数字之和是正数的概率．
18. 已知抛物线经过点和点
    求这条抛物线所对应的函数表达式．
    点、在这条抛物线上，当时，比较与的大小．
19. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．线段AB的端点均在格点上，按下列要求画出图形．
    在图①中找到一个格点C，使是锐角，且，并画出
    在图②中找到一个格点D，使是锐角，且，并画出
     
20. 如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B处的仰角为，底部C处的俯角为，此时航拍无人机A处与该建筑物的水平距离AD为80米．求该建筑物的高度精确到1米参考数据：，，

21. 现有一面12米长的墙，某农户计划用28米长的篱笆靠墙围成一个矩形养鸡场篱笆只围AB，BC，CD三边，其示意图如图所示．
    参考数据：，，
    若矩形养鸡场的面积为92平方米，求所用的墙长AD；结果精确到米
    求此矩形养鸡场的最大面积．

22. 如图1所示，在中，点O是AC上一点，过点O的直线与AB，BC的延长线分别相交于点M，
    【问题引入】
    若点O是AC的中点，，求的值；
    温馨提示：过点A作MN的平行线交BN的延长线于点
    【探索研究】
    若点O是AC上任意一点不与A，C重合，求证：；
    【拓展应用】
    如图2所示，点P是内任意一点，射线AP，BP，CP分别交BC，AC，AB于点D，E，F，若，，求的值．
     
23. 如图，在中，，，点P从点A出发以的速度沿折线运动，过点P作于点Q，当点P不与点A、B重合时，以线段PQ为边向右作正方形PQRS，设正方形PQRS与的重叠部分面积为S，点P的运动时间为
    
    用含t的代数式表示CP的长度；
    当点S落在BC边上时，求t的值；
    当正方形PQRS与的重叠部分不是五边形时，求S与t之间的函数关系式；
    连结CS，当直线CS分两部分的面积比为1：2时，直接写出t的值．
24. 已知二次函数、k为常数，，线段AB的两个端点坐标分别为，
    该二次函数的图象的对称轴是直线______；
    当时，若点恰好在此函数图象上，求此二次函数的关系式；
    当时，当此二次函数的图象与线段AB只有一个公共点时，求k的取值范围；
    若，过点A作x轴的垂线交x轴于点P，过点B作x轴的垂线交x轴于点Q，当，此二次函数图象与四边形APQB的边交点个数是大于0的偶数时，直接写出k的取值范围．

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】解：原式
故选：
原式利用二次根式的化简公式计算即可得到结果．
此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键．
 

2.【答案】A 

【解析】解：A、与是同类二次根式，故本选项正确；
B、与不是同类二次根式，故本选项错误；
C、与不是同类二次根式，故本选项错误；
D、与不是同类二次根式，故本选项错误；
故选：
根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．
本题考查的是同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
 

3.【答案】B 

【解析】解：把方程的常数项移到等号的右边，得到
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到
配方得
故选：
把常数项移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方．
本题考查了解一元二次方程-配方法．配方法的一般步骤：
把常数项移到等号的右边；
把二次项的系数化为1；
等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
 

4.【答案】C 

【解析】

【分析】
本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是得到∽根据题意可知∽，根据相似三角形的对应边成比例可求AD，进一步得到井深．
【解答】
解：，
∽，
：：DE，
即5：：5，
解得，
尺尺5寸．
故选：  

5.【答案】B 

【解析】解：，，，
，
则，，，，
故选：
先利用勾股定理可得，再根据三角函数的定义求解可得．
本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握锐角三角函数的定义．
 

6.【答案】A 

【解析】解：抛物线的对称轴在y轴左侧，，、b同号，
，
抛物线与y轴交于正半轴，
综上所述，，
故选：
 

7.【答案】A 

【解析】解：，，
，
，
故选：
根据直角三角形的性质求出AB，根据题意解答．
本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
 

8.【答案】C 

【解析】解：设，则，
轴交抛物线于点C，轴交抛物线于点D，
，，
，，
，
故选：
设，则，根据题意得出，，即可求得，，从而求得
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据特征表示出A、B、C、D点的坐标是解题的关键．
 

9.【答案】2 

【解析】解：



故答案为
先把二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
 

10.【答案】 

【解析】解：
故答案为：
直接利用特殊角的三角函数值直接代入求出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：
关于x的一元二次方程有两个不等实数根，
，即，
解得，
故答案为：
由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于c的不等式，可求得c的取值范围．
本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．
 

12.【答案】9 

【解析】解：，D是AB边的中点，
，
故答案为：
根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答．
本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
 

13.【答案】6 

【解析】

【分析】
本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.
利用相似三角形的性质即可解决问题．
【解答】
解：∽，
，
，
，
，
故答案为  

14.【答案】18 

【解析】

【分析】
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
先把原点坐标代入解析式求出k得到B点坐标，然后利用抛物线的对称性得到图中阴影部分图形的面积和，从而根据矩形面积公式计算即可．
【解答】

解：把代入得，解得，
抛物线解析式为，
点坐标为，
轴于C，
，，
图中阴影部分图形的面积和
故答案为

15.【答案】解：原式
 

【解析】直接化简二次根式，进而合并得出答案．
此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
 

16.【答案】解：一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项，

，
，
经检验，，是原方程的根.
故原方程的解为， 

【解析】利用求根公式解方程即可．
本题考查了解一元二次方程--公式法．利用求根公式解方程时，需要弄清楚公式中的字母所表示的含义．
 

17.【答案】解：列表如下

所有等可能的情况有9种，其中两次记录数字之和是正数的有4种结果，
所以两次记录数字之和是正数的概率为 

【解析】列表得出所有等可能的情况数，找出两次记录数字之和是正数的情况，即可求出所求的概率．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
 

18.【答案】解：抛物线经过点和点，
，
解得：，
这条抛物线所对应的函数表达式为：；
，，
时，y随x的增大而减小，
当时， 

【解析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，也考查了二次函数的性质．
直接把A、B两点的坐标代入解析式得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可；
求出抛物线的对称轴方程，然后根据二次函数的性质求解．
 

19.【答案】解：如图①所示：答案不唯一；

如图②所示：答案不唯一．
 

【解析】直接利用网格结合锐角三角函数关系得出答案；
直接利用网格结合锐角三角函数关系得出答案．
此题主要考查了应用设计与作图以及解直角三角形，正确借助网格分析是解题关键．
 

20.【答案】解：由题意得，
，，米，
在中，，米，
米，
在中，，米，，
米，
米，
答：该建筑物的高度BC约为251米． 

【解析】在两个直角三角形中，根据直角三角形的边角关系分别求出BD，CD即可．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，构造直角三角形是正确解答的关键．
 

21.【答案】解：设所用的墙长AD为x米，则AB为米，
由题意可得：，
解得舍去，，
答：所用的墙长AD为米；
设垂直于墙的长AB为a米，面积为S平方米，
，
，
，
当时，S取得最大值，此时，
答：此矩形养鸡场的最大面积是96平方米． 

【解析】根据矩形养鸡场的面积为92平方米，可以列出相应的方程，然后求解即可，注意AD的长不大于12米；
根据题意可以写出面积与AB长的函数关系式，然后化为顶点式，求出AB边的取值范围，然后根据二次函数的性质，即可得到此矩形养鸡场的最大面积．
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答．
 

22.【答案】解：过点A作交BN延长线于点G，
，
又，
∽，
，
，
，即，
同理，在和中，，
，
为AC中点，
，
，
；

由知，、，
；

在中，点P是AD上的一点，过点P的直线与AC、BD的延长线相交于点C，
由得，
在中，点P是AD上一点，过点P是AD上一点，过点P的直线与AC、AD的延长线分别相交于点E、B，
由得，
，
 

【解析】作交BN延长线于点G，证∽得，即，同理由∽得，结合得，从而由可得答案；
由、知；
由知，在中有、在中有，从而，据此知
本题主要考查相似三角形的综合问题，熟练掌握相似三角形的判定与性质及比例式的基本性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：当时，，，
；
当时，；
如图1中，点S落在BC边上，

，，，
，
，，
，
，
，
解得

如图2中，当时，重叠部分是正方形PQRS，
当时，重叠部分是，

综上所述，

设直线CS交AB于

如图中，当时，满足条件，
，
，
，
解得

如图中，当时，满足条件．

同法可得：，
解得，
综上所述，满足条件的t的值为或 

【解析】分两种情形分别求解即可．
根据，构建方程即可解决问题．
分两种情形：如图2中，当时，重叠部分是正方形PQRS，当时，重叠部分是，分别求解即可．
设直线CS交AB于分两种情形：如图中，当时，满足条件．如图中，当时，满足条件．分别求解即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形，平行线分线段成比例定理等知识，教育的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
 

24.【答案】 

【解析】解：二次函数、k为常数，，
二次函数的图象的对称轴是直线
故答案为；
当时，
把代入，得，

当时，


此二次函数的图象与线段AB只有一个公共点，
当抛物线顶点落在AB上时，，
当抛物线经过点B时，
当抛物线经过点A时，
，
综上所述：或；
当时，


所以顶点坐标为


如图，
过点A作x轴的垂线交x轴于点P，过点B作x轴的垂线交x轴于点Q，
，
当，此二次函数图象与四边形APQB的边交点个数是大于0的偶数，
当抛物线过点P时，
，解得
，
当抛物线经过点B时，
，解得，
，
当抛物线经过点Q时，
，解得，

综上所述：或
根据二次函数、k为常数，即可求此二次函数的对称轴；
当时，把代入即可求此二次函数的关系式；
当时，根据二次函数的图象与线段AB只有一个公共点，分三种情况说明：当抛物线顶点落在AB上时，，；当抛物线经过点B时，；当抛物线经过点A时，，即可求此k的取值范围；
当，根据题意画出图形，观察图形即可求此k的取值范围．
本题考查了二次函数与系数的关系，解决本题的关键是综合运用一元一次不等式组的整数解、二次函数图象上的点的坐标特征、抛物线与x轴的交点．